广西桂林市2017-2018学年高二下学期期末数学考试试卷（理科）Wor

广西桂林市2017-2018学年高二下学期期末数学考试

（理科）试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知=（λ+1，0，2λ），=（6，0，2），∥，则λ的值为（ ） A．

B．5

C．

D．﹣5

2．函数y=cos2x的导数是（ ） A．﹣sin2x B．sin2x 3．已知i是虚数单位，则

C．﹣2sin2x D．2sin2x

对应的点在复平面的（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（ ） A．19 B．20 C．21 D．22

5．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（ ）

X P A．5

B．6

4 0.5 C．7

a 0.1 D．8

9 b 2

2

2

2

6．已知小王定点投篮命中的概率是，若他连续投篮3次，则恰有1次投中的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

7．用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（ ） A．x＞0或y＞0 B．x＞0且y＞0 C．xy＞0

D．x+y＜0

8．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（ ） A．P（X≥2）

B．P（X≥4）

C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）

9．由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ） A．

B．2﹣ln3 C．4+ln3

D．4﹣ln3

10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

11．在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块

牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ） A．20 B．21 C．22 D．24

12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞e的解集为（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知14．

，则P（AB）= ．

C．（1，+∞）

D．（4，+∞）

x

（ex+x）dx= ．

15．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V= ．

16．若关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题，满分70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤）） 17．（1）已知A

=6C

，求n的值；

（2）求二项式（1﹣2x）4的展开式中第4项的系数．

18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值． （1）求a，b的值；

（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．

19．设数列{an}满足：a1=2，an+1=an﹣nan+1． （1）求a2，a3，a4；

（2）猜想an的一个通项公式，并用数学归纳法证明．

20．某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响． （I）求甲恰好3次考试通过的概率；

（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．

2

21．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥

BM．

（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM； （2）是否存在满足

实数t；若不存在，请说明理由．

22．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx （1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．

的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为

．若存在，求出相应的

广西桂林市2017-2018学年高二下学期期末数学考试试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知=（λ+1，0，2λ），=（6，0，2），∥，则λ的值为（ ） A．

B．5

C．

D．﹣5

【考点】M5：共线向量与共面向量．

【分析】根据题意，由空间向量的平行判定方法，可得若∥，必有=

，解可得λ得答案．

【解答】解：根据题意，已知=（λ+1，0，2λ），=（6，0，2）， 若∥，必有=

，

解可得：λ=； 故选：A．

2．函数y=cos2x的导数是（ ） A．﹣sin2x B．sin2x

C．﹣2sin2x D．2sin2x 【考点】63：导数的运算．

【分析】根据题意，令t=2x，则y=cost，利用复合函数的导数计算法则计算可得答案． 【解答】解：根据题意，令t=2x，则y=cost， 其导数y′=（2x）′（cost）′=﹣2sin2x； 故选：C．

3．已知i是虚数单位，则

对应的点在复平面的（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出

对应的点在复平面的坐标得答案．的值，即可

【解答】解：∵∴故选：D．

=，

对应的点在复平面的坐标为（1，﹣1），在第四象限．

4．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（ ） A．19 B．20 C．21 D．22

【考点】F1：归纳推理；8M：等差数列与等比数列的综合．

【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．

【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有13+23+33+43+53+63=212． 故选C．

5．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（ ）

X P A．5

B．6

4 0.5 C．7

a 0.1 D．8

9 b 2

2

2

2

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】由题意知：0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，从而4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，由此能求出a． 【解答】解：由题意知： 0.5+0.1+b=1， 解得b=0.4， ∵EX=6.3，

∴4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3， 解得a=7．

故选：C．

6．已知小王定点投篮命中的概率是A．

B．

C．

D．

，若他连续投篮3次，则恰有1次投中的概率是（ ）

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解． 【解答】解：∵小王定点投篮命中的概率是∴他连续投篮3次，则恰有1次投中的概率： p=故选：A．

7．用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（ ） A．x＞0或y＞0 B．x＞0且y＞0 C．xy＞0 【考点】FC：反证法．

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定． 【解答】解：用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应先假设x＞0且y＞0． 故选：B．

8．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（ ） A．P（X≥2）

B．P（X≥4）

C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）

D．x+y＜0

=

．

，

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．

【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）． 故选B．

9．由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ） A．

B．2﹣ln3 C．4+ln3

D．4﹣ln3

【考点】6G：定积分在求面积中的应用．

【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得． 【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得： 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积： S=

（3﹣

）dx+

=（3x﹣lnx）=3﹣ln3﹣1+2 =4﹣ln3． 故选D．

+2

10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．

【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，

直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．

【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1， 则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，

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