应用运筹学补充练习题参考答案

《应用运筹学》补充练习题参考答案

1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：

月份 进货单价（元/件） 销售单价（元/件） 1月 8 9 2月 6 8 3月 9 10 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性

规划模型。

解：设Xi是第i个月的进货件数，Yi是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z是总利润，于

是这个问题可表达为： 目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3

约束条件： 200+X1≤500

200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束

200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500

200+X1-Y1≥ 0

200+X1-Y1+X2-Y2≥ 0 月末库存约束

200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0 X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0 EXCEL求解最优解结果：X1*= 300 ，X2*=500 ，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0，Y3*=500,

Z*=4100 2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题

车间 甲 乙 丙 丁 生产能力（小时） 100 150 80 200 生产率（件数/小时） 部件１ 10 15 20 10 部件２ 15 10 5 15 部件３ 5 5 10 20 解：设Xij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。

最终的目的是Y要满足条件： min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42，5X13+5X23+10X33+20X43} 可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型： 目标函数： Max Z = Y

约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41

Y≤15X12+10X22+5X32+15X42 Y≤5X13+5X23+10X33+20X43 X11+X12+X13≤100

X21+X22+X23≤150

X31+X32+X33≤80 X41+X42+X43≤200

Xij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）, Y≥0

EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X13*=， X21*=， X22*=， X23*= X31*= ，X32*= ，X33*=， Y* =

3、一个投资者打算把它的100000元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资保证每１元投资一年后可赚７角钱。第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。假设每年年初都可投资。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。 解：设Xi1和Xi2是第一种方案和第二种方案在第i年年初的投资额（i =1, 2, 3），Z是总利

润，于是这个问题的线性规划模型是：

目标函数：Max Z= 2X22+0.7X31 （第三年年末的收益为当年第一方案和第二年第二方案的收益） 约束条件： X11+X12≤100 000 (第一年年初总投资额不超过计划投资额)

X21+X22≤1.7X11 （第二年年初投资额不超过第一年第一方案投资收回的本利值） X31≤3X12+1.7X21 （第三年年初投资额不超过第二年年底收回的本利值） Xi1，Xi2≥0（i=1，2，3） EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X21*=， X22*=， X31*=， Z*= 4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。 出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。

解：设X1，X2分别是产品A，产品B的产量，X3是副产品C的销售量，X4是副产品C的

销毁量，Z是总利润，于是这个问题的线性规划模型是： 目标函数：Max Z=4X1+10X2+3X3—2X4 约束条件： 2X2= X3+X4

X3≤5 2X1+3X3≤16 3X1+4X2≤24

X1，X2，X3，X4≥0

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， Z*= 5、考虑下面的线性规划问题：

目标函数：Max Z=30X1+20X2 约束条件： 2X1+ X2≤40

X1+X2≤25 X1，X2≥0

用图解法找出最优解X1和X2。

解：图解法结果如下，最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650

X2 60 40 30 20 10 2X1+X2=40 最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650 5 0 可行域 X1+ X2=25 20 30 40 60 5 10 X1

6、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。其中B工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。问应如何安排生产才能获利最大？试建立线性规划模型。 产品单耗 日供应量 单位成本 甲 乙 数量 单位 数量 单位 A 2 1 80 工时 6 元/工时 工序 B1 3 - 60 工时 2 元/工时 B2 1 4 70 5 工时 元/工时 C 3 12 300 米 2 元/米 D 5 3 100 1 原材料 件 元/件 E 4 1.5 150 4 千克 元/千克 其他费用（元/件） 26 29 80 100 单价（元/件） 解：设甲、乙两种产品分别生产X1，X2件，其中，甲产品在B1设备上加工X3工时、在

B2设备上加工X4工时，则获利为：

Z=80X1+100X2-6(2X1+X2)-2X3-5*(X4+4X2)-2*(3X1+12X2)-1*(5X1+3X2)-

4*(4X1+1.5X2)-26X1-29X2 化简后得到： 目标函数：Max Z=15X1+12X2－2X3－5X4

s.t. 2X1+X2≤80

X3≤60 4X2+X4≤70 3X1+12X2≤300 5X1+3X2≤100 4X1+1.5X2≤150 X1≤30

1X3 X1=+X4 (B1每工时完成件甲产品，共X3个工时，B2完成X4件)

33Xj≥0, j=1,2,3,4

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， X4*= , Z*= 7、制造某机床需要A、B、C三种轴，其规格和需要量如下表所示。各种轴都用长5.5米长的圆钢来截毛坯。如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。

轴类 A B C 规格：长度（米） 3．1 2．1 1．2 每台机床所需件数 1 2 4 解：用5.5米圆钢截所需规格长度的所有各种可能性如下表所示：

轴件（j） 1 2 3 4 5 所截各种轴件数量 A（3.1） B（2.1） C（1.2） 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 2 4 剩余料头（m） 0.3 0 0.1 1.0 0.7 所需圆钢的量 X1 X2 X3 X4 X5 设按第j种截法截Xj根圆钢，则相应的线性规划模型为： 目标函数： Min Z =?X j

j?15s.t: X1+X2 ≥100

X1+ 2X3+ X4 ≥200 2X2+ X3+2X4+4X5≥400 xj≥0且为整数（j=1,2.....,5）

EXCEL求解最优解结果：X1*= 0 ，X2*=100 ，X3*= 100 , X4*= 0 , X5*= 25 , Z*= 225 8、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米3，由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。贮存费为a+bu，其中a=7元/米3，b=10元/米3，u为贮存的季度数。由于木材久贮易损，因此当年所有库存应于秋末售完。各季木材单价及销量如下表所示。为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立线性规划模型。

季节 冬 春 夏 秋 购进价（元/米3） 310 325 348 340 售出价（元/米3） 321 333 352 344 最大销售量（万米3） 10 14 20 16 解：设Yi（i=1,2,3,4）分别为冬，春，夏，秋四季采购的木材量（单位：m3），Xij（i，j=1，

2，3，4）代表第i季节采购用于第j季节销售的木材量（m3），因此，

冬季以310元/ m3购入Y1, 当季以321元/ m3卖出X11,同时，以7+10*1的成本存储

到春季出售的有X12,以7+10*2的成本存储到夏季出售的有X13, 以7+10*3的成本存储到秋季出售的有X14；同样地，春季购入 ......。

相应的线性规划模型为：

目标函数：MaxZ=（321X11+316X12+325X13+307X14－310Y1） +（333X22+335X23+317X24－325Y2）＋（352X33+327X34－348Y3） +（344X44－340Y4）

s.t: Y1≤200 000

Y1－X11－X12－X13－X14=0 X11 ≤100 000

X12+X13+X14+Y2≤200 000 Y2－X22－X23－X24 =0 X12+X22 ≤140 000

X13+X14+X23+X24+Y3≤200 000 Y3―X33―X34＝0

X13+X23+X33 ≤200 000 X14+X24+X34+Y4≤200 000 Y4－X44 =0

X14+X24+X34+X44 ≤160 000 xij≥0，yi≥0（i,j=1,2,3,4）

EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X13*= ，X14*= Y1*= X22*= ，X23*= ，X24*= ，Y2*= , X33*= ，X34*= ，Y3*= , X44*= ，Y4*= , Z*= 9、对以下线性规划问题：

Min Z＝2X1+3X2+5X3+2X4+3X5 s. t. X1+X2+2X3+X4+3X5 ≥4 2X1 - X2+3X3+X4+X5 ≥3 X1, X2, X3, X4,X5 ≥ 0

已知其对偶问题的最优解为 Y1*=4/5, Y2*=3/5, W* = 5。试求出原问题的解。 解：设原问题的两个剩余变量分别为：X6 ,X7

原问题的对偶问题为：

Max W＝4Y1+3Y2

s.t. Y1+2Y2 ≤2 松弛变量 Y3 Y1-Y2 ≤3 松弛变量 Y4 2Y1+3Y2 ≤5 松弛变量 Y5 Y1+Y2 ≤2 松弛变量 Y6 3Y1+ Y2 ≤3 松弛变量 Y7 Y1,Y2,Y3,Y4 ≥ 0 因为Y1*=4/5, Y2*=3/5,

因此，计算对偶问题松弛变量值为：Y*=0，Y*，Y***

34=14/35=8/5，Y6=3/5，Y7=0

根据对偶性质(互补松弛定理)则有：X**X***

2=0，X3=0，4=0，X6=0，X7=0 进一步有： 2X1+3X5=5

X1+3X5=4 2X1+X5=3 得到：X**

1=1,X5=1

原问题的解为：X*****

1=1, X2=0，X3=0，X4=0，X5=1,Z* = 5

,

10、某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A、B两种设备上加工，有关数据如下表。

产品 设备 A B 产值（千元/每件） 单耗（台时/件） 甲 乙 丙 1 2 1 2 1 2 3 2 1 设备有效台时 （每月） 400 500 利用对偶性质分析以下问题：

1）如何充分发挥设备潜力，使产品的总产值最大？

2）该厂如果以每台时350元的租金租外厂的A设备，是否合算？ 解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1,X2,X3件，线性规划模型为： 目标函数: Max Z = 3X1+2X2+X3

约束条件： X1+2X2+X3≤400 松弛变量为X4 2X1+X2+2X3≤500 松弛变量为X5 X1,X2,X3≥0 此原问题的对偶问题为： 目标函数: Min W = 400Y1+500Y2

约束条件： Y1+2Y2 ≥3 剩余变量为Y3 2Y1+ Y2≥2 剩余变量为Y4 Y1+2Y2≥1 剩余变量为Y5

Y1,Y2 ≥0

对偶问题可通过图解法求解，得到最优解结果为： Y1* = 1/3，Y2* = 4/3

进一步可知：Y3* =0，Y4* = 0，Y5* = 2 根据互补松弛定理可知：X3*=0,X4*=0，X5*=0 可得到： X1+2X2=400 2X1+X2=500 可解得：X1*=200，X2*=100 根据以上计算结果可知：

1) 应该生产甲产品200件，乙产品100件，丙产品不生产，此时总产值最大为800千元。

2) 因为Y3*=1/3，设备A的影子价格为1/3千元，小于租金350元，因此，该厂不应该租用外厂的A设备。

11、某打井队要从10个可供选择的井位中确定5个进行探油，使总的探油费用最小。若10

个井位的代号为S1,S2,S3,……,S10，相应的探油费用为C1,C2,C3,……,C10，并且井位选择要满足下列限制条件：

1） 或选择S1和S7，或选择S8；

2） 选择了S3或S4，就不能选S5，或反过来也一样；

3） 在S5,S6,S7,S8 中最多只能选两个。 试建立线性规划模型。

解：变量Xi取0或1，0表示不选、1表示选第i井位； 模型如下： 目标函数： MinZ?10?Ci?Xi

i?110s.t ?Xi?5i?1X1?X8?1 (S1和S8只能选一个）X7?X8?1 (S7和S8只能选一个） （以上两式同时满足时 表明：S1?S7与S8必须且只能选一） X3?X5?1 (S3和S5不能同时选中，也可都不选） X4?X5?1 (S4和S5不能同时选中，也可都不选） X5?X6?X7?X8?2 Xi=0,1 i=1,2,… 10

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*= , X4*= , X5*= ,

X6*= ，X7*= ，X8*= , Z*= 12、某厂可生产四种产品，对于三种主要资源的单位消耗及单位利润见下表：

产品 资源 钢 人力 能源 单位利润 1 1 2 2 1 2 10 6 0 7 3 3 4 2 8 4 0 1 5 4 可供量 5000 3000 3000 如果产品3的生产需要用一特殊机器，这机器的固定成本（启用成本）为3000，产品2和产品4的生产也同样需要共用一特定的机器加工，其固定成本（启用成本）为1000，写出此时求利润最大的线性规划模型。

解：1)变量：Xi为第i种产品的产量（i=1,2,3,4）,

1X3?0 Y3为0-1变量，Y3?01X3?0

X2?X4?0 Y24为0-1变量，Y24?0X2?X4?0

2)目标函数：Max Z = X1+7X2+8X3+4X4-3000Y3-1000Y24 3)约束条件：

资源约束：X1+10X2+3X3≤5000 2X1+6X2+4X3+X4≤3000

2X1+2X3+5X4≤3000

启用约束：X3≤ M1Y3 (M1为一足够大的正数，比如取5000 ) X2+X4≤ M2Y24 (M2为一足够大的正数，比如取5000 ) 非负约束：Xi≥0 (i=1,2,3,4)；Y3,Y24=0，1

EXCEL求解最优解结果：X1*= 0，X2*=400，X3*= 0 , X4*= 600 , Y3=0,Y24=1, Z*=4200

13、某化工厂要用三种原料D,P,H混合配置三种不同规格的产品A,B,C。各产品的规格、单价如左表所示，各原料的单价及每天的最大供应量如右表所示，该厂应如何安排生产才能使利润最大？

产品 A B C 规格 原料D不少于50％ 原料P不超过25％ 原料D不少于25％ 原料P不超过50％ 不限 单价

（元/千克） 50 35 25

原料 D P H 最大供应 单价 （千克/天） （元/千克） 100 100 60 65 25 35 解：1)变量： 产品A中D,P,H含量分别为 X11,X12,X13

产品B中D,P,H含量分别为 X21,X22,X23 产品C中D,P,H含量分别为 X31,X32,X33 令：X11+X12+X13=X1 X21+X22+X23=X2 X31+X32+X33=X3

2)目标函数：Max Z = -15X11+25X12+15X13- 30X21+10X22-40X31-10X33

3)约束条件：

根据规格条件有：X11≥0.5X1

X12≤0.25X1

X21≥0.25X2

X22≤0.5X2

进一步得到： - X11+ X12+X13≤0

- X11+3X12- X13≤0 -3X21+ X22+X23≤0 - X21+ X22- X23≤0

原材料供应条件： X11+X21+X31≤100

X12+X22+X32≤100 X13+X23+X33≤60

非负约束： Xij≥0, i,j=1,2,3

EXCEL求解最优解结果：X11*= 100 ，X12*=50 ，X13*= 50 , X21*=0 , X22*=0 , X23*=0

X31*=0 ，X32*=0 ，X33*=0 , Z*=500

X1*=X11*+X12*+X13*=200,X2*=0,X3*=0;每天只生产A 200kg X11*+X21*+X31*=100 使用D 100kg;

X12*+X22*+X32*=50 使用P 50kg; X13*+X23*+X33*=50 使用H 50kg;

14、某产品有A1和A2两种型号，需经过B1、B2、B3三道工序，单位工时、利润、各工序每周

工时限制如下表所示，问工厂如何安排生产，才能使总利润最大（B3工序有两种加工方式B31和B32，只能选择其中一种；产品为整数）。

工序 B3 利润 工时/件 B1 B2 (元/件) B31 B32 型号

A1 3 2 3 2 25

A2 7 1 5 4 40

每周工时（小时/周） 250 100 150 120

解： 1）设变量如下：

A1生产量为X1，A2生产量为X2； 选B31时Y1=0；不选时Y1=1 选B32时Y2=0；不选时Y2=1 2）目标函数：

Max Z = 25X1+40X2

3）约束条件： 3X1+7X2≤250 2X1+ X2≤100

3X1+5X2≤150+M*Y1 (M为足够大的正数,如取5000) 2X1+4X2≤120+M*Y2 Y1+Y2=1

X1,X2≥0且为整数,Y1,Y2=0,1

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，Y1 *= , Y2 *=0 , Z*= 15、甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间（分钟）如表所示，应指派何

人加工何种工件，能使总的加工时间最少？要求建立数学模型并求解。

工件 人 甲 乙 丙 丁 A B C D 14 9 4 15 11 7 9 10 13 2 10 5 17 9 15 13 解：（匈牙利方法过程及模型略）

答案：甲：C；乙：A；丙：D；丁：B

16、某厂生产柴油机，1－4月份订货任务为：1月2000台；2月3000台；3月5500台；4

月6000台；该厂的月正常生产能力为3000台，每台的生产成本为1500元，每月加班生产能力为2000台，加班生产成本为每台2000元，月库存费用为每台50元，1月初库存为0。建立求成本最低生产计划的线性规划模型。

解：设Xi（i=1,2,3,4）为第i个月正常生产的柴油机数，Yi为第i个月加班生产的数量，

Wi为第i月月初的库存数。该问题的线性规划模型为：

目标函数：Min Z = 1500(X1+X2+X3+X4)+2000(Y1+Y2+Y3+Y4)+50(W2+W3+W4) 约束条件：X1+Y1-W2 = 2000

X2+Y2+W2-W3 = 3000 X3+Y3+W3-W4=5500 X4+Y4+W4=6000

Xi≤3000 （i=1,2,3,4） Yi≤2000 （i=1,2,3,4） Xi,Yi,Wi≥0, （i=1,2,3,4），且均为整数

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*= , X4*= , Y1*= , Y2*=

Y3*= ，Y4*= ，W1*= , W2*= , W3*= , W4*= , Z*= 17、某铸造厂接到一笔订货，要生产1000公斤（一吨）铸件，其成分是锰的含量至少达到0.45％，

硅达到3.25％－5.50%。铸件的售价是4.5元/公斤。工厂现存三种可以利用的生铁（A、B、C），存量很多，其性质如下表所示。此外，生产过程允许把纯锰直接加到融化金属中。各种可能的炉料费用如下：生铁A－210元/吨，生铁B－250元/吨，生铁C－150元/吨，纯锰80元/公斤。每融化一吨生铁要花费50元。应如何选择炉料才能使利润最大。

元素 硅 生铁种类 A 4％ B 1% C 0.6% 0.5% 0.4% 锰 0.45％ 解：1)变量：

设所需生铁A X1吨，生铁B X2 吨，生铁C X3吨，纯锰 X4 公斤

2）目标函数：

Max Z = 1000*4.5-210*X1-250*X2-150*X3-80*X4-50*（X1+X2+X3） 即：Max Z = 450-260X1-300X2-200X3-80X4

3）约束条件：

(0.45%X1+0.5%X2+0.4%X3)*1000+X4≥0.45%*1000 (锰的含量) 4%X1+1%X2+0.6%X3≤5.5% (硅的含量上限) 4%X1+1%X2+0.6%X3≥3.25% (硅的含量上限) (X1+X2+X3)*1000+X4=1000 X1,X2,X3,X4≥0

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*= , X4*= , Z*= 18、已知有三个产地给四个销地供应某产品，产销地之间的供需量和单位运价如下： 销地 B1 B3 B4 产量 B2 产地 A1 A2 A3 销量 5 3 4 200 2 5 5 100 6 4 2 400 7 6 3 200 300 200 400 900 要求：1）建立此运输问题的线性规划模型（不需要求解）；

2）由于市场情况的变化，B3 和 B4 的销量各增加了50单位（运用表上作业法可求得此时最小运费为2950元）。有关部门在研究调运方案时还需要依次考虑以下情况（已规定其优先等级 P1－P5）：

P1: B4是重点保证单位，必须尽可能满足其需要； P2: A3向B1提供的量不少于100；

P3: 因道路问题，尽量避免安排A2产品运往B4;

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