第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案

第八章：空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；

④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；

⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；

2、难点

①向量积（方向）、混合积（计算）；

②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影；

④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；

二、基本知识

1、向量及其线性运算

①向量的基本概念：

向量? 既有大小? 又有方向的量；

向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量

的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号? 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母

表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F；

向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量；

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b

平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线? 零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

共面向量： 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在

一个平面上? 就称这k个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹

??????????角称为向量a与b的夹角? 记作(a, b)或(b, a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值?；

^^ ②向量的线性运算

向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此

时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . ?

平行四边形法则? 向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一

平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b?

向量的加法的运算规律?? (1)交换律a?b?b?a? (2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)?

负向量? 设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a? 向量的减法??把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?

向量与数的乘法： 向量a与实数?的乘积记作规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的

方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反? 当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?

运算规律? (1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a；?(a?b)??a??b? 向量的单位化? 设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? ，于是a?|a|ea?

|a|定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ?

??a?

③空间直角坐标系

在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位?

(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? (3)数轴的的正向通常符合右手规则??

坐标面? 在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面? ? x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?

卦限? 三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做

第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示? 向量的坐标分解式? 任给向量r? 对应有点M? 使OM?r? 以OM为对角线、三条坐标轴为

棱作长方体? 有 r?OM?OP?PN?NM?OP?OQ?OR?

????????设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 则 r?OM?xi?yj?zk?

上式称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量? 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 M?r?OM?xi?yj?zk?(x, y, z)?

有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标? 记作r?(x? y? z)? 向量r?OM称为点M关于原点O的向径? ④利用坐标作向量的线性运算 设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)

??????a?b?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a?(?ax? ?ay? ?az)?

利用向量的坐标判断两个向量的平行? 设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ?

即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是

⑤向量的模、方向角、投影?设向量r?(x? y? z)? 作OM?r? 则 向量的模长公式 |r|?x2?y2?z2? 设有点A (x1? y1? z1)、B(x2? y2? z2)?

AB?OB?OA?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1)?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)?

A、 B两点间的距离公式为：|AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2?? 方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角? 设r?(x? y? z)? 则 x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?

?????bxbybz??? axayazy cos??x? cos??? cos??z?

|r||r||r|从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er? cos2??cos2??cos2??1?

|r|投影的性质?

性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)? 性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?

2、数量积、向量积、混合积

①两向量的数量积

数量积? ?对于两个向量a和b??它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的

余弦的乘积称为向量a和b的数量积??记作a?b??即

a·b?|a| |b| cos? ??

数量积的性质??

(1)? a·a???|a| 2??

(2) 对于两个非零向量 a、b??如果 a·b??0??则 a?b;

反之??如果a?b??则a·b??0??

如果认为零向量与任何向量都垂直??则a?b???a·b??0?? 两向量夹角的余弦的坐标表示??

设??(a? ^ b)? 则当a?0、b?0时??有?

axbx?ayby?azbz cos??a?b????

22222|a||b|a2?a?ab?b?bxyzxyz数量积的坐标表示??

设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz )? 则 a·b?axbx?ayby?azbz ? 数量积的运算律?? (1)交换律?? a·b?? b·a;

(2)分配律???(a?b)?c?a?c?b?c ?

(3)?(?a)·b?? a·(?b)?? ?(a·b)?? (?a)·(?b)?? ??(a·b)???、?为数???

②两向量的向量积

向量积??设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出?? c的模?|c|?|a||b|sin ? ??其中? 为a与b间的夹角;

c的方向垂直于a与b所决定的平面??c的指向按右手规则从a转向b来确定?? 那么??向量c叫做向量a与b的向量积??记作a?b??即

c?? a?b??

向量积的性质??

(1) a?a?? 0 ?

(2) 对于两个非零向量a、b??如果a?b???0??则a//b??反之??如果a//b??则a?b?? 0?? 如果认为零向量与任何向量都平行??则a//b???a?b???0?? 数量积的运算律??

(1) 交换律a?b????b?a?

(2) 分配律??(a?b)?c???a?c???b?c??

(3) (?a)?b???a?(?b)????(a?b) (?为数)?? 数量积的坐标表示??设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)

a?b???( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k??

为了邦助记忆??利用三阶行列式符号??上式可写成

ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi

bxbybz ??( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k???? ③三向量的混合积

混合积：先作两向量a和b的向量积a?b,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积

(a?b)?c，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc]

ax[abc]= (a?b)?c= bxaybycyazbz cz cx混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平

行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。

三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即

ax bx cx

aybycyazbz=0 cz3、曲面及其方程

①曲面方程的概念

如果曲面S与三元方程 F(x? y? z)?0 有下述关系????

(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x? y? z)?0? ? (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x? y? z)?0?

那么? 方程F(x? y? z)?0就叫做曲面S的方程? 而曲面S就叫做方程F(x? y? z)?0的图形? ? 例如：方程 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?表示球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面 ②旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 这条定直线叫做旋转曲面的轴? ?

设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为

f (y? z) ?0?

把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程为

f(?x2?y2, z)?0?

这就是所求旋转曲面的方程? ?

在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0? ?

同理? 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y, ?x2?z2)?0? ?

③柱面

柱面??平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的

准线? 动直线L叫做柱面的母线? ??

例如方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ? 一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ?

类似地? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ④二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面? 把平面叫做一次曲面? (1)椭圆锥面

2y2 由方程x2?2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面?

ab(2)椭球面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为椭球面? abc(3)单叶双曲面

2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为单叶双曲面?

abc(4)双叶双曲面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? abc(5)椭圆抛物面

2y2x由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面? ab(6)双曲抛物面?

2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? 双曲抛物面又称马鞍面? ab

22y2y2方程 x2?2?1? x2?2?1? x2?ay?

abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面?

4 空间曲线及其方程

①空间曲线的一般方程

设 F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0是两个曲面方程? 它们的交线为C 所以C应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0 ?上述方程组叫做空间曲线C的一般方程? ②空间曲线的参数方程

?x?x(t)?空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数??? ?y?y(t)?……..(2)

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程

组(2)叫做空间曲线的参数方程? ③空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?

?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??

?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???

?H(x,y)?0 ?z?0?5 平面及其方程

①平面的点法式方程

法线向量? 如果一非零向量垂直于一平面? 这向量就叫做该平面的法线向量? 已知平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)， 平面的点法式方程?为：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0 ②平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax?By?Cz?D?0， 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)? 特殊位置的平面方程： D?0? 平面过原点?

n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴??n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴??

n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面??n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面??n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面??求这平面的方程

y③平面的截距式方程为： x??z?1?(其中a?0? b?0? c?0)?该平面与x、y、z轴的交点依次

abc为P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)三点? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距?

x-x1④平面的三点式方程为： x2?x1y-y1y2?y1y3?y1z-z1z2?z1=0其中M(x1,y1,z1)，N(x2,y2,z2) z3?z1 x3?x1P(x3,y3,z3)是平面上的三点。

⑤两平面的夹角

两平面的夹角??两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角?

设平面?1和?2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面?1和?2的夹角? 应是(n1, n2)和(?n1, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? cos??|cos(n1, n2)|?^^^^|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2

平面?1和?2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 也即n1垂直于n2 平面? 1和? 2平行或重合相当于

A1B1C1???也即n1平行于n2 A2B2C2

设P0(x0? y0? z0)是平面Ax?By?Cz?D?0外一点? P0到这平面的距离公式为?

d?

|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222

6 空间直线及其方程 ①空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线??

如果两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L满足方程组

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? (1)

222?2上述方程组叫做空间直线的一般方程?

②空间直线的对称式方程与参数方程?

方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?

已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 则直线L的方程为：x?x0y?y0z?z0? 叫做直线的对称式方程或点向式方程? ??mnp 注? 当m? n? p中有一个为零? 例如m?0? 而n? p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0? ?y?y0z?z0?

??p?n当m? n? p中有两个为零? 例如m?n?0? 而p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0?0 ??

y?y?00? ? 设

x?x0y?y0z?z0???t? 得方程组 mnp?x?x0?mt? ?y?y0?nt?

??z?z0?pt此方程组就是直线L的参数方程?

③两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角? 设直线L1和L2的方向向量分别为s1?(m1? n1? p1)和s2?(m2? n2? p2)? 那么L1和L2的夹角?就是(s1, s2)和(?s1, s2)???(s1, s2)两者中的锐角? 因此cos??|cos(s1, s2)|

cos??|cos(s1, s2)|?^^^^^|m1m2?n1n2?p1p2|222m1?n1?p1?222m2?n2?p2

设有两直线L1?

x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2? L2?? 则 ????m1n1p1m2n2p2 L 1?L 2?m1m2?n1n2?p1p2?0?

mnp l1IIL2?1?1?1

m2n2p2④直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时? 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角? 当直线与平面垂直时? 规定直线与平面的夹角为

?? 2设直线的方向向量s?(m? n? p)? 平面的法线向量为n?(A? B? C)? 直线与平面的夹角为??? 那么

??|??(s ^, n)|? 因此sin??|cos(s , n)|

^2sin??|Am?Bn?Cp|? ?

A2?B2?C2?m2?n2?p2 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行? 所以? 直线与平面垂直相当于 A?B?C?

mnp 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直? 所以? 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am?Bn?Cp?0? 设直线L的方向向量为(m? n? p)? 平面?的法线向量为(A? B? C)?? 则 L????A?B?C? ?

mnp L/ / ??? Am?Bn?Cp?0?

三、疑难点解析

（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？

答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。

数量积：a·b?|a| |b| cos? ? ?axbx?ayby?azbz ? 向量积c?? a?b??， |c|?|a||b|sin ? ? ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi

bxbybzax混合积： [abc]= (a?b)?c= bxaybycyazbz cz cx

（2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？

答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：：“绕谁（如x）旋转谁不变，另外

22一个字母变成?平方和（如y?z）”。

（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？

答：例如：x2?y2?64，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当(x0,y0)满足上述方程，则对任意的z,

(x0,y0,z)也满足这个方程。

（4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？ 答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。

（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？

答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。

四、考点分析

（一）向量的的基本概念的相关知识

例1、平行于向量a?(6,7,?6)的单位向量为______________.

解： ???67?6?,,? 111111??例2、 设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角. 解、M1M2=（-1，-2，1）

2?3??121,??,?? ,cos??,??M1M2=2,cos???,cos??343222例3、 设m?3i?5j?8k,n?2i?4j?7k,p?5i?j?4k，求向量a?4m?3n?p在x

轴上的投影，及在y轴上的分向量.

解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j 例4、 在空间直角坐标系{O;i,j,k}下，求M(a, b, c)关于

(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，

M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).

M (a, b, c)关于原点对称的对称点的坐标为(－a,－b, —c).

（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算

例5、设a?3i?j?2k,b?i?2j?k，求(1)a?b及a?b；(2)(?2a)?3b及a?2b(3)a、b的夹角的余弦.

解：（1）a?b?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3

???i a?b?3jk?1?2?5i?j?7k

12?1 （2）(?2a)?3b??6(a?b)??18，a?2b?2(a?b)?10i?2j?14k

（3）cos(a,b)?^a?b3 ?a?b221例6、知M1(1,?1,2),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量. 解：M1M2?{2,4,?1},M2M3?{0,?2,2}

ijka?M1M2?M2M3?24?1?6i?4j?4k

0?22?a6?4?4??{,,} a217217217即为所求单位向量。

例7、已知OA?i?3k,OB?j?3k，求?OAB的面积

解：思路：S?OAB?1191 |OA?OB|=答案：

222i其中OA?OB?1jk03??3i?3j?1k，|OA?OB|=19

013

例8、求单位向量n，使n?a且n?x轴，其中a?(3,6,8).

解：取b?i，则n?a,n?b。 c=a?b=8j-6k,|c |=10,n=?

例9、a?b?3,a?b?{1,1,1},求?(a,b)

c1,答案：n??(8j?6k)

10|c|解：a?b?absin(a,b)=3,a?b?abcos(a,b)。tan?(a,b)??3?,答案：?(a,b)?

63例10．已知矢量a,b互相垂直，矢量c与a,b的夹角都是60，且a?1,b?2,c?3计算：

(1)(a?b)2;(2)(a?b)(a?b);(3)(3a?2b).(b?3c);(4)(a?2b?c)2

解：

(1)(a?b)?a?2a.b?b?1?2?0?22?5;(2)(a?b)(a?b)?a?b?1?22??3;(3)(3a?2b).(b?3c)?3a.b?2b?9a.c?6b.c7??8?9?3.cos60??6?2?3cos60???;2(4)(a?2b?c)?a?4ab?2ac?4bc?4b?c2?1?2?3cos60??4?2?3cos60??4?22?32?11

例11、已知平行四边形以a?﹛1，2，-1﹜，b?﹛1，-2，1﹜为两边

(1)求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角

222222222

解：(1)a?

22?1?1?6,b?1?22?1?6 111=- ∴??arccos或??arccos

666a?b

cos??a?b

(2)c1?a?b?10，c2?a?b?14.

cos??c1?c2c1?c2=0 ∴???2

?) 例12、已知a?1,b?5,a?b?3.试求: (1)a?b (2)?(a?b)?(a?b???(3)??(a?2b)?(b?2a)?

22

2

2解: (1) sin?(a,b)?1?cos(a,b)?1?()?354 5

2

∴a?b?a?b?sin?(a,b)?4.

2

? ?(?2a?b)2 ?4a?b ?64. (2)原式= ?(a?b)?a?(a?b)?b????(?3a?b)2=9?42?144 (3)原式=?a?b?2b?b?a?2a?4b?a??2例13、已知直角坐标系内矢量a,b,c的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. (1)a??3,4,5?, b??1,2,2?, c??9,14,16?.

(2)a??3,0,?1?,

b??2,?4,3?,

c???1,?2,2?.

3解: (1)共面 ∵(a,b,c)=145

22?0 ∴向量a,b,c共面 9141630?1

(2)不共面 ∵(a,b,c)=2?4?1?23?2 ∴向量a,b,c不共面 以其为邻边作成2的平行六面体体积V?2

（三）求平面的曲线与曲面

例14.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(?6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M在轨迹上的充要条件是MA?

1MB。设M的坐标(x,y)有 2(x?3)2?y2?1(x?6)2?y2 化简得(x?6)2?y2?36 222故此动点M的轨迹方程为(x?6)?y?36 此轨迹为椭圆

例15、 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴y?x; ⑵ x?y2?3?解:⑴?x?t

??y?t231212?a,?a?0?; ⑶x3?y3?3axy?0,?a?0?.

12令x?acos?,代入方程x?y?a

得y?a?acos2??asin2?,y?asin4?

4??x?acos?. ?参数方程为?4??y?asin?41212121212121233⑶令y?tx,代入方程x?y?3axy?0

得1?tx?3atx?0

?3?32?x21?t3x?3at?0

?x?0或x?3at1?t3

????

3at3at2当x?0时,y?0;当x?时,y?

1?t31?t33at?x???1?t3故参数方程为?. 23at?y??1?t3?

(四)空间的曲线与曲面方程及投影

例15、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C22?2MA?z

?z

亦即(x?4)?y?z?(x?4)2?y2?0

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x?4)?y?0

例16、 求下列各球面的方程： （1）中心(2,?1,3)，半径为；R?6 （2）中心在原点，且经过点(6,?2,3)； （3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3) （4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)

（5）求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 . 解：（1）所求的球面方程为：

22(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?36

（2）球面半径R?62?(?2)2?32?7

所以类似上题，得球面方程为

x2?y2?z2?49

（3）球面的球心坐标a?2?4?3?15?3?3,b???1,c??1，球的半径222R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)2?21，所以球面方程为： 2(x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21

（4）设所求的球面方程为：x2?y2?z2?2gx?2hy?2kz?l?0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以

?l?0?16?8g?0? （1） ??10?2g?6h?0??16?8k?0解（1）有

?l?0?h??1? ??g??2??k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0

（5）球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

即：x?y?z?6x?10y?4z?18?0

例17、（1)将xOy坐标面上的y?2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________.

2)将xOy坐标面上的x?y?2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.

3)将xOy坐标面上的4x?9y?36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方

22222222程为_____________，曲面名称为_____________________.

4）在平面解析几何中y?x2表示____________图形。在空间解析几何中

y?x2表示______________图形.

解：求旋转曲面方程的口诀：“绕谁（如x）旋转谁不变，另外一个字母变成

?平方和（如y2?z2）”

（1) y2?z2?2x,旋转抛物面

（2)x2?y2?z2?2x,球面

（3)绕x轴：4x2?9y2?9z2?36旋转双叶双曲面

绕y轴：4x2?4z2?9y2?36旋转单叶双曲面

（4）、抛物线，抛物柱面

5）画出下列方程所表示的曲面 (1)z?4(x?y)

解：

222

2

(2)z?4(x?y) 解

2

?x2y2?1??例18、（1）、指出方程组?4在平面解析几何中表示____________图形，在空间= 9?y?3?析几何中表示______________图形.

（2）、求球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程. （3）、求上半球0?z?a2?x2?y2与圆柱体x2?y2?ax(a?0)的公共部分在

xOy面及xOz面上的投影.

?y2?z2?2x?0（4）、求曲线?在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么

z?3?曲线？

解：（1）、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。

?2x2?2x?y2?8 （2）、?

z?0?a2a2?2(x?)?y?()?（3）、在xoy面的投影为：?22，

??z?0?x2?z2?a2在xOz面的投影为（？）：?

y?0?

(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为

?y2?2x?9?0。原曲线是由旋转抛物面y2?z2?2x?0被z?3平面所截的抛物线。 ?z?0?

例19、已知柱面的准线为：

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0母线平行于x轴，求该柱面方程； 解：从方程

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x，得到：(z?y?3)?(y?3)?(z?2)?25

22222即：y?z?yz?6y?5z?3?0 2此即为要求的柱面方程。

例20、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，且过点(1,2,6)和(,?1,1)，求这个椭圆抛物面的方程。

解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：

13x2y2??2z a2b2令确定a与b

1?(1,2,6)和(,?1,1)均在该曲面上。

3?有：

4?1??12??a2b2 ?11??2?22?b?9a从而

13616?,? 5b25a236x26y2??2z 所以要求的椭圆抛物面的方程为：55即：18x?3y?5z

（五）求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找到平面过的点和平面的法向量） 注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。

例21（1）、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

解：平面过点为（3,0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为

22n?(3,?7,5),再由平面方程的点法式方程知所求方程为：3x?7y?5z?4?0

（2）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.

解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知n?a?b?(1,1,?3)，在由点法式方程知所求平面为：1?(x?1)?1?(y?1)?3(z?1)?0。

（3）、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.

解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y轴，所以可以用z轴上的单位向量（0,1,0）为法向量，再由点法式方程知所求平面为：y?5?0 （4）、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.

解：因为平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量NM=（1,1，9）,由因为所求平面平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=（1,0,0），从而n?MN?I?(0,9,?1),再由点法式方程知所求平面方程为：9y?z?2?0

?x?2y?4z?7?0（5）、求过点(2,0,-3)且与直线?垂直的平面方程.

3x?5y?2z?1?0? 解：直线??x?2y?4z?7?0的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以

?3x?5y?2z?1?0v?(1,?2,4)?(3,5,?2)?(?16,14,11)，在由平面的点法式方程知所求平面为：

16x?14y?11z?65?0

（6）、求过点(3,1,-2)且通过直线

x?4y?3z??的平面方程. 521

解：因为平面过直线，所以过直线上的点A（4，-3,0），已知过点B(3,1,-2),从而过向量

AB?(?1,4,?2)及直线的方向向量v?(5,2,1),因此平面的法向量可求出

n?AB?v?(8,?9,?22)，再由平面的点法式方程知所求平面为：8x?9y?22z?59?0。

（2，0，?3）（7）、求过点且与直线??2x?2y?4z?7?0,垂直的平面方程。

3x?5y?2z?1?0.??i解：s?2?j?k?24??16(1,?1,?1) 35?2所求平面方程为(x?2)?(y?0)?(z?3)?0 即x?y?z?5?0

（8）、求过点M1(4,1,2)，M2(?3,5,?1)，且垂直于6x?2y?3z?7?0的平面.

解：法一：，所求平面法向量n?M1M2，且n?n1?{6,?2,3}

ijk?取n?M1M2?n1??74?3?{6,3,?10}

6?23又平面过点M1(4,1,2)，则平面方程为6x?3y?10z?7?0

解法2. 在平面上任取一点M(x,y,z)，则MM1M1M2和n1?{6,?2,3}共面，由三向量

?x?4共面的充要条件得

y?1z?2?243?0，整理得所求平面方程 ?36?7

（9）、求过直线l1??x?2y?z?1?0xyz?平行的平面. ，且与直线l2：?1?12?2x?y?z?2?0解：用平面束。设过直线l1的平面束方程为x?2y?z?1??(2x?y?z?2)?0 因为所求平面与直线l2：?x1yz?平行，则所求平面的法向量(1?2?,??2,1??)与直?12线l2的方向向量(1,-1,2),从而(1?2?)?(??2)?2(1??)?0???5，因此所求平面方程为11x?3y?4z?11?0。

（10）、求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而

4B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.

从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.

?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.

(11)求过A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三点的平面方程

（12）、已知直线L1:x?1?的平面方程。

y?2z?3x?2y?1z???，，直线L2:求过L1且平行L20?1211?i?j?k解： n?10?1??1,?3,1? 211在L1上任取一点(1,2,3)，

故所求平面方程为 (x?1)?3(y?2)?(z?3)?0 即x?3y?z?2?0

（13）、求过z轴，且与平面2x?y?5z?0的夹角为

?的平面方程. 3解：平面过z轴，不妨设平面方程为Ax?By?0，则n1?{A,B,0}，且（A,B 不全为0），已知平面的法向量为n2?{2,1,?5}，两平面的夹角为平面的关系有cos?，根据两法向量与两3?3?|n1?n2|?|n1|?|n2|2A?BA2?B2101y?0 3?A1?, B3所以所求的平面方程为：x?3y?0或x?

（六）求直线方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找出直线所过的点与直线方向向量）

xy?3z?1??的直线方程. 215xy?3z?1?解：因为所求直线平行于直线?，所以可取所求直线的方向向量为（2,1,5），

215例22（1）、求过点(1,2,3)且平行于直线

又因为过点（1,2,3），由直线的对称式方程知所求直线方程为：

x?1y?2z?3 ??215（2）、求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1,y?3z?2平行的直线方程.

解：所求直线与两平面x?2z?1,y?3z?2平行，所以该直线垂直于这两平面的法向量

n1?(1,0,2),n2?(0,1,?3)，所以也垂直于这两法向量构成的平面，有两向量的叉乘知可去

所求直线的方向向量为v?n1?n2?(?1,3,1)，再由直线的对称式方程知所求直线方程为：

xy?2z?4 ???231

（3）求过M0(?1,0,4)且平行于平面3x?4y?z?10?0又与直线的直线方程。 解：设所求直线方程为

x?1y?3z??相交112x?1yz?4?? mnp?所求直线与已知平面平行，则所求直线的方向向量与已知平面的法向量垂直即有

3m?4n?p?0 （1）

又所求直线与已知直线（相交）共面，在已知直线上任取一点M1(?1,3,0)，则

mn在平面上。三向量(所求直线，已知直线，M0M1)共面，得1p0即10m?4n?3p?0 （2）

由（1）（2），得m:n:p?16:19:28 ?所求直线方程：程.

（4）、求在平面?:x?y?z?1上，且与直线L：?12?0，

3?4x?1yz?4?? 161928?y?1垂直相交的直线方程.

?z??1解：所求直线与已知直线L的交点(1,1,?1)，过交点(1,1,?1)且垂直于已知直线的平面为

x?1?0。

答案：??x?1?0

?x?y?z?1（5）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线；

解：所求直线的方向向量为（5，-5,0） 由直线的对称式方程知所求直线方程为：

（6）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60?,45?,120?的直线； 解：欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120??,x?3yz?1x?3yz?1????，亦即。 5?501?10??????1?221?,??， 22?故由直线的对称式方程知所求直线方程为：

（7）通过点M(1,0,?2)且与两直线

。

x?1y?5z?3。 ??1?12x?1yz?1xy?1z?1???和?垂直的直线； 11?11?10解：欲求直线的方向矢量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?，所以，直线方程为：

x?1yz?2??。 112（8）用对称式方程及参数式方程表示直线??x?y?z?1?0,

2x?y?3z?4?0.?解：s?1511?(4,?1,?3)，取 x?0,y?1 得z??

42?13?i?j?k5xy?14 故直线的对称式方程为 ??4?1?3z???x?4t? 直线参数式方程为 ?y??t?1

?5z??3t??4?

（七）利用平面与直线的位置关系找出法向量与方向向量，求平面与直线的夹角、距离、位置关系、直线与平面的交点计算等相关知识点的各类题型

例23、 判别下列各直线之间的位置关系：

y?1z?1?（1）L1:?x?1?与L223?x?1?2t,?:?y?2?t, ?z?3.?解：s1?(?1,2,3)，s2?(2,1,0)，s1?s2?0 所以 L1?L2

?2x?y?1?0, :??3x?z?2?0.???ijk解：s1?(?1,2,3)，s2?210?(1,?2,?3)??(?1,2,3)

301（2）L1:?x?yz?与L223所以 L1‖L2

（ⅰ）求点到直线的距离 例24、求原点到

x?1z?3?y?2?的距离。 22?x?2t?1x?1z?3??y?2?解：方法（1）化为参数方程?y?t?2 22?z?2t?3? 点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为t的点） d(t)?(2t?1)2?(t?2)2?(2t?3)2

?9t2?20t?14 ?9(t?10210010026)?14??14??9993(t??10) 9 方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为 2(x?0)?(y?0)?2(z?0)?0

?x?2t?110? 将直线L化为参数式方程为?y?t?2代入直线L的垂面方程，得t??

9?z?2t?3? 所以（0，0，0）在直线L上的垂足为(?1187,,) 999 所求距离为d?(?112827210026? )?()?()?14?39999

（ⅱ）求直线与平面的交点

z?4与平面2x?y?z?6?0的交点。 2z?4?t 解：（1）令x?2?y?3?2例25、求直线x?2?y?3? 代入平面得 2(t?2)?(t?3)?(2t?4)?6?0，t??1 所求交点为 (1,2,2)

（ⅲ）已知点在已知平面的投影计算。

例26 求点M(5,0,?3)在平面?:x?y?2z?1?0上的投影。 解：过M(5,0,?3)且与?:x?y?2z?1?0垂直的直线方程为

x?5yz?3???t 11?2代入得t?5?t?2(?2t?3)?1?0?t??2

x?3,y??2,z?1，

故在平面?:x?y?2z?1?0上的投影为(3,?2,1) （ⅳ）涉及线面关系的综合计算。 例23 (1)、求直线??x?y?3z?0与平面x?y?z?1?0的夹角.

?x?y?z?0解：设平面与直线的夹角为?，直线的方向向量为v?(1,1,3)?(1,?1,?1)?(2,4,?2)，平面的法向量n?(1,?1,?1)，sin??|v?n|=0，所以夹角为0。

|v|?|n|（2)直线?; 解: 直线?直线

?x?2y?z?7x?1y?3z??与直线的位置关系 2?1?1?2x?y?z?7??x?2y?z?7的方向向量为v1?(1,2,?1)?(?2,1,?1)?(3,1,5)

??2x?y?z?7x?1y?3z??的方向向量为v2?(2,?1,?1) 2?1?1v1?v2?0，所以两直线垂直。

（3)直线

x?2y?2z?3??和平面x+y+z=3的位置关系 31?4x?2y?2z?3??在31?4解：直线的方向向量（3,1，-4）与平面的法向量（1,1,1）垂直，从而知该直线平行于平面或在平面内，有因为直线上一点（2，-2,3）在平面内，所以知直线平面x+y+z=3内。

（4）、求点A(3,-1,2)到直线??x?y?z?1?0的距离.

?2x?y?z?4?0解：直线的方向向量为v?(1,1,?1)?(2,?1,1)?(0,?3,?3)，求直线上的一点（可令y=0）

?x?z?1?0?x?1,所以直线过点B（1，0，2）,点AB之间的距离为5,向量AB与v???2x?z?4?0z?2??的夹角?的余弦为

cos??110,sin??310，所以A点到直线的距离为

d?5sin??

32 2

(6)、求两直线L1：

x?1yzxyz?2???与直线L2：?的最短距离. 0?1?16?30解：已知两直线的方向向量为S1?{0,?1,?1},S2?{6,?3,0}，故垂直于两方向向量的向 量n可取为n?S1?S2??3i?6j?6k，又点(1,0,0)在直线L1上

?过直线L1且平行于L2的平面为?3(x?1)?6y?6z?0，即x?2y?2z?1?0，又点

(0,0,?2)在直线L2上，该点到平面x?2y?2z?1?0的距离

d?

31?2?2222?1为所求两直线间的最短距离。

（7）求两平行平面19x?4y?8z?21?0，19x?4y?8z?42?0间的距离：； 解：（1）将所给的方程化为：

1948x?y?z?1?0 2121211948?x?y?z?2?0 212121?所以两平面间的距离为：2-1=1。

（8）求两平面x?y?11?0，3x?8?0所成的角；

解：（1）设?1：x?y?11?0，?2：3x?8?0

?(1,?2)?? cos|?3|2?3??2? ?(?1,?2)?

42

（9）.求下列各对直线间的角 ①

x?1y?2z?5xy?3z?1??与??. 362296②??3x?4y?2z?0?4x?y?6z?2?0与?.

2x?y?2z?0y?3z?2?0??|x1x2?y1y2?z1z2|222x12?y12?z12x2?y2?z2解 ①cos???|6?54?12|9?36?44?81?36?72 77∴ ??arccos72. 77?3x?4y?2z?0xyz的对称式方程为:??,?10211?2x?y?2z?0② 直线

4

z??4x?y?6z?2?0xy?63的对称式方程为：???3124?y?3z?2?0|30?24?44|100?4?1219?144?1698. 195cos???9898?

13?15195∴ ??arccos

例24、.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示两平行平面；

（3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示两互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的两方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38??? m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。 9992m3?? l?6?6（2）欲使所给的两方程表示两平行平面，则：

所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的两方程表示两垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??1。 7例25、求关于直线??x?y?4z?12?0与点P(2,0,?1)对称的点。

?2x?y?2z?3?0解：已知直线的方向矢量为：?1,?1,?4???2,1,?2???6,?6,3?，或为?2,?2,1?，求直线上的一

?x??5x?y?12?0?x?5y?7z???y?7）,从而直线方程为?? 点（令z=0, ?2x?y?3?02?21??z?0??过P垂直于已知直线的平面为：2(x?2)?2y?(z?1)?0，即2x?2y?z?3?0

?x?2t?5?x?5y?7z令???t??y??2t?7代入平面方程2x?2y?z?3?0解出t=

2?21?z?t?该平面与已知直线的交点为(1,1,3)，所以若令P?(x,y,z)为P的对称点，则：

1?2?x0?y?1?z，1?，3? 222? x?0,y?2,z?7， 即P?(0,2,7)。

（八）用平面束求解题；求过直线??A1x?B1y?C1z?D1?0的平面可设为

?A2x?B2y?C2z?D2?0(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0

例26、.求通过平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的交线且满足下列条件之一的平面：

（1）通过原点； （2）与y轴平行； （3）与平面2x?y?5z?3?0垂直。

解：（1）设所求的平面为：(4x?y?3z?1)??(x?5y?z?2)?0 欲使平面通过原点，则须：?1?2??0，即??故所求的平面方程为：

1， 22(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0

即：9x?3y?5z?0。 （2）同（1）中所设，可求出??1。 5故所求的平面方程为：5(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0 即：21x?14z?3?0。

（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面2x?y?5z?3?0垂直，则须：

2(4??)?(?1?5?)?5(3??)?0

从而：??3，

所以所求平面方程为：7x?14y?5?0。

五、章节基础训练

向量及其线性运算

一、选择题

1. 点(a,b,c)关于y轴的对称点坐标为-------------------------------------------------------（ ） （A）(?a,?b,?c) （B）(?a,b,?c) （C）(?a,b,c) （D）(a,?b,c) 2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角---------------------------------------------（ ） （A）30?,45?,60? （B）45?,60?,90? （C）60?,90?,120? （D）45?,90?,135? 3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ ） A ）5 B） 3 C） 6 D）9 4. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ ）

A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}.

5、 已知向量PQ??4,?4,7?的终点为Q?2,?1,7?,则起点P的坐标为 （ ）；

A、??2,3,0?; B、?2,?3,0?; C、?4,?5,14?; D、??4,5,14?.

6、已知向量a??1,1,1?,则垂直与a及y轴的单位向量b? （ ）；

A、111?1,?1,1?; B、??1,1,0?; C、?1,?1,0?; D、?1,0,1?. 3227、零向量的方向（ ）；

A、是一定的； B、是任意的； C、与坐标轴间的夹角相等； D、以上结论都不对。

8、单位向量的方向 （ ）；

A、必相等； B、不相等； C、不一定相等； D、向量的方向必相同。

9、两个单位向量（ ）；

A、是一定的； B、是任意的； C、与坐标轴间的夹角相等； D、以上结论都不对。

二、填空题 1．（4?）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

（2，?3，4）（2，3，?4）(1) 第____________卦限 (2) 第____________卦限 （2，?3，?4）（?2，?3，4） (3) 第____________卦限 (4) 第____________卦限

2、 已知两点A(4,0,5)与B(7,1,3)，与向量AB方向一致的单位向量a= 。

?03、若A(1,?1,3),B(1,3,0)，则AB中点坐标为(1,1,)，|AB|? 4、若?,?,?为向量a的方向角，则cos2??cos232???cos2?? __________

sin2??sin2??sin2?? _______________ .

??5、a?(2,?3,1)与b?(4,2,?2)的位置关系_______________

.

6、已知A(?1,2,?4)，B(6,?2,t)，且|AB|?9，则（1）t=_____________； （2）线段AB的中点坐标为______________________。 7、已知点P的向径OP为单位向量，且与z轴的夹角为则点P的坐标为____________________________。

三、计算题

2、已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b． 3、 设a?{2,?3,1},b?{1,?1,3},c?{1,?2,0},求(a?b)?c.

???????????????，另外两个方向角相等， 6

5、化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．

6、已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若|a|?23，求a的坐标。

7、试证明以三点A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。

数量积、向量积、混合积

一、选择题

???????1、 设a?i?k,b?2i?3j?k,求a?b是：（ ）

A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k

2、设⊿ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,?1,3)，求三角形的面积是：

A ）

22646 B） C） D）3

333

3、下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（ ）

????????????(A) a?b?b?a (B) a?b??b?a (C) a2?|a|2 (D) a?a?0

二、填空题

1、已知a?2，b?2，且a?b?2，则a?b? ．

??2、a?(1,1,?2)与b?(?2,?2,4)的位置关系为_________________ ????（3,?1,2）3、设a?，b?，则 a?b=_______________ （1,2,?1）??a?b.=___________________________

三、计算题

??????1、设a?(2,?3,2),b?(?1,1,2),c?(1,0,3)，求(a?b)?c.

??2、试找出一个与a?(1,2,1),b?(0,1,1)同时垂直的向量。

3、已知A(1,0,0),B(0,2,1)，试在z轴上求一点C，使?ABC的面积最小。

4、设a?(3,5,?2),b?(2,1,4)问?与?有怎样的关系，能使得?a??b与z轴垂直。 5、设已知向量a?2i?3j?k,b?i?j?3k和c?i?2j，计算

??

曲面及其方程

一、选择题

1、设球面方程为x?(y?1)?(z?2)?2,则下列点在球面内部的是（ ）；

222A、?1,2,3?; B、?0,1,?1?; C、?0,1,1?; D、?1,1,1?.

2、列曲面中经过原点的曲面是（ ）；

A、x?y?z2?2; B、x2?y2?z2?1;

3、 曲面z?； x?y2的图形关于（ ）

C、z?y2?xy2; D、z?(x?1)2?y2.

A、yoz平面对称； B、xoy平面对称； C、xoz平面对称； D、原点对称。

?2y2z2?x???14、?在空间直角坐标系里表示（ ）； 49?x?1?y2z2A、一个点； B、平面x?1； C、椭圆??1 D、椭圆面。

49222??2x?y?z?165．母线平行于x轴且通过曲线?2的柱面方程是( )． 22??x?y?z?0(A) 3x2?2z2?16 (B) 3y2?z2?16 (C) x2?2y2?16 (D) 3y2?z?16

?y2?5z6、将曲线?绕z轴旋转一周，所得的曲面为（ ）

x?0?（A）圆锥面 （B）旋转抛物面 （C）椭球面 （D）抛物柱面 7、在空间直角坐标系中，x2?y2?4是（ ）

（A）圆 （B）球 （C）一点 （D）圆柱面

二、计算题

3、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x?4的距离的一半，试求此动点的轨迹。 4、yoz坐标面的曲线f(y,z)?0绕z轴旋转生成的旋转曲面的方程是：

空间曲线及其方程

1、求出平面x?2?0与椭球面x2y242?9?z24?1的交线方程。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？

（1）x2?y2?16z2?64； （2）x2?4y2?16z2?64； （3）x2?4y2?16z2?64； （4）x2?9y2?16z

平面及其方程

1、在空间直角坐标系下，方程3x?5y?0的图形表示为（ ）；

A、通过原点的直线； B、垂直于z轴的直线；

C、垂直于z轴的平面； D、通过z轴的平面。

2、直线L:x?2y?2z?3?1?3?4与平面?:x?y?z?3的位置关系为----------（（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）L在平面?上 3. 平面x?26y?3z?3?0与xoy面夹角为-------------------------------------------（ （A）

?6 （B）?4 （C）??3 （D）2 4、 通过点M??5,2,?1?,且平行与yoz平面的平面方程为（ ）；

A、x?5?0; B、y?2?0;

C、z?1?0; D、x?1?0.

5、2x?3y?4z?1在x,y,z轴上的截距分别为（ ）；

A、2,3,4; B、1,1,1; C、1,3,2; D、1,1,12342234.

6、平面x?y?z?0（ ）；

） ）

A、平行于x轴； B、平行于y轴； C、平行于z轴； D、过原点。

7. 求两平面x?2y?z?3?0和2x?y?z?5?0的夹角是：（ ）

A ）

??? B） C） D）? 2438、已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求∠AMB是（ ）

??? B） C） D）? 243xyz9、平面???1与平面2x?3y?4z?1的位置关系是( )．

234(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合

A ）

10. 求平行于z轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2,?1,1)的平面方程．是（ ） A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）x?y?1?0． 11、设平面方程为Bx?Cz?D?0，且B,C,D?0，则平面( ) （A）平行于x轴 （B）平行于y轴 （C）经过y轴 （D）垂直

二、填空题

1、通过原点且垂直于直线l:x?2y?2z?8??的平面方程为 ． 3?252、 过点M(1,2,3)且与yoz坐标面平行的平面方程为____________________ 3、 点(1,2,1)到平面x?2y?2z?10?0的距离为 ___________________ 4、判定下列两平面之间的位置关系：

（1）平面x?2y?4z?0与平面2x?4y?8z?1. __________________ （2）平面2x?y?3z?1与平面3x?2z?4.__________________________ 5、点(1,2,3)到平面3x?4y?12z?12?0的距离d=____________________

6、过点(1,2,3)且平行于平面2x?y?2z?5?0.的平面方程为____________________- 7、指出下面各平面的特殊位置：

（1）x=0; (2)3y-1=0; (3)2x-3y-6=0; (4)x-3y=0; (5)y+z=1; (6)x-2z=0 (7)6x-z+5=0

三、计算题

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面 （2）通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

2、求下列各平面的方程：

（１）通过点p(2,0,?1)，且又通过直线（２）通过直线

x?1yz?2??的平面； 2?13x?2y?3z?1??且与直线 1?5?1?2x?y?z?3?0 ??x?2y?z?5?0平行的平面； （３）通过直线

x?1y?2z?2??且与平面3x?2y?z?5?0垂直的平面； 2?32（4）平行y轴，且过点P(1,?5,1)和Q(3,2,?1).的平面 （5）过点M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)且垂直于平面x?y?z?0. 3、 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; 4、求两平行平面3x?6y?2z?7?0，3x?6y?2z?14?0间的距离： 5、求过三点M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2),M3(0,2,3)的平面方程。 （ⅲ）二平面夹角的计算（夹角规定为[0,

?]）。 26、求两平面x?y?2z?6?0和2x?y?z?5?0的夹角。 7、求Ax?By?Cz?D1?0与Ax?By?Cz?D2?0之间的距离。

9、求过点（1,2,1）而与两直线??x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和?平行的平面的方程。

?x?y?z?1?0?x?y?z?010、求证：直线??5x?3y?2z?5?0包含在平面4x?3y?7z?7?0之内。

2x?y?z?1?0?

空间直线及其方程

一、选择题 1、 设空间直线方程

xyz??,则此直线经过的点是（ ）； 012 C、?0,0,1?; D、?2,1,2?.

A、?0,0,0?; B、?0,1,0?;

2、?

?x?1在空间直角坐标系里表示（ ）；

?y?2A、一个点； B、两条直线； C、两个平面的交线，即直线 D、两个点。

3、空间直线

x?1y?2z?? 与平面3x?2y?7z?1的相互位置关系是（ ） 3?27（A）互相平行但不相交 （B）互相垂直

（C）不平行也不垂直 （D）直线在平面内

?A1x?B1y?C1z?D1?04、设直线方程为?，且AC1,D1,B2,D21,B1, By? D?0?22则直线( )． 0?，

（A）过原点 （B）平行于z轴 （C）垂直于y轴 （D）平行于x轴

xy?1z?2??M(2,?1,10)321的距离是：5、 求点到直线L：（ ）

A ）138 B118 C）158 D）1

二、填空题

1、过点P(1,2,3)且垂直于平面3x?4y?z?10的直线方程_________________________； 2、过点P(1,2,3)且平行于直线

x?3y?2z?1??的直线方程____________________； 1?233、过点P(1,2,3)和点Q(3,3,1)的直线方程________________________________________;

4、直线??A1x?B1y?C1z?D1?0通过原点的条件是什么？

?A2x?B2y?C2z?D2?05、.确定l,m的值，使： （1）直线

x?1y?2z??与平面lx?3y?5z?1?0平行则l=_________________； 431?x?2t?2?（2）直线?y??4t?5与平面lx?my?6z?7?0垂直则l,m分别为_______________;。

?z?3t?1?6、.判别下列直线与平面的相关位置：

x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3的位置关系为_______________； ?2?73xyz?与平面3x?2y?7z?8的位置关系为_______________；（2）直线?；

3?27（1）直线（3）直线??5x?3y?2z?5?0与平面4x?3y?7z?7?0的位置关系为

?2x?y?z?1?0_______________；；

?x?t?（4）直线?y??2t?9与平面3x?4y?7z?10?0的位置关系为_______________；。

?z?9t?4?三、计算题

1、求点(2,3,1)关于直线x?7?2、求过点(2,0,1)且与直线?y?1z?2?的对称点坐标。 23?2x?3y?z?6?0平行的直线方程。

4x?2y?3z?9?0?3、求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影。 4、求k的值，使直线

x?3y?1z?3x?1z?2???y?5?与直线相互垂直。 2kk?153k?2

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