第七章空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数

在平面解析中. 通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.

本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题. 这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.

第一节 向量及其线性运算

本节主要内容

1 向量的概念 2 向量的线性运算

3空间直角坐标系

4利用坐标进行线形运算

5向量的模、方向角、投影

讲解提纲：

一、向量的概念.

既有大小，又有方向。例如位移、速度、加速度等等。

二、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法

????定理1 设向量a?0, 那末向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数?, 使??b??a.

定理1是建立数轴的理论依据. 我们知道，确定一条数轴, 需要给定一个点、一个方向及单位长度. 由于一个单位向量既确定了方向, 又确定了单位长度, 因此, 只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.

三、空间直角坐标系

四、利用坐标进行线形运算

?????a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?????a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k

1

?????a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k

五、向量的模、方向角、投影

性质1 Prjua?|a|cos? （?为向量a与u轴的夹角）;

????性质2 Prju(a?b)?Prjua?Prjub;

???性质3 Prju(?a)??Prjua （?为实数）.

??例题选讲：

向量的线性运算

?????1b?3a?例1 化简 3a?2b?5??b?5?2??. ?????????????例2 在平行四边形ABCD中, 设AB?a,AD?b,试用a和b表示向量

??????????????????和MA,MB,MCMD, 这里M是平行四边形对角线的交点.

解：由对角线互相平分，所以

??????????? (a?b)?AC?2AM ,???????即?(a?b)?2MA,

????1??于是MA??(a?b)，

2

?????1???????1??????1??MC?(a?b),MD?(b?a),MB?(a?b)

222例3 在x轴上取定一点O作为坐标原点. 设A, B是x轴上坐标依次为x1,x2 ??????的两个点, i是与x轴同方向的单位向量, 证明 AB?(x2?x1)i.

空间两点间的距离

例4 已知点A(2,1,4),B(4,3,10)，写出以线段AB为直径的球面方程。 解：记线段中点的坐标为(x0,y0,z0)，则

x0?3,y0?2,z0?7

半径r?1?1?32?11

222得所求的球面方程为(x?3)?(y?2)?(z?7)?11

2

向量的代数运算

例5设m?i?j?k, n?i?2j?k, p??2i?j?2k, 用单位向量em,en,ep.表示向量i,j,k.

解：易得

?1??????1?5?1?1?j?(m?n),k?(m?n?p),i?m?n?p

3412124??????????????????于是得

?53?6?3??3?6??3?6?3?i?em?en?ep,j?em?en,k?em?en?ep

1212433444例6已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数? (???1),试在直线AB上求一点?????????M(x,y,z)，使 AM??MB.

解：由于OM?OA??(OB?OM) 从而OM?11??????????(OA??OB)

?OM?(x1??x21??,y1??y21??,z1??z21??)

向量的模、方向角、投影

例7已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3)，求与向量AB平行的单位向量e. 解：因为

???????????? AB?OB?OA?(3,1,? 2)?????? 所以AB?14 ? 于是e?114(3,1,2).

???????4)和M2(1,3,1), 计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

例8已知两点M1(4,4, 向量在轴上的投影

????例9 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为OA, 且|OA|?a,求OA在OM方向上的

投影Pr?????OA. jOM????解：cos?MOA?OAOM?13 3

于是Pr

课堂练习

?????OA.=|jOM????????a OA|cos?MOA=3????????????1.已知平行四边形ABCD的对角线AC?a,BD?b, 试用a,b表示平行四边形四边

上对应的向量.

2.在?ABC中, D是BC上的一点, 若AD?12(AB?AC), 证明D是BC的中点.

3试证明以三点A(4,1,9),B(10,?1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形.

????????????4设有向量P1P2, 已知|P1P2|?2,它与x轴和y轴的夹角分别为和, 如果P1的坐标

34为(1, 0, 3), 求P2的坐标.

第二节 数量积 向量积 混合积*

本节主要内容

1两向量的数量积 2两向量的向量积

讲解提纲：

一、 两向量的数量积：

定义1设有向量a、b，它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积

??（或称为内积、点积），记为a?b??????，即

????a?b?|a||b|cos?.

根据数量积的定义，可以推得：

??????（1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

性质：

（1） a?a?|a|;

??????a（2） 设、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积的运算规律：

????（1） 交换律 a?b?b?a;

4

（2）分配律 （3）结合律

???????(a?b)?c?a?c?b?c; ???????(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）.

二、两向量的向量积

???定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

??????（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图

7-3-5）；

??????（2）c的模 |c|?|a||b|sin?，(其中?为a与b的夹角)， ???则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

???c?a?b.

根据向量积的定义，即可推得

???（1）a?a?0；

??????（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 a?b?0.

向量积满足下列运算规律: （1）a?b??b?a;

???????（2）分配律 (a?b)?c?a?c?b?c;

??????（3）结合律 ?(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）.

????

例题选讲：

两向量的数量积

??例1 已知a?{1,1,?4},b?{1,?2,2}, 求

??????(1) a?b; (2) a与b的夹角?; (3) a与b上的投影.

例2 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

解：设在?ABC中，?BCA??BC?a,CA?b,AB?c,

?????????????????? 记CB?a,CA?b,AB?c,则有c?a?b

从而可得c?a?b?2abcos?。

222 5

所求投影直线的方程??x?3y?2z?1?0?x?y?z?1?0

例4 求抛物面y2?z2?x与平面x?2y?z?0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 例5求旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影. 解：在三坐标面上的投影为x2?y2?4,x2?z?4,y2?z?4.

课堂练习

1. 设一个立体由上半球面z?xOy面上的投影.

4?x?y和锥面z?223(x?y)所围成, 求它在

22

2.求椭圆抛物面2y2?x2?z与抛物柱面2?x2?z的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.

?z?a2?x2?y2?223 方程组?a?a表示怎样的曲线? ?2??x???y?2?4??

第五节 平面及其方程

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

本节主要内容

1 平面的点法式方程

2平面的一般方程 3两平面的夹角 4 点到平面的距离

讲解提纲：

一、 平面的点法式方程：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0.

二、平面的一般方程：

11

Ax?By?Cz?D?0,

平面的截距式方程： 三、两平面的夹角：

xa?yb?zc?1.

设有两平面?1和?2：

??1:A1x?B1y?C1z?D1?0, n1?{A1,B1,C1}

则两平面的夹角 cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A222222

1?B1?C1?A2?B2?C2 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出如下性质：

（1） ?1??2 的充要条件是A1A2?B1B2?C1C2?0； （2）?1//?A11C12的充要条件是

A?B

2B?2C.2（3）?1?B1?C11与?2重合的充要条件是

AA?D12B2C2D.

2 四、点到平面的距离：d?|Ax0?By0?Cz0?D|A2?B2?C2.

例题选讲：

平面的点法式方程

例1 求过点M(1,2,?1)且与0??2x?3y?z?5??3x?y?2z?4?0垂直的平面方程.

解:设所求平面方程为：A(x?1)?B(y?2)?C(z?1)?0. n??(A,B,C,)直线的方向向量s?为

?i?j?k ?s?2?31??5i??7j??1k 1 31?2因为平面与已知直线垂直?//?s，取n??? 所以ns

即所求的平面方程为5(x?1)?7(y?2)?11(z?1)?0.

例2 求过点A(1,1,?1),B(?2,?2,2)和C(1,?1,2)的平面方程.

12

?x?2?3t?例3 求通过(1,2,?1)点且通过直线L:?y?2?t的平面的方程.

?z?1?2t? 解：设所求平面方程为：A(x?1)?B(y?2)?C(z?1?)直线的方向向量

???s=(3,1,2)。因为n?s于是有3A?B?2C?0

由题意有A?2C?0

联立解之得A??2C,B?4C,

故所求平面方程为：?2x?4y?z?5?0。

平面的一般方程

例4求通过x轴和点(?4,3,1)的平面方程. 解：设该平面方程为By?Cz?0

又因为该平面过点(4,?3,?1)，所以有?3B?C?0 整理可得所求平面方程为y?3z?0

例5设平面过原点及点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程. 解：所求平面的法向量可取为

???ijk??*?? n?s?n?6?32??4i4?12?? k?4j?6 故所求平面方程为2x?2y?3z?0

平面的截距式方程

例6 求平行于平面6x?y?6z?5?0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

两平面的夹角

例7 求两平面的夹角:

?1:x?y?2z?6?0, ?2:2x?y?z?5?0; 解：由公式

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cos??|2?1?2|1?1?2?2222?1?1222?12

例8求平面2x?2y?z?5?0与各坐标面夹角的余弦 . 解：可得与各坐标面夹角的余弦为,122,. 333

点到平面的距离

例9 求两平行平面?1：Ax?By?Cz?D1?0和?2：Ax?By?Cz?D2?0之间的距离d.

解：取平面?1：Ax?By?Cz?D1?0上一点P(x0,y0,z0) 则d?

课堂练习 1.求通过直线

x?1?1?y?12?z?11x?21y?2?1z?32Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222?D2?D1A?B?C222

和??的平面的方程.

2.求通过点P(2,?1,?1),Q(1,2,3)且垂直于平面

2x?3y?5z?6?0

的平面方程.

3求经过两点M1(3,?2,9)和M2(?6,0,?4)且与平面2x?y?4z?8?0垂直的平面的方程.

4 求平面II, 使其满足: (1) 过z轴;

(2) II与平面2x?y?5z?0夹角为

?3.

第六节 空间直线及其方程

本节主要内容

1 空间直线的一般方程

2 空间直线的对称式方程与参数方程

3 两直线的夹角

4 直线与平面的夹角

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讲解提纲：

?A1x?B1y?C1z?D1?0, 一、空间直线的一般方程：?

Ax?By?Cz?D?0.222?2 二、空间直线的对称式方程与参数方程：

x?x0m?y?y0n?z?z0p

?x?x0?mt? ?y?y0?nt

?z?z?pt0? 三、两直线的夹角

??设s1?{m1,n1,p1}，s2?{m2,n2,p2}分别是直线L1，L2的方向向量，则L1与L2的

????????夹角?应是(s1,s2)和(?s1,s2)??? (s1,s2)两者中的锐角. 因此cos??|cos(s1,s2)|. 仿

照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果.

??|s1?s2||m1m2?n1n2?p1p2|（1） cos???； ??222222|s1|?|s2|m1?n1?p1?m2?n2?p2（2）L1?L2的充要条件是m1m2?n1n2?p1p2?0； （3）L1//L2的充要条件是

四、直线与平面的夹角

（1）设直线的方向向量为s?{m,n,p}，平面的法向量n?{A,B,C},直线与平

面的夹角为?，则 sin??|cos(s,n)|???m1m2?n1n2?p1p2.

???|Am?Bn?Cp|A?B?C222?m?n?p222；

（2）L??的充要条件是

Am?Bn?Cp;

（3）L//?的充要条件是Am?Bn?Cp?0.

例题选讲：

空间直线的对称式方程与参数方程

例1 求过点?1,2,1?，垂直于直线L1:直线的方程.

x?13?y2?z?11又与直线L2:x2?y??z相交的

15

?x?1?lt解：设通过?1,2,1?的直线方程为??y?2?mt

??z?1?nt因为L?L1， 所以3l?2m?n?0,

又因为L与L2相交，可得n?l?m， 联立解之得：l??35n,m?25n，

?x?1?3t故所求直线的方程为??y?2?2t

??z?1?5t例2用对称式方程及参数方程表示直线 x?y?z?1?0???2x?y?3z?4?0.

解：取x0?1代入方程组得 ??y?z??2

?y?3z?6解之得：(1,0,?2)??i?jk 设??s为直线的方向向量， ?s?n1?n2?111?4?i??j?3k 2?13 因此直线的对称式方程为x?1y24??1?z??3

?x?1?4t 参数方程为??y??t

??z??2?3t两直线的夹角

例3 求直线Ly?z?1?0?z?1?01:x?2???x?2y?z?1?0和直线. L2:??x?y?x?y?2z?1?0间的夹角.

例5 求过点M(2, 1, 3)且与直线x?1y?1z3?2??1垂直相交的直线方程.

直线与平面的夹角

例6 设直线L:x?1yz?12??1?2,平面?:x?y?2z?3,求直线与平面的夹角?.

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平面束

例7 过直线L:?

课堂练习 1.在直线方程平行.

2 设一直线过点A(2,?3,4),且与y轴垂直相交, 求其方程.

3.求直线??y?2x?7?z?2x?5x?42m?yn?z?26?p?x?y?z?1?0?x?y?2z?2?0与平面?1:x?2y?3z?3?0.夹角的余弦.

中, m、n、p各怎样取值时, 直线与坐标面xOy、yOz都

与平面z?3x的夹角?和交点.

4. 求直线L1:x?11?y?12??x?z?1,与直线L1:?之间的距离.

y?2z?31?z本章小结：空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就. 法国数学家笛卡尔和费

马均于十七世纪上半叶对此作出了开创性的工作. 我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问题的思想，这就是解析几何的基本思想. 要用代数方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中最基本的概念分别是数和点. 于是首先要找到一种特定的数学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是坐标系. 通过坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.

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