工程力学第8章答案

`第8章 弹性杆件横截面上的正应力分析

8－1 图示的三角形中b、h。试用积分法求Iz、Iy、Iyz 。

解：

Iz??ydA2A

byhdy 图（a）：

Iz?IydA?b(y)dy?h0

4?bhb3y?dy???hhh44

22by??zAdA

?hb(b?z)dzy8-1图 习题z

dz 图（a）：

Iy??dA??b(z)dz??b

dyhb?0?z2?hb(b?z)dz??hb?0?b(bz2?z3)dzyb(z)

?h?b1hb3???(?b)3?b4??b?3412?Iyz?

zb(y) 图（b）：

z??yzdA?A?yzb(y)dy?A?yzAbyhdy?bh?zydyA2

dyy

b(a) zb(y)2?h?by2h

ydy?2h?02h482h z

8－2 试确定图中所示图形的形心主轴和形心主惯性矩。 解：1．图（a）中y、z即为形心主轴

Iyz?2b?by?b?h4??bh22yb(y) (b)

1264

半圆对其形心轴y?的惯性矩： 128

故整个图形：

Iy?100?8012Iz?80?1003?π?644?5.843?106mm4

5Iy??π?644?(2?643π)?2π?6482?1.15?10mm4

3 式中

?π?6452?2?1.15?10?a??8?2????

习题8-2图

a?40?2?643π6?26.4mm

5 Iy?4.267?10?2?(1.15?10 2．先求图（b）形心位置： zC = 0

yC?100?60?(?20)?0100?60?π?40442?26.4?1608)?1.792?1026mm4

??25.3

Iy?mm

?1.674?106100?60123?π?40643mm4

44

6556 ?(5?10?1.685?10)?(1.256?8.0436)?10?4.239?10mm4

8－3 图中所示组合截面为两根No.20a的普通热轧槽形钢所组成的截面，今欲使Ix = Iy，试求b =？（提示：计算所需要数据均可由型钢表中查得。）

?60?100Iz???12???π?402?5.3?60?100?????64???25.3?2π?402????

zOy1 解：查表No.20a

Iz1 = 1780.4 cm4，Iy1 = 128 cm4 zO = 2.01cm，A = 28.83cm2 Iz = 2Iz1

若Iy = I1，则

b2??Iy?2?Iy1?(zO?)A?2??b2Z1OC

习题8-3图

Iz1?Iy1?(zO?)A2

1780.4?12828.83??2.01??11.12?? cm

8－4 已知图示矩形截面中Iz1及b、h。试求Iz2现有四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A） （B） （C）

Iz2?Iz1?14bh3?b?2???Iz1?Iy1A???z0??2?????；

3Iz2?Iz1?Iz2?Iz1?316116bh；

3bh；

3 16 （D）。

习题8-4图 正确答案是 D 。

8－5 图示T字截面中z轴通过组合图形的形心C，两个矩形分别用I和II表示。试

y 判断下列关系式中哪一个是正确的。 y

Iz2?Iz1?3bh （A）Sz(I)?Sz(II)； （B）Sz(I)?Sz(II)； （C）Sz(I)??Sz(II)；

（D）Sz(I)?Sz(II)。

习题8-5图 习题8-6图

正确答案是 C 。

8－6 图示T字形截面中C为形心，h1 = b1。试判断下列关系中哪一个是正确的。

（A）Sz(I)?Sz(II)； （B）Sz(I)?Sz(II)； （C）Sz(I)?Sz(II)； （D）Sz(I)??Sz(II)。 正确答案是 A 。

解：若用右手系，y轴坐标朝上为正，则由h1?b1得

2 ，Sz(II)??2b1h1?0

若考虑正负号，则应选A；若考虑静矩的绝对值，则应选B。

8－7 图示矩形中y1、z1与y2、z2为两对互相平行的坐标轴。试判断下列关系式中，哪一个是正确的。

Sz(I)?3b1h1?022 （A）Sy1 （B）Sy1 （C）Sy1??Sy2??Sy2??Sy2，Sz1，Sz1，Sz1??Sz2，Iy1z1?Iy2z2； ；

??Sz2，Iy1x1??Iy2x2?Sz2，Iy1z1?Iy2z2；

习题8-7图

（D）Sy1?Sy2，Sz1?Sz2，Iy1z1??Iy2z2。 正确答案是 A 。

8－8 关于过哪些点有主轴，现有四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A）只有通过形心才有主轴； （B）过图形中任意点都有主轴；

（C）过图形内任意点和图形外某些特殊点才有主轴； （D）过图形内、外任意点都有主轴。

正确答案是 D 。

8－9 图示的矩形由两个正方形组成，其中y1z1，y2 z2，y3 z3，y4 z4为四对直角坐标，h1 = b。关于这四对坐标中哪些是主轴，有如下结论，试判断哪一个是正确的。 （A）y3 z3、y4 z4是主轴；

（B）除y2 z2外，其余三对均为主轴； （C）除y1z1外，其余三对均为主轴； （D）仅y3 z3为主轴。

正确答案是 B 。 8－10 图示直角三角形截面中，A、B分别为斜边和直角边中点，y1z1、y2 图z2 为两对互习题8-9相平行的直角坐标轴。试判断下列结论中，哪一个是正确的。 （A）

Iy2z2?Iy1z1?0?Iy1z1?0?Iy1z1?0

； ； ；

（B）Iy2z2 （C）Iy2z2 （D）Iy2z2?Iy1z1?0

正确答案是 C 。

习题8-10图

8－11 等边三角形截面如图所示，其中C为形心，y1z1、y2 z2、y3 z3、y4 z4、y5 z5为五对直角坐标轴，且y1、y3、y4为对称轴。关于这五对坐标轴是不是主轴，有下列结论，试判断哪一个是正确的。

（A）除y5 z5外，其余四对均为主轴；

（B）除y2 z2、y5 z5外，其余三对均为主轴； （C）仅y1z1、y3 z3为主轴； （D）五对轴均为主轴。

正确答案是 A 。

8－12 习题8－11中，截面对五对坐标轴的惯性矩之间的关系有以下结论，试判断习题8-11图 哪一种是正确的。 （A）

Iy1?Iz1?Iy2?Iz2?Iy3?Iz3?Iy4?Iy5?Iz4?Iz1?Iy3?Iz3?Iy4?Iy3?Iy4

；

（B）仅有Iy1 （C）仅有Iy1；

；

（D）Iy1?Iz1?Iy2?Iz2?Iy3?Iz3?Iy4?Iy5?Iz5。

正确答案是 A 。

8－13 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：

（1）导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；

（2）已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。

解：变形谐调：

FNs

EsAs?FNaEaAa

（1） （2）

FNs?FNa?FP

EsAs?FP?FNs?EsAs?EaAa??EaAa?FFPNa??EA?EAssaa??s?FNsAs??EsFP（压）

??EsFPb0hEs?2b1hEa （1）

Esb0h?Ea?2b1h

?a?FNaAa??EaFPb0hEs?2b1hEa

9399 （2）

?s??200?10?385?10??1750.03?0.05?200?10?2?0.02?0.05?70?10MPa（压）

Es200 MPa（压）

8－14 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值：

（1）横截面上的最大正应力尽可能小； （2）曲率半径尽可能大。

?a??175Ea??17570??61.25??MzWz?Mbh6z2?6M2z2b(d?b) 解：（1）

dWz

2

hdbb??33ddbd2(bd2?b)?d3?3b2?0

2h2?d2?b?23d2

习题8-14图

b?（正应力尽可能小）

?MEI31zz （2）

?z

d2Iz?dIzdhb2bh12?02??hh1234223

d2，得

?h2h2?

?d?14d

hb?3（曲率半径尽可能大）

8－15 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN·m一个内力分量，Iz = 11.3

64

×10mm，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。

FNx? 解：

??xdA?A2??A 1MIzzydA???A 2MIzzydA

y?0.088dy?????MIzz?0.07y?0.006dy????0?0.0800.07

习题8-15图

??MIzz1??6??702?3?62?88?122(8022??70)??10?22?9

??20?1011.3?103?10?9?3?70?44?(80?70)?

??143?10M2z??143kN

|FNx|?yc*?yc*?20

2?143

即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。

8－16 试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合

?0.0699m?70mm?a?FPa?32aFP??a(3a42?43?FPa2

（b）为单向拉伸

?a?b26a)

?b?FPa2

习题8-16图

?43

8－17 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力：

（1）在点1、2、3处均有40 kN的压缩载荷； （2）仅在1、2两点处各承受40 kN的压缩载荷； （3）仅在点1或点3处承受40 kN的压缩载荷。

FNx

解：

A?40?103?6200?75?103?2.67MPa

MWz?40?106?0.125275?100?40 （1）

?A?10?9MPa

?3?40?10200?753??B??3FNxAMW??8

MPa

80?103习题8-17图

?12522?A??2FNxA?z??2?40?10200?753?75?2006??15.3 （2）

?B??2FNxA?MWzMPa

??2?40?10200?753?40?10?12575?200623?4.7

（3）在点1加载：

?AMPa

3??FNxA?MWz??40?10200?753?40?10?125275?2006??12.67 MPa

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