章动进动

有关地球进动和章动的探讨

作者：何凤仪 指导老师：陈冠英 教授

湛江师范学院，信息科技学院 ， 湛江524048

摘要：以动力学和运动学的理论为基础，通过引入地球动坐标系相对惯性空间的运动，讨论地球地轴绕黄道平面法线的进动，地轴上下颠动的章动，和刚体地球的极移，解释岁差和春分点西移现象。并用理论力学知识近似给出地轴进动周期的一种简单算法，从而突破理论力学相关内容的教学难点。

关键词：地轴； 进动； 章动

The Inquiry about precession and Nutation of Earth

Author：He Feng Yi Tutor：Chen Guan Ying

Information Technology and science School,Zhanjiang Normal University， zhanjiang, 524048

Abstract：Base on the dynamics and kinetics，discussed the precession of the earth＇s axis around the planar normal line of the ecliptic， nutation which moves top and bottom of the earth＇s axis， and the wobble of rigid earth’s axis， through introducing motion of sit sport frame that fastens to the earth with respect to inertial spatial frame． Thus， explaining the phenomenon of precession and the vernal equinox orders moves to the west． A simple algorithm about the precession of the earth＇s axis is approximately presented， counteracting with the theories mechanics knowledge． Thus，break the teaching crux of interrelated content of theories mechanics． Key words: earth＇s axis；precession； nutation

1引言

地球运动是一个天文问题，也是一个地球物理问题。研究它的运动对于天体方位的测定有着重要的意义。地球物理是天体物理中最先发展的一个分支，也是人们十分关注的一个课题，研究地球物理因素对地球运动的影响对于人类了解地球上出现的各种现象有实际的意义。公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰是岁差现象的最早发现者，牛顿是第一个指出产生岁差的原因是太阳和月球对地球赤道的隆起部分的吸引，英国天文学家不拉德雷在1748年分析了1727-1747年的恒星位置的观测资

1

料后，发现了章动。地球章动理论有两种：一是分析力学方法，二是潮波法，目前分析力学方法在逐步完善。地轴进动与极移在力学机制上有一定的联系，进动与岁差是由同一物理机制引起的。极移涉及到地球上寒温各带的转换，导致生态环境的改变。本文以刚体转动的力学原理为基础，结合牛顿经典力学给出地轴进动和章动的定义，并解释地球自转轴进动、章动，和岁差产生的原因，春分点西移和极移现象。

2 地球自转轴的进动与章动分析

2.1自转轴进动的原因和影响

地球自转轴是倾斜的，地球又不是正球体，在月球或太阳的引力作用下，自转轴有被“扶正”的趋势，但转动着的地球产生一种抗力，使地球自转轴不但不会被扶正，还要保持倾角不变，绕与黄道垂直的轴（黄极）缓缓旋转，扫过一个圆锥面，旋转一周大约是26000年，这一运动称为地球自转轴的进动，如图1所示。

地球自转轴与黄道平面的垂直方向偏离? 角（黄赤交角2326'），赤道区隆起的部分（实际是一个环状连续体）到月球或太阳的距离不同，所以受到的引力大小

121[1][2]?f和f不同，

122f>f。f的作用是“扶正”地球自转轴，f的作用是“拉倒”地球自转轴，两个合力的作

用是“扶正”。如果地球不自转，地轴就被扶正了，但地球自转产生的抗力使自转轴

与黄极保持倾角不变，并绕黄极沿一个锥度为2?的圆锥

[3]动面运。

自转轴进动产生原因与陀螺仪进动一样，下面就用刚体动力学原理分析陀螺进动的原因。

?? 按定义，重力矩M等于角动量J的变化率，角动量

????的增量 ?J 等于重力矩的冲量M?t： ?J=M?t

此外，陀螺是一个绕自转轴转动惯量I 很大的轴对称刚体。我们可以近似地认为其角动量和角速度都沿自转轴

2

????J?I?0，方向，并可写成J=I? ，设陀螺绕自转轴高速旋转的角动量为0方向与铅

??OO'?t??JM?t直轴成角，在时间间隔内，冲量矩产生同一方向角动量增量，方向

???J?J??J0沿OC'方向，即与铅直轴垂直。在这段时间后角动量变为，根据矢量的平

???JJ?J0行四边形合成法则，、与仍在同一平面内，且这个平面与纸面垂直，角动量绕铅直轴OO'转过?角度，这就是说，陀螺自转轴产生了沿此方向的进动。

[4]考虑到陀螺除受约束反力外，只受重力作用，从理论力学的角度分析，陀螺自转可认为是重刚体绕定点转动问题，且陀螺自转属于拉格朗日—泊松情况。在这种情况下，I1?I2?I3，I1

定系O????及动系O'?XYZ的原点重合.设陀螺的重心在G ,且长度 OG?l,则作用在刚体

[5]??上的外力为?mgK,K为?轴上的单位矢量, m为刚体质量,重力对O点的力矩为：

???ijk???M?lk?(?mgK)?mgl00?1KXKYKZ

?? ?mgl(KYi?KXj)，

MZ?0 ?而K与进动角速度方向相同，由欧勒运动学方

程

?cos???X???sin?sin?????sin??sin?cos?????y????cos?????z???可得

????K?sin?sin?i?sin?cos?j?cos?k

所以

O?XYZ中的表达式为：

3

???M?mgl(sin?cos?i?sin?sin?j) 由欧

程得：

?x?(I2?I3)?y?z?mglsin?cos??I1???y?(I3?I1)?z?x??mglsin?cos??I2???z?0I3??

（1）

?cos???? （常数） （2）将上式第三式积分得：?z??

这表明陀螺沿着它的对称轴的分角速度是不变的，陀螺在运动过程中能量守恒，即：

1222(I1?x?I2?y?I3?Z)?mglcos??E2

（3）

???由于陀螺的重力方向与轴平行，所以对轴重力矩为零，因而动量矩J在?轴方??向上必是一个常数，即J?K??=常数

（4）

把欧勒运动学方程中的?x,?y和（2）式?z代入式(3)式得

?2???2sin2?)?I3S2?2(E?mglcos?) （5） I1(???把K和J的值代入（4）式得：

??????(I1?xi?I2?YJ?I3?zk)?(sin?sin?i?sin?cos?j?cos?k)?? （6） 令I3S??,cos??x，由 （2）（5）（6）式解得

??????x

I1(1?x2)，

??????x?I3 （7）

只要x(?)与t 的关系确定,则?和?与t的关系就可由（7）式求出，因而陀螺的运动就可以完全确定, ?随t 改变叫做进动（z绕?轴转），而?随t 的改变（上下颠动）叫做章动。所以陀螺运动时，在z轴绕?轴作进动的过程中，还伴有上下颠动的章动，?在?1与?2之间来回摆动。

在前面讨论陀螺在重力矩作用下旋进现象时，都是在自旋角速度比较大的情况下出现的，并近似地认为刚体的总角动量就是它绕对称轴自旋的角动量。事实上陀螺在旋进过程中它的总角动量应该是自旋角动量和旋进角动量的矢量和。所以在实

4

际过程中，陀螺在进动的基础上，还伴有上下周期运动的章动。如图4所示。

同理，地球是一个庞大的不停地旋转着的“陀螺”。因为地球的赤道部分向外凸出，赤道面与地球绕太阳旋转的黄道面以及与月球绕地球转动的白道面都互不重合。这样，月球和太阳大部分时间都位于赤道以南或赤道以北，它们对地球赤道部位凸出处的引力就必然会对地球产生一个力矩，强迫地球的赤道面向黄道面和白道面靠近。但是，地球在快速自转着，月球和太阳对地球赤道隆起部分吸引的结果，便使地球的自转轴画出一个以地心为顶的对顶锥。所以地球自转轴绕黄极运动情况跟陀螺一样，进动和章动的共同影响使得真天极绕着黄极在天球上描绘出一条波状曲线，如图5所示。

但陀螺的进动方向与自转方向是一致的，都是自西向东；而地球地轴的进动方向与自转方向相反，地轴进动方向为自东向西，自转方向为自西向东。这是因为陀螺在重力的作用下有“倾倒”的趋势，而地轴在太阳和月球的引力作用下，有“直立”的趋势。

地轴进动使北天极不能固定在某一个恒星位置，而在天球上沿一个小圆绕黄极作缓慢移动，约26000年绕行一周。离北天极最近的恒星被称为北极星。现在的北天极在小熊座?位置，它就是现在的北极星。然而在公元前2500年的时候，北极星是天龙座

5

?星；到公元3500年，北极星将是仙王座? 星；公元13600年时，北天极将指向

[6]天琴座?星，如图6所示。

2.2地球章动分析

地球自转轴沿光滑圆锥面进动，是只单独考虑月球和太阳的作用，实际情况要复杂得多。对地球自转轴施加外力的不仅有月球和太阳，还有各大行星。日、月、行星的轨道各有各的平面。行星到地球的距离也变化多端，联合作用力的大小和方向是复杂多变的。加之地球本身不是严格的刚体，内部质量分布也不均匀，使得地球自转轴的空间运动也很复杂。天文学上把太阳和月球对地

球赤道隆起部分的吸引而引起的地轴长期运动成为日月岁差，而把其它复杂的摆动统归为章动。月球绕地球公转的轨道面（白道面）位置的变化是引起章动的主要原

?因，黄道面和白道面并非在同一个平面，两者有509'的交角，这个交角叫做黄白交

角。黄道和白道相交的两点叫做黄白交点。其中一个交点，即月球从黄道面下面向黄道面上面运行时所通过的一点，叫做升交点；反之，另一点叫做降交点。黄白交

??角是个可变值，它是在 451'?509'之间有规律地变化着。黄白交点在黄道上也是不

固定的，白道的升交点沿黄道向西运动，每月在黄道上向西退行106'，如图7所示，约18.6年绕行一周，因而月球对地球的引力作用也有同一周期的章动。在天球上表现为真天极在绕黄极运动的同时，还围绕其平均位置（平天极）做周期18.6年的的运动。同样，太阳对地球的位置也有周期性的变化，并引起相应周期的章动。由太阳和月球所引起的章动称为日月章动，由太阳系内其它行星的吸引所引起的章动称为行星章动。

2.3自转轴进动周期的近似计算

地球并不是理想圆球，它的两极是扁的，“赤道环”上聚集了一些“多余质量”，且黄赤交角为2326'，由于上述原因，太阳对地球上靠近它的一面引力比远离的那一面大，这样

?? 6

便产生了一个使地球自转轴进动的力矩。

假设地球的“多余质量”2?m地均集中在赤道的两个对称点上，如图8所示。根据万有引力定律，太阳对“远点”和“近点”质量?m地的引力大小分别为：

F?GM?m地(R??R)2 （1）

F'?GM?m地(R??R)2

（2）

其中G为引力常量，M是太阳的质量R为太阳到地球的距离，?R是?m地到过地心的黄道法线的距离。 利用展开式得:

1?1?x1?x2?x3???(?1)nxn??1?x (-1

11?1?x?1?xR???R因为，故可取1?x，1?x，所以得：

F?

F'?GMm地?RR1?R22?GM?m地?RR1?2R22?GM?m地?R1?2R2R （3）

GMm地?RR21?R2?GM?m地?RR21?2R2?GM?m地?R1?2R2R （4）

F与F'的合力矩为：

?? M?F'rsin23?Frsin23

?2GM?m地2?R?rsin23RR2

4GM?m地r2sin23?cos23?=R3 （5）

（式中r为地球半径）

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3考虑到“多余质量”分布在赤道附近的环形区内，r的平均值略小些，可取2r，

仅冬至与夏至时力矩取最大值，春分与秋分时力矩均为零（当地轴从图3位置绕黄道法线转过90，春分与秋分时力矩获最大值，冬至与夏至时力矩取零），一年内可

?13取平均值2，因此力矩的平均值约为（5）式乘以8 ，即：

M?34GM?m地8R3r2sin23?cos23? 根据牛顿定律，太阳对地球的引力为

GMm地m地v2R2?R 由于地球绕行周期为一年，即

T'?2?RV=1(年) GM4?2由（7）（8）式可得：R3?T'2 把（9）式代入（6）式得：

M?3(4?)2?m地r2sin23?cos23?8T'2 因地球质量近似呈球形分布，它的角动量为

J??25m222?4?1地r??5m2地rT\?5m地r2T\ （?是地球的自转角速度，T\是地球自转周期） 上述力矩仅改变地球角动量在轨道平面内的分量

方向，如图9所示，这就是地轴产生进动现象的

原因。根据角动量定理有：

M?Jsin23?d?dt??'Jsin23??2?TJsin23? （12）

式中?'是地轴进动角速度，T是进动周期。 图9 地球力矩

8

（6）

7）

8）

9）

10）

11）

（（（（（

把（10）（11）式代入（12）式得：

3?m地1m地?cos23?252T\T 8T'8T'2m地T??15cos23?T\2?m地 （13） 其中“多余质量”（见图10阴影部分）

2?m地?m地4V??r'3V3

（V为地球体积,r'为地球半径）

m地?2?m地V1.08?1012?434V??r'1.08?1012???6356.84333[7]?270

又因为T'?365.24T\，所以地轴进动周期为 图10 赤道截面

T?8365.24T\T'm地8?270?365.24T'??57000(年)?T\2?m地15?0.9215cos23

4这就是说，地轴每隔5.7?10年进动1周。上述计算只考虑到太阳的引力作用，实际上地球还受月球的引力作用，月球虽比太阳小，但离地球比太阳近得多，所以在地轴进动上，月球的引力要比太阳大得多。它对地球的引力矩的大小与太阳的影响在同一数量级，若把月球的影响也考虑在内，地轴的实际进动周期约为2.6?10年。其它行星也都对地球有作用力矩，但是，它们离地球远，质量又较小， 以致它们的作用力矩对地球的进动不起作用。地轴的进动主要是月球，其次是太阳对地球赤道隆起部分产生的力矩造成的。

3 岁差分析

如图11所示，以地球为中心作任意半径的一假想大球面称“天球”，地球赤道平面与天球相交的圆称为 “天赤道”，地球绕日公转的轨道平面与天球相交的圆称为“黄道”，天赤道与黄道相交于两点，太阳视行从天赤道以南进入天赤道以北与天赤道的交点叫春分点；太阳视行从天赤道以北进入天赤道以南与天赤道的交点叫秋

4分点。太阳从春分点出发，沿黄道运行一周回到春分点为一“回归年”。

9

如果地轴不改变方向，二分点不动，回归

年与恒星年相等。但地轴绕黄极缓慢进动，赤道面与黄道面的交线也以同一周期在黄道面上旋转，图12中的中心是黄北极，天北极以2326'为半径按顺时针方向绕黄

1位置时，春分点在?1位置，当它在P2位置时，春分点在?2 北极转动。当天北极在P?位置。即是说，由于天北极的移动，

春分点由?1移到 ?2，这个位移方向是自东向西的，称为春分点西移。

由图13可见，当太阳每年春分时离开春分点?作周年运动，一年之后返回的时候，春分点已从某一恒星位置r向西移动到另一恒星位置r'太阳回到新的春分点完成了一个回归年周期，所花时间比回到原来的恒星位置要短些，而回到原来恒星位置所花的时间才是真正地球公转的物理周期，称为恒星年，回归年

与恒星年的差值即为岁差。

由太阳和月球引起的地轴长期运动称为日月岁差。按角度计算，每26000差360，

1的值约为50\。按时间量计算，每约26000年差一年，每年5'35\左右，即日月岁差P?造成回归年比恒星年短20分24秒。除受到太阳和月球的引力外，地球还受到太阳系内其他行星的吸引。虽然行星的引力作用对地轴的进动不起任何作用，但是，它们对地球的公转有摄动的影响，使地球轨道平面即黄道面的位置有微小的改变，这不仅使黄赤交角改变，还使春分点沿赤道产生一个微小位移（其方向与日月岁差相

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反），位移量称为行星岁差，由天体力学理论给出行星岁差的值?约0.\13。日月岁差

1??cos?，和行星岁差的综合影构成春分西移的实际量为黄经总岁差P?P现代值为

[3]P?50.\290966。其实地轴进动周期还可由以下方法算出,因为春分点每年西移

360?60?60?25800年50.\29,需要经过50.29在黄道上移动一周,这就是地轴进动周期。

4 地球极移和纬度变迁

由上面的讨论可知，地球是一个庞大的不停地旋转着的“陀螺”，地球自转属于拉格朗日-泊松情况，即I1?I3。地轴的进动角?和自转角?皆为时间t的函数，地

??，此时刚体地球的瞬时角速度?球除绕对称轴z自转外，还有绕?轴的角速度?为

??????为瞬轴方向。如图14所示。 ?及绕z轴的??两者矢量和，即???绕?轴的??

??可见，地球自转的转动瞬轴并不固定于地球，我们把地球的转动瞬轴（方向）

叫天文地轴，而把地球的对称轴z叫地理地轴。从地球上看天文地轴绕着地理地轴转动，天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象，如图15所示。因纬度由天文地轴?而定，而?轴又在地球上变动，故纬度要发生变化，实际测出来

??的天文地轴绕地理地轴转动的周期为14个月，这种现象，在天文学上叫做纬度变迁。

地轴进动造成的天极在星空背景中的移动与地轴在地球体内位置移动是不同的。后者造成的直接效应是极移，即地球南北两极在地球表面上的移动。“国际地球

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自转服务”监测结果表明，一世纪以来，地球北极在直径不超过20米的范围内扑朔迷离地转了80多圈，包含着多种周期因素，走出了一条碗转曲折的路线。因为极移是地球本体相对于自转轴的运动造成的，因此，极移不改变天极和天赤道在行星间的位置，但能使地理坐标产生微小的变动，并涉及到地球上寒温各带的转换。

5 结论

本文给出地球自转轴进动章动和岁差的定义，充分利用理论力学知识分析地球自转轴进动，章动产生的原因，理论上近似计算出地球自转轴的进动周期。并用地球物理和理论力学知识解释了岁差和极移现象，进而解释了纬度变迁的原因。

根据刚体地球模型的特点和理论力学中重刚体绕固定点转动的拉格朗日情况，进一步探讨了地球的运动问题。

致谢

在本课题的研究中一直得到了陈冠英老师的悉心指导，以及同组同学的互相协作，互相探讨，使本课题得以顺利地进行。借此机会表达自己的最诚挚的谢意。

参考文献：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/owr6.html