专题10.3 二项式定理（讲）-2015年高考数学一轮复习讲练测（解析

2015年高考数学一轮复习第10章概率统计

专题3二项式定理

〖考纲解读〗

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 〖备考明向〗

1.排列、组合与二项式定理是历年来高考重点内容之一,一般在选择题、填空题中出现，主要考查两个计数原理、排列数与组合数公式的运用、实际应用以及二项展开式，在考查排列、组合与二项式定理基础知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查这部分的基础知识,命题形式相对比较稳定. 〖知识梳理〗 1. 二项式定理

n1n1nrrn*

(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多

－

－

项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数Crn(r＝0,1，?，n)叫二项式系数．

nrrnrr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana

－

－

2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

1n1n(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn. －

3．二项式系数的性质

nr(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn.

－

(2)增减性与最大值：

n＋1k二项式系数Cn，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；

2n

当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；

2

n－1n＋1

当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值．

2n2n

12rnn

(3)各二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋?＋Cn＝2； 24135n1C0. n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

－

〖分析考向〗

考向一：求二项展开式中指定项或指定项的系数

?31?

?n的展开式中，第6项为常数项． 【典型例题】已知在?x－

?3?

2x??

(1)求n；

(2)求含x的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．

2

353

【迁移训练1】(1＋2x)(1－x)的展开式中x的系数是 . A．－4 C．2

B．－2

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

D．4

[来源:学*科*网]

考向二：二项式系数的性质

【典型例题】二项式(2x－3y)展开式中，求

(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．

9

【迁移训练1】设?

?2?2n22n－12n2

＋x?＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a2n－1x＋a2nx.则(a0＋a2＋a4＋?＋a2n)－(a1＋a3＋?＋?2?

a2n－1)2＝________.

考向三：二项式定理的应用

【典型例题】(1)求证：1＋2＋2＋?＋2

1

2

27

2

5n－1

(n∈N)能被31整除；

*

(2)求S＝C27＋C27＋?＋C27除以9的余数．

【迁移训练】

(1)求(1.999)精确到0.001的近似值． (2)证明：3>(n＋2)·2

nn－1

5

(n∈N，n>2)．

*

[来源:学科网ZXXK]

〖考题回放〗

2014年高考题组 1. 【2014高考湖北卷理第2题】若二项式(2x?a)7的展开式中

1xx3的系数是84，则实数a?（A.2 B. 54 C. 1 D.

24

52. 【2014高考湖南卷第4题】??1?23?2x?2y??的展开式中xy的系数是（ ）

A.?20 B.?5 C.5 D.20

83.【2014大纲高考理第13题】 ??xy?22???yx??的展开式中xy的系数为 . ?

）

?x?4. 【2014高考安徽卷理第13题】设a?0,n是大于1的自然数，?1??的展开式为

?a?na0?a1x?a2x2???anxn.若点Ai(i,ai)(i?0,1,2)的位置如图所示，则a?______.

275. 【2014全国1高考理第13题】?x?y??x?y?的展开式中xy的系数为________.（用数字填写答案）

8

6. 【2014全国2高考理第13题】?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

103227. 【2014山东高考理第14题】 若(ax?)的展开式中x项的系数为20，则a?b的最小值 . 2bx68. 【2014四川高考理第2题】在x(1?x)的展开式中，含x项的系数为（ ） A．30 B．20 C．15 D．10

63

2013年高考题组 1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)】(x?215)展开式中的常数项为（ ） x3

A．80 B.-80 C.40 D.-40

[来源:Z。xx。k.Com]

1??2.【2013年普通高等学校统一考试天津卷】 ?x?? 的二项展开式中的常数项为 .

x??6

a??73.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）】设常数a?R，若?x2??的二项展开式中x项

x??的系数为?10，则a?______.

5[来源:Zxxk.Com]

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】设二项式(x?15)的展开式中常数项为A，则3xA?________.

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）】二项式(x?y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是____________.（用数字作答）

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】

1??使得?3x???n?N??的展开式中含有常数项的最小的n为

xx??A．4 B．5 C．6 D．7

n7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学卷】已知(1?ax)(1?x)的展开式中x的系数为5，则a= （A）-4

（B）-3

（C）-2

（D）-1

528.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】(1?x)(1?y)的展开式中xy的系数是（ ） A．56 B．84 C．112 D．168

8422

9.【2013年全国高考新课标（I）】设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a， (x＋y)

2m＋1

2m展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )

B、6

C、7

D、8

A、5

4??1??x??,x?0,10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设函数f(x)??? , 则当x>0时, x???x?0.??x,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 （ ）

(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15

〖复习小结〗 明确高考：

1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；

2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主. 解题经验：

1．运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Cnarn－rrb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式

的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．

2．二项式定理可利用数学归纳法证明，也可以根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．

3．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

4．展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．

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