专题8.5 空间中的垂直关系(讲)-2015年高考数学一轮复习讲练测(解析版)

2015年高考数学一轮复习第8章立体几何

专题5空间中的垂直关系

〖考纲解读〗

1．以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 理解以下判定定理：

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明： ◆垂直于同一个平面的两条直线平行．

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 〖备考明向〗

1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 〖知识梳理〗

1．线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

PO ,O

推理模式： PA A a AO。

a ,a AP

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定

⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面αl叫做平面的垂线，平面α叫做直线

l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 〖分析考向〗

考向一：线面垂直的判定与性质

【典型例题】如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，

AF⊥PC于F，求证：

(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF.

【迁移训练1】如图，在圆锥PO中，已知PO2，⊙O的直径AB＝2，点C在 上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．

(1)证明：AC⊥平面POD；

(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

考向二：平面与平面垂直的判定与性质

【典型例题】)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC1

上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．

2

(1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积； (3)证明：EF⊥平面PAB

.

〖考题回放〗

1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））若空间中四条直线两两不同的直线l1、l2、

l3、l4，满足l1 l2，l2//l3，l3 l4，则下列结论一定正确的是（ ）

A.l1 l4 B.l1//l4

C.

l1、l4既不平行也不垂直 D.l1、l4的位置关系不确定

2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC，AB BC 的中点.

1

AD,E,F分别为线段AD,PC2

（1）求证：AP∥平面BEF; （2）求证：BE⊥平面PAC.

3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））（本小题满分12分） 在平行四边形ABCD中，AB面ABD

BD CD 1，AB BD,CD BD.将 ABD沿BD折起，使得平

平面BCD，如图

.

（1）求证： AB CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值

.

4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷））如图，四棱锥P ABCD中，底面是以

O为中心的菱形，PO 底面ABCD，AB 2, BAD

（1）证明：BC

3

，M为BC上一点，且BM

1

. 2

平面POM；

ABMO的体积

.

（2）若MP AP，求四棱锥P

5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））如图，在四棱锥A BCDE中，平面ABC 平面BCDE； CDE BED 90 ，AB CD 2，DE BE

1，AC （1）证明：AC 平面BCDE；

（2）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值

.

6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））如图，四棱锥P ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH 平面ABCD，BC//平面GEFH.证明：GH//EF;

若EB 2，求四边形GEFH的面积

.

考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解. 7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））如图，四棱锥行四边形，（1）证明

平面

，；

，

,

分别是棱

的中点.

的底面

是平

（2）若二面角P-AD-B为

①证明：平面PBC⊥平面ABCD

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值

.

8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））（满分14分）如图在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，已知PA AC,PA 6,BC 8,DF 5，

求证（1）直线PA//平面DEF； （2）平面BDE 平面ABC.

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】

如图1,在等腰直角三角形ABC中, A 90 ,BC 6,

D,E分别是AC,AB上的

点,CD BE O为BC的中点.将 ADE沿DE折起

,得到如图2所示的四棱锥A

BCDE,其中A O

(Ⅰ) 证明:A O 平面BCDE；

(Ⅱ) 求二面角A CD B的平面角的余弦值.

A

C D H

O

E

B

2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】

如图，四棱锥P-ABCD中， ABC BAD 900，BC 2AD，

PAB和 PAD都是等边三角形.

（Ⅰ）证明：PB CD；

（Ⅱ）求二面角A PD C的大小

.

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】

如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧棱AA1 底面ABCD,

AB//DC,AA1 1,AB 3k,AD 4k,BC 5k,DC 6k,(k 0)

（1）求证：CD 平面ADD1A1

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为

6

，求k的值 7

（3）现将与四棱柱ABCD A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小

完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）

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