北工大高数06-07第二学期期中（题+答案）

北京工业大学2006—2007学年第二学期

《高等数学》期中试卷

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确结果的字母写在括号内。

1、下列关于多元函数连续性、偏导数与全微分存在性之间的关系命题中不正确的是（ ）

（A）若偏导数连续则必可微分 （B）若可微分则必连续

（C）若可微分则偏导数必存在 （D）若偏导数存在则必连续

2、函数z?x2?y2?2x?4y在点（1，2）处 （ ） （A）取极大值 （B）取极小值 （C）无极值 （D）无法判定

x(2x?e)dx?(1?)edy是函数u(x,y)的全微分，3、设则其中一个u(x,y)y为（ ） （A）y?x2xyxyxy2?ye （B）x?e?1

xyx （C）x?ye?1 （D）x?e?

y22xyxy4、设区域D?{(x,y)|（ ） （A）

x2?y2?1}，则二重积分??(x?y?x2?y2)dxdy?D?? （B） （C）2? （D）? 3222dx?2dy? （ ） 5、设L是圆周x?y?4的正向，则曲线积分?L22x?y （A）0 （B）1 （C）? （D）2?

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。

336、设z?z(x,y)是方程z?3xyz?a所确定的二元函数，则

dz?__________________________________

7、由z?x2?y2与z?x2?y2所围成立体的体积为_____________

8、将二次积分I??dy?0111?y21?yf(x,y)dx改变积分次序后

为__________________________________________ 9、曲线?:x??0eucosudu,y?2sint?cost,z?1?e3t在点（1，2，3）处

的切线方程为____________________________________________ 10

、

设

曲

线

?:z??1?x2?y2，则曲线积分

222(x?y?z)dS?______________ ???三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分，解答应写出主要过程或演算步骤 11、设z

12、计算二次积分

?f(y2?x,yex)其中函数f?z具有二阶连续偏导数，求

?x?2z， ?x?y?a20dx?x0x?ydy??adx?222aa2?x20x2?y2dy

13、计算曲线积分I?

?Lx2?y2dx，其中L是圆周x2?y2?2x

14、将三重积分I????f(x,y,z)dv分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的

?三重积分，其中?:z?

15、计算曲面积分

x2?y2,x2?y2?z2?2

2222yzdydz?xzdzdx?(x?y)zdxdy，其中?是曲面??z?2?x2?y2(1?z?2)部分的上侧

16、计算曲面积分[y?sin(x?y)]dx?[x?cos(x?y)]dy，其中L

L?2222是沿曲线x2?y2?1从点A(1,0)到点B(0,1)的最短一段弧

四、解答题：本题12分，要求写出详细解答过程 17、（1）试求函数

f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz在球面

x2?y2?z2?5r2(x?0,y?0,z?0)上的最大值 （2）证明对任意的正实数a,b,c不等式abc3?27(

a?b?c3)成立 3

北京工业大学2006—2007学年第二学期 《高等数学》期中试卷 参考答案

一、选择题

1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

二、填空题 6、dz?7、

yzxzdx?dy 22z?xyz?xy? 68、I9、

??dx?12x?11?xf(x,y)dy

xy?1z?2?? 12310、?

三、计算题

?zxx?f'?(?1)?f'?ye??f'?f'?ye121211、 ?x?2z??x?y12、令M??(?z)?x??f''?2y?f''?ex?f''?2y2ex?f''ye2x12122122

?yx0a?20dx?x?ydy N?22?aa2dx??40a2?x20x2?y2dy

2M，N合积分区域，利用极坐标 原式??d??0rdr?13、L:ra?12a3

?2cos? dS?r2(?)?(r'?)2d??2d?

x2?y2?2cos?

?cos? y?2co?ssin? x?2cos?

I??2?4cos?d??8

?222??z?1?z?x?y??214、?2 222x?y?1??x?y?z?2?

直角坐标：I柱面坐标：I??dx??12?11?x22?1?x1dy?2?x2?y2x?y22f(x,y,z)dz

??d??rdr?002?3?402?r2r2f(x,y,z)dz p2f(x,y,z)dp

22球面坐标：I??d???sin??402215、P?yz Q?xz R?(x?y)z

?P?Q?R???x2?y2 z?1时，x2?y2?1 ?x?y?z原式??d??rdr?002?12?r21rdz?2?12

222216、P?y?sin(x?y) Q??x?cos(x?y)

?P?Q?2y?2sinx(?y)cosx(?y) ??2x?2sin(x?y)cos(x?y) ?y?x?Q?P???2x?2y ?x?y原式?Dxy???(?2x?2y)dxdy??1BO??OA

22??2rsin?)dr???cosydy??sinxdx ??02d??0r(?2rcos 100147 ???1??

33四、17、（1）F?x2?y2?z2?5r2

构造G?x2?y2?z2?5r2??(lnx?lny?3lnz)

?G'x?0?'1?Gy?0 ????2?5?'27?Gz?0?G'??0?此时f(x,y,z)?1 最大值为1

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