苏教版七年级上册数学第一单元知识点

《有理数》知识点总结归纳

正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数：比0 小的数正数：比0 大的数0 既不是正数，也不是负数

注意：①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示0 时， -a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，

例如 +a,-a 就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“ +”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上 8℃表示为： +8℃；零下 8℃表示为： -8 ℃

3.0 表示的意义

⑴0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；

⑵ 0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数。如：

有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、 0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②

有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶数，-1,-3,-5?也是奇数。

2. 有理数的分类

⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分

正整数正整数

整数0正有理数

负整数正分数

有理数有理数0（0不能忽视）

正分数负整数

分数负有理数

负分数负分数

总结：①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、 0 统称为非正整数

③正有理数、0 统称为非负有理数

④负有理数、0 统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不

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可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2. 数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π 不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右

边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，

正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离

原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1 ，无最小的负整数

5.a 可以表示什么数

⑴a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0；

⑵ a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0

⑶a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0, ，则 a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶ 0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都

有相反数，且只有一个；⑵ 0 的相

反数是 0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为 0 的两数互为相反数，即a，b 互为相反数，则a+b=0

3. 相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示0 的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

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4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“ - ”，然后化简（如； 5a+b 的相反数是 -（ 5a+b）。化简得 -5a-b ）；

⑶求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“ - ”，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 - （ -5 ），化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数 a 的相反数是 -a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0 时， -a<0 （正数的相反数是负数）

当a<0 时， -a>0 （负数的相反数是正数）

当a=0 时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律: “+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“- ”号的个数决定最后化简结果；即：“ - ”的个数是奇数时，结果为负，“ - ”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a| 。

2. 绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶ 0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果 a>0，那么 |a|=a ；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥ 0， <═ > |a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

② a≤ 0， <═ > |a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3. 绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以， a 取任何有理数，都有|a|≥ 0。即⑴ 0 的绝对值是0；绝对值是0 的数是 0. 即： a=0 < ═ > |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即： |a| ≥ 0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a| ≥ a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a （ a>0），则 x=± a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数

大于负数。

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5.绝对值的化简

①当 a≥ 0 时， |a|=a；②当a≤ 0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法

1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数

相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，

和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3. 加法性质

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数。即：

⑴当 b>0 时， a+b>a⑵当b<0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a

4. 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”

②按运算意义读作“负8减7减 6加 5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）

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=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ . 把和为整数的加数相结合 （凑整法）

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） Ⅲ . 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） 3 1 3 2 1 7

- - + - 5 + -

5 2 4 2

8 原式 =(- 3 - 2 )+(- 1+1)+(+ 3 - 7 )

5 5 2 2 4 8

=-1+0- 1

1 8

=-1

8

Ⅳ . 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3 3 1

2

)+(-3 )-(-10 )-(+1.25)

4 8 3

原式 =(+ 1 )+(+3 3 )+(-3 1 )+(+10 2 )+(-1 1 )

8 4 8 3

4 =1+33-3 1+102-1 1

8 4 8 3 4

=(3 3 -1 1 )+( 1 -3 1 )+10 2

4 4 8 8 3

=2 1 -3+10 2

2 3

1

=-3+13

6

=10 1

6

Ⅴ . 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3 1+10 6 -12 1 +4 7

5 11 22 15

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1761

原式 =(-3+10-12+4)+(-+ )+(-)

5151122

=-1+4+ 11

1522

=-1+8+ 15

30 30

-

7

30

Ⅵ. 分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9?+66-67-68+69

原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+? +(66-67-68+69)

=0

Ⅶ . 先拆项后结合

（1+3+5+7? +99） - （ 2+4+6+8? +100）

有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”

的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：任何数同0 相乘，都得 0；

法则三：几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于 0.

2. 倒数

乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·1

=1（ a≠ 0），就是

说 a 和1

互为倒数，即 a 是

1

的倒数，

1

是 a 的倒数。

a a a a

注意：① 0 没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把

带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是 1 或 -1, 不包括 0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 (ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

（ 1）除以一个不等0 的数，等于乘以这个数的倒数。

（ 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得0

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5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序

进行。

有理数的乘方

1.乘方的概念

求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，a叫做底数，n叫做指数。

2.乘方的性质

（ 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（ 2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

把一个大于10 的数表示成 a 10n的形式（其中 1 a10 ，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

用字母表示数

代数式

代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc 。单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数：单项式中的数字因数

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。

整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

代数式书写规范：

①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；

②出现除式时，用分数表示；

③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；

④若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

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合并同类项

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

合并同类项的步骤：（ 1）准确的找出同类项；（ 2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（ 3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。

去括号的法则

（1）括号前面是“ +”号，把括号和它前面的“ +”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。

整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项。

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