2012-2013高等数学第一学期期末考试（张家港校区理工类）试卷及答案

名姓 题 答 要 不 内 号线学封密 级 班 业题专答要 不 内 线 封 密 院 学

江苏科技大学张家港校区 2012－ 2013学年第一学期期末

高等数学（理工类）课程试题 （B）卷

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 阅卷人 一 选择题（每小题3分，共15分）

1. 下面函数中，在x?0点连续的是 ( )

?1?sinx(A) f(x)???e?x2,x?0 (B) (x)???|x|,x?0

??0,x?0??1,x?0?1?1(C) f(x)???ex,x?0 (D) f(x)???(1?2x)x,x?0

??0,x?0??e2,x?02.当x?0时，曲线y?xsin1x ( ) (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平又有铅直渐近线 3. 若f(x)二阶可导，且f(x)??f(?x)，又当x?(0,??)时，f?(x)?0,f??(x)?0，

则曲线y=f(x)在(??,0)内： ( ) (A) 单调下降且凸 (B) 单调下降且凹

(C) 单调上升且凸 (D) 单调上升且凹 4. 已知f(x)在[0，1]上连续，f(x)?0,I1??1?0f(x)dx，I2??20f(sinx)dx，

?I3??40f(tanx)dx，则 ( )

（A）I1?I2?I3 （B）I3?I1?I2 （C）I2?I3?I1（D）I1?I3?I2 5．下列反常积分收敛的是 （ ） (A)

???lnx1exdx (B) ???exlnxdx (C) ???1 (D)

??1edx xlnx?ex(lnx)2dx

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二 填空题（每小题4分，共24分）

?2,x?11. f(x)??,则limf(x)=

x?1?0,x?12. 若f??x0??1,则lim??0f?x0?2???f?x0??_____________.

3?3. 极限limlnn(1?)(1?)?(1?)＝ 。

n??1n22n2nn2?24. ??2?x?sinx?cos4x?dx?____________.

3225. 计算曲线y?x上从a到b的一段弧长是__________________

36. 方程y??ey?2x,y?0??1满足所给初始条件的特解为

三 计算题（每小题5分，共30分）

xxx2dxf(t)dt 2.求?(a?0) 1. 求极限limx?ax?a?a22a?x

?3. 计算定积分

?201x?sinxx?1dx 4.?dx

32?11?cosx1?x

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5、已知

sinx是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx x?d2y?x=ln1?t26、求参数方程?所确定的函数的二阶导数2

dx??y=arctant

四.证明:

?a?af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx,并求积分?4?0acosxdx（8分）

?1?ex4?五、设f?x?连续，且满足?f?t?dt?x??tf?x?t?dt，求f?x?（8分）

00xx

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六、已知曲边三角形由抛物线y2=2x及直线x=0，y=1所围成，求： （1）曲边三角形的面积（3分）

（2）该曲边三角形绕y=1旋转所成旋转体的体积（4分）

七．设f(x)一阶连续可导，且f(1)?3?1231?x0ef(x)dx

2(1) 用积分中值定理证明存在一点?，使得e1??f(?)?f(1) （2分） (2) 证明存在一点??(?,1)，使得f'(?)?2?f(?) （6分）

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江苏科技大学（张家港）2012～2013学年第一学期 高等数学1（理工类）期末试卷（B）答案及评分标准

一、A B C B D

33222二、1. 2 2. - 3. 4ln2-2 4. 2 5．[(1+b)-(1+a)2]

331-2x11-y 6.e=e-+

22e三．计算题

xxf(t)dt 1. 解：limx?ax?a?ax?lim??f(t)dt+xf(x)?............................................................................2

?x?a??a??af(a) ................................ .........................................3

2.解：令x?asint t?(?,) ……………………………………….1

22?? 原式=a2sin2tdt ……………………………….………….1 =a2??1?cos2tdt …………………………………….…….1 2a2ta2sin2t =??c …………………………………….……….1

24a2xxarcsin?a2?x2?c ………………………..………………….1 =2a2?3． 解：原式=??20?xd(1?cosx)dx??2dx ………………………..…………….1

01?cosx1?cosx??20?xd(1?cosx)2xsecdx??2dx ………………………..………………….1

0221?cosxx220??2?xtan|??tan0?x2?ln(1?cosx)|0 ………………………..…………………2 2??2 ………………………..………………….1

4. 原式=

?1x1?x132?1dx??111?x32?1dx………………………..………………….1

=0??11?x32?1dx………………………..………………….1

令x?t3 则dx?3t2dt………………………..………………….1

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1?6t21?原式=?dx??dt?61?dt………………………..…………….1 2??32001?t20??1?t?1?x3?=6? ………………………..………………….1

2121?sinx??cosx?x-sinx5.解：由题意得. f(x)=?........................................ 1 ?=2xx???xf?(x)dx=?xdf(x)=xf(x)-?f(x)dx ........................................ 2

cosx?x-sinxsinx-+C ........................................ 1

x2x2sinx+C. ....................................... 1 =cosx-x=x?1dy(arctant)?1?t21???? ........................................ 2 6. 解：

tdx[ln1?t2]?t21?t1)??1(22dy1?ttt????3? ..............................................................3

tdx2[ln1?t2]?t1?t22四、证明：

?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx ..................................................... 1

?a00aaa000a令x??t,?f(x)dx??f(?t)d(?t)??f(?t)dt??f(?x)dx ..................2

?a0??f(x)dx=?f(x)?f(?x)dx ..................................................... 1

-a0aa?cosxcosxcosx4dx?(???41?ex?01?ex?1?e-x)dx ..................................................... 2

4?? ? =?40cosxdx ..................................................... 1

2 ..................................................... 1 2五、解：令x?tx0?u

xxx?tf?x?t?dt??0?x?u?f?u?du?x?0f?u?du??0uf?u?du.............................2

所以

?0f?t?dt?x?x?0f?u?du??0uf?u?du

xxx求导得：

f?x??1??0f?u?du?xf?x??xf?x??1??0f?u?du .........................2

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求导:

f??x??f?x? ............................ ................................. ......................................1

?f?x??cex............................ ................................. .....................................1

由等式f?x??1??0f?u?du得f?0??1 则c?1 ?fx?x??xe................2

六、解：（1）A=?10y2dy................... ................................. ......................................2 2y311=................... ................................. ......................................1

606（2）V=

?120?(1-2x)2dx ................. ......................................2

1423?x2+x2)2=................. ......................................2 =?(x-3120七、证明：

由积分中值定理：????0,?，使得

??1?3?f(1)?3?e1231-x0221f(x)dx?3?e1-?f(?)(?0)?e1-?f(?) ......................................... 2

3设 F(x)?e1?xf(x) .................................................... 2 则F(x)在??,1?上连续，在??,1?内可导

且F(?)?f(1)?F(1) .................................................... 2

由罗尔定理，至少存在一点???0,??(0,1)使 F?(?)?0 .................................. 2 即f'(?)?2?f(?) .................................................... 1

2??1?3?第 7 页 共 7 页

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