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5、线性规划数学模型具备哪几个要素？ 答：（1）.求一组决策变量xi或xij的值（i =1，2，?m j=1，2?n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数

第二章 线性规划的基本概念 一、填空题

1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。

7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。

8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。

10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。

11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。

12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。

14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。

15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。

17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj′ , Xj〞, 同时令Xj＝Xj′－ Xj。

20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑cijxij。

21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在i行j列。 二、单选题

1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m

A．m个 B．n个 C．Cnm D．Cmn个 2．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是 A

3．线性规划模型不包括下列_ D要素。

A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D．状态变量

4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将_B_。

A．增大 B．缩小 C．不变 D．不定 5．若针对实际问题建立的线性规划模型的解是无界的，不可能的原因是B__。

A．出现矛盾的条件 B．缺乏必要的条件 C．有多余的条件 D．有相同的条件

6．在下列线性规划问题的基本解中，属于基可行解的是 D

A．(一1，0，O)T B．(1，0，3，0)T C．(一4，0，0，3)T D．(0，一1，0，5)T

7．关于线性规划模型的可行域，下面_B_的叙述正确。

A．可行域内必有无穷多个点B．可行域必有界C．可行域内必然包括原点D．可行域必是凸的

8．下列关于可行解，基本解，基可行解的说法错误的是_D__.

A．可行解中包含基可行解 B．可行解与基本解之间无

交集

C．线性规划问题有可行解必有基可行解 D．满足非负约束条件的基本

解

为

基

可

行

解

9.线性规划问题有可行解，则 A A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解 D无唯一最优解

10.线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时 C

A没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解

11.若目标函数为求max，一个基可行解比另一个基可行解更好的标志是 A A使Z更大 B 使Z更小 C 绝对值更大 D Z绝对值更小

12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不等式要求

13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在D集合中进行搜索即可得到最优解。

A 基 B 基本解 C 基可行解 D 可行域 14.线性规划问题是针对 D求极值问题.

A约束 B决策变量 C 秩 D目标函数 15如果第K个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要 B A左边增加一个变量 B右边增加一个变量 C左边减去一个变量D右边减去一个变量

16.若某个bk≤0, 化为标准形式时原不等式 D

A 不变 B 左端乘负1 C 右端乘负1 D 两边乘负1

17.为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为 A A 0 B 1 C 2 D 3 12.若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题 B A 没有无穷多最优解 B 没有最优解 C 有无界解 D 有无界解 三、多选题

1．在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是D .

A．可控变量B．松驰变量c．剩余变量D．人工变量 2．下列选项中符合线性规划模型标准形式要求的有BCD

A．目标函数求极小值B．右端常数非负C．变量非负D．约束条件为等式E．约束条件为“≤”的不等式

3．某线性规划问题，n个变量，m个约束方程，系数矩阵的秩为m(m

A．基可行解的非零分量的个数不大于mB．基本解的个数不会超过Cmn个C．该问题不会出现退化现象D．基可行解的个数不超过基本解的个数E．该问题的基是一个m×m阶方阵

4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能ABCD

A．无有限最优解B．有有限最优解C．有唯一最优解D．有无穷多个最优解E．有有限多个最优解

5．判断下列数学模型，哪些为线性规划模型(模型中a．b．c为常数；θ为可取

某一常数值的参变量，x，Y为变量) ACDE

6．下列模型中，属于线性规划问题的标准形式的是ACD

7．下列说法错误的有_ABD_。

A．基本解是大于零的解 B．极点与基解一一对应

C．线性规划问题的最优解是唯一的 D．满足约束条件的解就是线性规划的可行解

8.在线性规划的一般表达式中，变量xij为 ABE

A 大于等于0 B 小于等于0 C 大于0 D 小于0 E 等于0 9.在线性规划的一般表达式中，线性约束的表现有 CDE A ＜ B ＞ C ≤ D ≥ E = 10.若某线性规划问题有无界解，应满足的条件有 AD

A Pk＜0 B非基变量检验数为零 C基变量中没有人工变量 Dδj＞O E所有δj≤0

11.在线性规划问题中a23表示 AE

A i =2 B i =3 C i =5 D j=2 E j=3 43.线性规划问题若有最优解，则最优解 AD A定在其可行域顶点达到 B只有一个 C会有无穷多个 D 唯一或无穷多个 E其值为0

42.线性规划模型包括的要素有 CDE A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D 状态变量 E 环境变量 四、名词

1基：在线性规划问题中，约束方程组的系数矩阵A的任意一个m×m阶的非奇异子方阵B，称为线性规划问题的一个基。

2、线性规划问题：就是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。 3 .可行解：在线性规划问题中，凡满足所有约束条件的解称为线性规划问题可行解

4、行域：线性规划问题的可行解集合。

5、本解：在线性约束方程组中，对于选定的基B令所有的非基变量等于零，得到的解，称为线性规划问题的一个基本解。

6.、图解法：对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法来求解，这种方法称为图解法。

7、本可行解：在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解称为基本可行解。 8、模型是一件实际事物或实际情况的代表或抽象，它根据因果显示出行动与反映的关系和客观事物的内在联系。 四、把下列线性规划问题化成标准形式：

2、minZ=2x1-x2+2x3

五、按各题要求。建立线性规划数学模型

1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。 问如

何安排生产计划，使总利润最大。

2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?

1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 4 6—10 8 10一14 10 14—18 7 18—22 12 22—2 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

第三章 线性规划的基本方法

一、填空题

1．线性规划的代数解法主要利用了代数消去法的原理，实现基可行解的转换，寻找最优解。

2．标准形线性规划典式的目标函数的矩阵形式是_ maxZ=CBB－1b+(CN－CBB－

1

N)XN 。

3．对于目标函数极大值型的线性规划问题，用单纯型法求解 时，当基变量检验数δj_≤_0时，当前解为最优解。

4．用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入的人工变量在目标函数中的系数应为－M。

5．在单纯形迭代中，可以根据最终_表中人工变量不为零判断线性规划问题无解。 6．在线性规划典式中，所有基变量的目标系数为0。

7．当线性规划问题的系数矩阵中不存在现成的可行基时，一般可以加入人工变量构造可行基。

8．在单纯形迭代中，选出基变量时应遵循最小比值θ法则。

9．线性规划典式的特点是基为单位矩阵，基变量的目标函数系数为0。 10．对于目标函数求极大值线性规划问题在非基变量的检验数全部δj≤O、问题

无界时，问题无解时情况下，单纯形迭代应停止。

11．在单纯形迭代过程中，若有某个δk>0对应的非基变量xk的系数列向量Pk_≤0_时，则此问题是无界的。

12．在线性规划问题的典式中，基变量的系数列向量为单位列向量_ 13.对于求极小值而言，人工变量在目标函数中的系数应取-1 14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种 15.在大M法中，M表示充分大正数。 二、单选题 1．线性规划问题C

2．在单纯形迭代中，出基变量在紧接着的下一次迭代中B立即进入基底。

A．会 B．不会 C．有可能 D．不一定

3．在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中B。 A．不影响解的可行性B．至少有一个基变量的值为负C．找不到出基变量D．找不到进基变量

4．用单纯形法求解极大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题B 。

A．有惟一最优解 B．有多重最优解 C．无界 D．无解 5．线性规划问题maxZ=CX，AX=b，X≥0中，选定基B，变量Xk的系数列向量为Pk，则在关于基B的典式中，Xk的系数列向量为_ D A．BPK B．BTPK C．PKB D．B-1PK 6．下列说法错误的是B

A．图解法与单纯形法从几何理解上是一致的 B．在单纯形迭代中，进基变量可以任选

C．在单纯形迭代中，出基变量必须按最小比值法则选取 D．人工变量离开基底后，不会再进基

7.单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数 C A绝对值最大 B绝对值最小 C 正值最大 D 负值最小

8.在单纯形表的终表中，若若非基变量的检验数有0，那么最优解 A A 不存在 B 唯一 C 无穷多 D 无穷大

9.若在单纯形法迭代中，有两个Q值相等，当分别取这两个不同的变量为入基变量时，获得的结果将是 C

A 先优后劣 B 先劣后优 C 相同 D 会随目标函数而改变

10.若某个约束方程中含有系数列向量为单位向量的变量，则该约束方程不必再引入 C

A 松弛变量 B 剩余变量 C 人工变量 D 自由变量

11.在线性规划问题的典式中，基变量的系数列向量为 D A 单位阵 B非单位阵 C单位行向量 D单位列向量 12.在约束方程中引入人工变量的目的是 D A 体现变量的多样性 B 变不等式为等式 C 使目标函数为最优 D 形成一个单位阵

13.出基变量的含义是 D A 该变量取值不变 B该变量取值增大 C 由0值上升为某值 D由某值下降为0

14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。 A min B max C min + max D min ,max任选

15.求目标函数为极大的线性规划问题时，若全部非基变量的检验数≤O，且基变量中有人工变量时该问题有 B

A无界解 B无可行解 C 唯一最优解 D无穷多最优解 三、多选题

1．对取值无约束的变量xj。通常令xj=xj’- x”j，其中xj’≥0，xj”≥0，在用单纯形法求得的最优解中，可能出现的是ABC

2．线性规划问题maxZ=x1+CX2

其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当_ BC时，该问题的

最优目标函数值分别达到上界或下界。

A．c=6 a=-1 b=10 B．c=6 a=-1 b=12 C．c=4 a=3 b=12 D．c=4 a=3 b=12 E．c=6 a=3 b=12

3．设X(1)，X(2)是用单纯形法求得的某一线性规划问题的最优解，则说明ACDE。 A．此问题有无穷多最优解 B．该问题是退化问题 C．此问题的全部最优解可表示为λX(1)+(1一λ)X(2)，其中0≤λ≤1 D．X(1)，X(2)是两个基可行解E．X(1)，X(2)的基变量个数相同

4．某线性规划问题，含有n个变量，m个约束方程，(m

则ABD 。A．该问题的典式不超过CNM个B．基可行解中的基变量的个数为m个C．该问题一定存在可行解D．该问题的基至多有CNM=1个E．该问题有111个基可行解

5．单纯形法中，在进行换基运算时，应ACDE。A．先选取进基变量，再选取出基变量B．先选出基变量，再选进基变量C．进基变量的系数列向量应化为单位向量 D．旋转变换时采用的矩阵的初等行变换E．出基变量的选取是根据最小比值法则

6．从一张单纯形表中可以看出的内容有ABCE。A．一个基可行解B．当前解是否为最优解C．线性规划问题是否出现退化D．线性规划问题的最优解E．线性规划问题是否无界

7.单纯形表迭代停止的条件为（ AB ）

A 所有δj均小于等于0 B 所有δj均小于等于0且有aik≤0 C 所有aik＞0 D 所有bi≤0

8.下列解中可能成为最优解的有（ ABCDE ）

A 基可行解 B 迭代一次的改进解 C迭代两次的改进解 D迭代三次的改进解

E 所有检验数均小于等于0且解中无人工变量

9、若某线性规划问题有无穷多最优解，应满足的条件有（ BCE ）

A Pk＜Pk0 B非基变量检验数为零 C基变量中没有人工变量 Dδj＜O E所有δj≤0

10.下列解中可能成为最优解的有（ ABCDE ）

A基可行解 B迭代一次的改进解 C迭代两次的改进解

D迭代三次的改进解E所有检验数均小于等于0且解中无人工变量 四、名词、简答

1、人造初始可行基：当我们无法从一个标准的线性规划问题中找到一个m阶单位矩阵时，通常在约束方程中引入人工变量，而在系数矩阵中凑成一个m阶单位矩阵，进而形成的一个初始可行基称为人造初始可行基。

2、单纯形法解题的基本思路？ 可行域的一个基本可行解开始，转移到另一个

基本可行解，并且使目标函数值逐步得到改善，直到最后球场最优解或判定原问题无解。

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的

每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：

七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10

Xl X2 X3 X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xl A d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解?

（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规

划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。 2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系

数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳

基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。 7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优

解Y﹡= CBB－1。 8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡

b。

9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。 10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。 11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb

YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的对偶变量的数量表现。 13．线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系 数矩阵为AT 。

14．在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，?n)，则

原问题_无解。 二、单选题

1．线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其

对偶问题约束条件为A形式。 A．“≥” B．“≤” C，“>” D．“=”

2．设X、Y分别是标准形式的原问题与对偶问题的可行解,则 C 。

3．对偶单纯形法的迭代是从_ A_开始的。

A．正则解 B．最优解 C．可行解 D．基本解 4．如果z。是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优

目标函数值w﹡A。 A．W﹡=Z﹡ B．W﹡≠Z﹡ C．W﹡≤Z﹡ D．W﹡

≥Z﹡ 5．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明_ B

A．该资源过剩B．该资源稀缺 C．企业应尽快处理该资源D．企业应充分利用该

资源，开僻新的生产途径 三、多选题

1．在一对对偶问题中，可能存在的情况是ABC。

A．一个问题有可行解，另一个问题无可行解 B．两个问题都有可行解 C．两个问题都无可行解 D．一个问题无界，另一个问

题可行 2．下列说法错误的是B 。

A．任何线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题B．对偶问题无可行解时，

其原问题的目标函数无界。C．若原问题为maxZ=CX，AX≤b，X≥0，则对偶问题为minW=Yb，YA≥C，Y≥0。D．若原问题有可行解，但目标函数无界，其对偶问题无可行解。 3．如线性规划的原问题为求极大值型，则下列关于原问题与对偶问题的关系中

正确的是BCDE。 A原问题的约束条件“≥”，对应的对偶变量“≥0” B原问题的约束条件为

“=”，对应的对偶变量为自由变量 C．原问题的变量“≥0”，对应的对偶约束“≥” D．原问题的变量“≤O”对应的对偶约束“≤”E．原问题的变量无符号限制，对应的对偶约束“=” 4．一对互为对偶的问题存在最优解，则在其最优点处有BD

A．若某个变量取值为0，则对应的对偶约束为严格的不等式B．若某个变量取值

为正，则相应的对偶约束必为等式C．若某个约束为等式，则相应的对偶变取值为正D．若某个约束为严格的不等式，则相应的对偶变量取值为0 E．若某个约束为等式，则相应的对偶变量取值为0 5．下列有关对偶单纯形法的说法正确的是ABCD。

A．在迭代过程中应先选出基变量，再选进基变量B．当迭代中得到的解满足原

始可行性条件时，即得到最优解 C．初始单纯形表中填列的是一个正则解D．初始解不需要满足可行性 E．初始解必须是可行的。 6．根据对偶理论，在求解线性规划的原问题时，可以得到以下结论ACD。 对偶问题的解B．市场上的稀缺情况 C．影子价格D．资源的购销决策E．资源

的市场价格 7．在下列线性规划问题中，CE采用求其对偶问题的方法，单纯形迭代的步骤一

般会减少。

四、名词、简答题

1、对偶可行基：凡满足条件δ=C-CBB-1A≤0的基B称为对偶可行基。 2、.对称的对偶问题：设原始线性规划问题为maxZ=CX s.t AX≤b X ≥0 称线性规划问题minW=Yb s.t YA≥C

Y≥0 为其对偶问题。又称它们为一对对称的对偶问题。

3、影子价格：对偶变量Yi表示与原问题的第i个约束条件相对应的资源的影子价格，在数量上表现为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时（假设原问题的最优解不变），原问题目标函数最优值增加的数量。 4．影子价格在经济管理中的作用。（1）指出企业内部挖潜的方向；（2）为资源的购销决策提供依据；（3）分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响；（4）分析资源节约所带来的收益；（5）决定某项新产品是否应投产。 5．线性规划对偶问题可以采用哪些方法求解？（1）用单纯形法解对偶问题；（2）由原问题的最优单纯形表得到；（3）由原问题的最优解利用互补松弛定理求得；（4）由Y*=CBB-1求得，其中B为原问题的最优基

6、一对对偶问题可能出现的情形：1.原问题和对偶问题都有最优解，且二者相等；2.一个问题具有无界解，则另一个问题具有无可行解；3.原问题和对偶问题都无可行解。

五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

六、已知线性规划问题

不大于25

应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值

七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4

其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。

七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：

八、已知线性规划问题

(1)写出其对偶问题 (2)已知原问题最优解为X﹡=(2，2，4，0)T，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

W* = 16

第五章 线性规划的灵敏度分析

一、填空题

1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。 2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。 3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。

4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。

5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。

6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值

是Z*+yi△b (设原最优目标函数值为Z﹡)

7．若某约束常数bi的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。 8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为CB，若新增变量xt，目标系数

－1

为ct，系数列向量为Pt，则当Ct≤CBBPt时，xt不能进入基底。 9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。 10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。 11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响

12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量xj的目标系数Cj代表该变量所

对应的产品的利润，则当某一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。 二、单选题

1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。

A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化

2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。

A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解

3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。

A．目标系数cj的变化B．约束常数项bi变化C．增加新的变量 D．增加新约束

4．在线性规划问题的各种灵敏度分析中，B_的变化不能引起最优解的正则性变化。

A．目标系数B．约束常数C．技术系数D．增加新的变量E．增加新的约束条件

5．对于标准型的线性规划问题，下列说法错误的是C

A．在新增变量的灵敏度分析中，若新变量可以进入基底，则目标函数将会得到进一步改善。B．在增加新约束条件的灵敏度分析中，新的最优目标函数值不可能增加。C．当某个约束常数bk增加时，目标函数值一定增加。D．某基变量的目标系数增大，目标函数值将得到改善

6.灵敏度分析研究的是线性规划模型中最优解和 C 之间的变化和影响。

A 基 B 松弛变量 C原始数据 D 条件系数 三、多选题

1．如果线性规划中的cj、bi同时发生变化，可能对原最优解产生的影响是_ ABCD. A．正则性不满足，可行性满足B．正则性满足，可行性不满足C．正则性与可行性都满足D．正则性与可行性都不满足E．可行性和正则性中只可能有一个受影响

2．在灵敏度分析中，我们可以直接从最优单纯形表中获得的有效信息有ABCE。

-1

A．最优基B的逆B B．最优解与最优目标函数值C．各变量的检验数D．对偶问题的解E．各列向量

3．线性规划问题的各项系数发生变化，下列不能引起最优解的可行性变化的是ABC_。

A．非基变量的目标系数变化 B．基变量的目标系数变化C．增加新的变量D，增加新的约束条件

4．下列说法错误的是ACD -1

A．若最优解的可行性满足B b≥0，则最优解不发生变化B．目标系数cj发生变化时，解的正则性将受到影响C．某个变量xj的目标系数cj发生变化，只会影响到该变量的检验数的变化D．某个变量xj的目标系数cj发生变化，会影响到所有变量的检验数发生变化。 四、名词、简答题

1.灵敏度分析：研究线性规划模型的原始数据变化对最优解产生的影响 2．线性规划问题灵敏度分析的意义。（1）预先确定保持现有生产规划条件下，单位产品利润的可变范围；（2）当资源限制量发生变化时，确定新的生产方案；（3）确定某种新产品的投产在经济上是否有利；（4）考察建模时忽略的约束对问题的影响程度；（5）当产品的设计工艺改变时，原最优方案是否需要调整。

8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为整数。

9．用割平面法求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。 10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是分枝定界法_。

11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是匈牙利法。

12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是独立零元素_。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为2个. 二、单选题

1．整数规划问题中，变量的取值可能是D。

A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能

2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A 。

A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是D_。

A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择

1．下列说明不正确的是ABC。

A．求解整数规划可以采用求解其相应的松驰问题，然后对其非整数值的解四舍五入的方法得到整数解。B．用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时，通常任取其中一个作为下界。C．用割平面法求解整数规划时，构造的割平面可能割去一些不属于最优解的整数解。D．用割平面法求解整数规划问题时，必须首先将原问题的非整数的约束系数及右端常数化为整数。

2．在求解整数规划问题时，可能出现的是ABC。

A．唯一最优解B．无可行解 C．多重最佳解D．无穷多个最优解 3．关于分配问题的下列说法正确的是_ ABD。

A．分配问题是一个高度退化的运输问题B．可以用表上作业法求解分配问题 C．从分配问题的效益矩阵中逐行取其最小元素，可得到最优分配方案D．匈牙利法所能求解的分配问题，要求规定一个人只能完成一件工作，同时一件工作也只给一个人做。

4.整数规划类型包括（ CDE ）

A 线性规划 B 非线性规划 C 纯整数规划 D 混合整数规划 E 0—1规划

5.对于某一整数规划可能涉及到的解题内容为（ ABCDE ）

A 求其松弛问题 B 在其松弛问题中增加一个约束方程 C 应用单形或图解法D 割去部分非整数解 E多次切割 三、名词

1、纯整数规划：如果要求所有的决策变量都取整数，这样的问题成为纯整数规划问题。

2、0—1规划问题：在线性规划问题中，如果要求所有的决策变量只能取0或1，这样的问题称为0—1规划。

3、混合整数规划：在线性规划问题中，如果要求部分决策变量取整数，则称该问题为混合整数规划。

四、用分枝定界法求解下列整数规划问题：(提示:可采用图解法) maxZ=40x1+90x2

五、用割平面法求解

六、下列整数规划问题

说明能否用先求解相应的线性规划问题然后四舍五入的办法来求得该整数规划的一个可行解。

答：不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为 x1=10/3，x2=x3=0，用四舍五人法时，令x1=3，x2=x3=0，其中第2个约束无法满足，故不可行。

七、若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S1,S2．?，S10相应的钻探费用为C1 ,C2 ,?

C10，并且井位选择要满足下列限制条件：

(1)在s1，s2，S4中至多只能选择两个； (2)在S5，s6中至少选择一个；(3)在s3，s6，S7，S8中至少选择两个； 试建立这个问题的整数规划模型

八、有四项工作要甲、乙、丙、丁四个人去完成．每项工作只允许一人去完成。每个人只完成其中一项工作，已知每个人完成各项工作的时间如下表。问应指派每个人完成哪项工作，使总的消耗时间最少? 工作 I 人 Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 15 18 2l 24 乙 19 23 22 18 丙 6 7 16 19 丁 19 21 23 17

第八章 图与网络分析

一、填空题

1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边

2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。

3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。

4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。 5．任一树中的边数必定是它的点数减1。 6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。

7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。

8．求最短路问题的计算方法是从0≤fij≤cij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。 二、单选题 1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。 A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。 B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。C图中任意两点之间必有边。 D图的边数必定等于点数减1。

2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。

A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树 C含n个点的树是唯一的 D任一树中，去掉一条边仍为树。 3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。

A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。 4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。

A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。

5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。

A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。 6．关于最小树，以下叙述(B)正确。

A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。 7．关于可行流，以下叙述(A)不正确。

A．可行流的流量大于零而小于容量限制条件B．在网络的任一中间点，可行流满足流人量=流出量。C．各条有向边上的流量均为零的流是一个可行流D．可行流的流量小于容量限制条件而大于或等于零。 三、多选题

1．关于图论中图的概念，以下叙述(123)正确。

(1)图中的边可以是有向边，也可以是无向边 (2)图中的各条边上可以标注权。(3)结点数等于边数的连通图必含圈(4)结点数等于边数的图必连通。 2．关于树的概念，以下叙述(123)正确。

1)树中的边数等于点数减1(2)树中再添一条边后必含圈。(3)树中删去一条边后必不连通(4)树中两点之间的通路可能不唯一。 3．从连通图中生成树，以下叙述(134)正确。

(1)任一连通图必有支撑树 (2)任一连通图生成的支撑树必唯一(3)在支撑树中再增加一条边后必含圈(4)任一连通图生成的各个支撑树其边数必相同 4．在下图中，(abcd)不是根据(a)生成的支撑树。

5．从赋权连通图中生成最小树，以下叙述(124)不正确。 (1)任一连通图生成的各个最小树，其总长度必相等(2)任一连通图生成的各个最小树，其边数必相等。(3)任一连通图中具有最小权的边必包含在生成的最小树上。(4)最小树中可能包括连通图中的最大权边。 6．从起点到终点的最短路线，以下叙述(123)不正确。 1)从起点出发的最小权有向边必含在最短路线中。 (2)整个图中权最小的有向边必包含在最短路线中。(3)整个图中权最大的有向边可能含在最短路线中 (4)从起点到终点的最短路线是唯一的。

7．关于带收发点的容量网络中从发点到收点的一条增广路，以下叙述( 123)不正确。

(1)增广路上的有向边的方向必须是从发点指向收点的(2)增广路上的有向边，必须都是不饱和边 (3)增广路上不能有零流边(4)增广路上与发点到收点方向一致的有向边不能是饱和边，相反方向的有向边不能是零流边 8．关于树，以下叙述(ABCE)正确。

A．树是连通、无圈的图B．任一树，添加一条边便含圈C．任一树的边数等于点数减1。D．任一树的点数等于边数减1E．任一树，去掉_条边便不连通。 9．关于最短路，以下叙述(ACDE)不正确。

A从起点出发到终点的最短路是唯一的。B．从起点出发到终点的最短路不一定是唯一的，但其最短路线的长度是确定的。C．从起点出发的有向边中的最小权边，一定包含在起点到终点的最短路上D．从起点出发的有向边中的最大权边，一定不包含在起点到终点的最短路上。 E．整个网络的最大权边的一定不包含在从起点到终点的最短路线上。

10．关于增广路，以下叙述(BC )正确。

A．增广路是一条从发点到收点的有向路，这条路上各条边的方向必一致。B．增广路是一条从发点到收点的有向路，这条路上各条边的方向可不一致。C．增广路上与发点到收点方向一致的边必须是非饱和边，方向相反的边必须是流量大于零的边。D．增广路上与发点到收点方向一致的边必须是流量小于容量的边，方向相反的边必须是流量等于零的边。E．增广路上与发点到收点方向一致的边必须是流量为零的边，方向相反的边必须是流量大于零的边。 四、名词解释

1、树:在图论中，具有连通和不含圈特点的图称为树。 2．权：在图中，边旁标注的数字称为权。

3．网络：在图论中，给边或有向边赋了权的图称为网络

4．最大流问题：最大流问题是指在网络图中，在单位时间内，从发点到收点的最大流量

5．最大流问题中流量：最大流问题中流量是指单位时间的发点的流出量或收点的流入量。

6．容量：最大流问题中，每条有向边单位时间的最大通过能力称为容量 7．饱合边：容量与流量相等的有向边称为饱合边。 8零流边：流量为零的有向边称为零流边

9.生成树：若树T是无向图G的生成树，则称T是G 的生成树。.。 10根：有向图G中可以到达图中任一顶点的顶点u称为G的根。 11枝：树中的边称为枝。

12.平行边：具有相同端点的边叫平行边。

13根树：若有向图G有根u，且它的基本图是一棵树，则称G为以u为根的根树。

四、计算题

1．下图是6个城市的交通图，为将部分道路改造成高速公路，使各个城市均能通达，又要使高速公路的总长度最小，应如何做?最小的总长度是多少?

2．对下面的两个连通图，试分别求出最小树。

3、第1题中的交通图，求城市A到D沿公路走的最短路的路长及路径。

4．对下面两图，试分别求出从起点到终点的最短路线。

5．分别求出下面两图中从发点到收点的最大流。每条有向边上的数字为该边的容量限制。

6．下面网络中，点①，②是油井，点⑥是原油脱水处理厂，点③、④、⑤是泵站，各管道的每小时最大通过能力(吨／小时)如有向边上的标注。求从油井①、②每小时能输送到脱水处理厂的最大流量。

(提示：虚设一个发点S，令有向边(S，1)，(S，2)

的容量为∞)。

名词 十一章

1、需求：需求就是库存的输出。

2、存贮费：一般是指每存贮单位物资单位时间所需花费的费用。 3、缺货损失费：一般指由于中断供应影响生产造成的损失赔偿费。

4、订货批量Q：存贮系统根据需求，为补充某种物资的库存而向供货厂商一次订货或采购的数量。

5、订货间隔期T：两次订货的时间间隔可订货合同中规定的两次进货之间的时间间隔。

6、记账间隔期R：指库存记账制度中的间隔记账制所规定的时间。 十二章

1、预测：是决策的基础，它借助于经济学、概率论与数理统计、现代管理科学、系统论和计算机科学等所提供的理论及方法，通过适当的模型技术，分析和预测研究对象的发展趋势。 十三章

1、决策：凡是根据预定目标而采取某种行动方案所作出的选择或决定就称为决策。

2、单纯选优决策：是指根据已掌握的数据，不需再加工计算，或仅进行方案指标值的简单计算，通过比较便可以直接选出最优方案的决策方法。 3、模型选 优决策：是在决策对象的客观状态完全确定的条件下，建立一定的符合实际经济状况的数学模型，进而通过对模型的求解来选择最优方案的方法。 4、非确定型决策：是一种在决策分析过程中，对决策方案付诸实施后可能遇到的客观状态，虽然能够进行估计，但却无法确定每一种客观状态出现的概率的决策。 5、风险型决策：是一种在分析过程中，对方案付诸实施后可能遇到的客观状态，不仅在决策分析时能够加以估计，而且对每一种状态出现的概率大小也有所掌握。

6、决策树：就是对一个决策问题画一张图，用更容易了解的形式来表示有关信息。 十四章

1、排队论：排队论所讨论的是一个系统对一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统时所呈现的状态。

2、排队规则：是描述顾客来到服务系统时，服务机构是否充许，顾客是否愿意排队，在排队等待情形下服务的顺序。

3、M/G/1排队系统：是单服务台系统，其顾客到达服从参数为λ的泊松分布，服务时间属一般分布。 随机排队模型：称服务员个数为随机变量的排队系统为随机排队服务系统，相应的模型为随机排队模型。

一、（10分）某咨询公司，受厂商委托，对新上市的一种新产品进行消费者反映的调查。该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列几点要求： （1）必须调查2000户人家；

（2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等； （3）至少应调查700户有孩子的家庭； （4）至少应调查450户无孩子的家庭。 每会见一户家庭，进行调查所需费用为

家庭 有孩子 无孩子 白天会见 25元 20元 晚上会见 30元 24元 问为使总调查费用最少，应调查各类家庭的户数是多少？（只建立模型） 二、（10分）

某公司受委托，准备把120万元投资两种基金A和B，其中A基金的每单位投资额为50元，年回报率为10%，B基金的每单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要求投资风险最小。据测定每单位A基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3，投资风险指数越大表明投资风险越大。委托人要求在B基金中的投资额不少于30万元。为了使总的投资风险最小，该公司应该在基金A和基金B中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？

为求该解问题，设

可以建立下面的线性规划模型

使用《管理运筹学》软件，求得计算机解如下图所示，

最 优 解

目 标 函 数 值 = 62000.000

变 量 值 相差值 x1 4000.000 0.000 x2 10000.000 0.000 3

约 束 松驰/剩余变量 对偶价格

1 0.000 0.057 2 0.000 -2.167 3 7000.000 0.000 目 标 系 数 范 围

变 量 下 限 当 前 值 上 限 x1 3.750 8.000 无上限 x2 无下限 3.000 6.400 常 数 项 范 围

变 量 下 限 当 前 值 上 限 1 780000.000 1200000.000 1500000.000 2 48000.000 60000.000 102000.000 3 无下限 3000.000 10000.000 根据图回答问题：

a.最优解是什么，最小风险是多少？ b.投资的年收入是多少？

c.每个约束条件的对偶价格是多少？

d.当每单位基金A的风险指数从8降为6，而每单位基金B的风险指数从3上升为5时，用百分之一百法则能否断定，其最优解变或不变？为什么？

e.对图中的右边值范围的上、下限给予具体解释，并阐述如何使用这些信息。

三、（10分）

某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供五条规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如下表所示。

已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常高出10%，又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年所造成的积压损失为60万元。在签合同时，该厂已积压了两艘未交货的客货轮，而该厂希望在第三年末完成合同后还能储存一艘备用。问该厂应如何安排每年客货轮生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用为最少？建立上述运输问题模型。

正常生产时间内 年度 可完成的客货轮数 可完成的客货轮数 1 2 3 四、（10分）

某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Ai (i＝1，2，3，?，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：

在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个； 在西区由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区由A6，A7两个点中至少选一个； 在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。

3 4 2 3 2 3 （万元） 600 700 650 加班生产时间内 正常生产时每艘成本

Ai各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单位：万元）所示。

A1 A2 A3 A4 90 17 A5 80 15 A6 100 25 A7 90 20 A8 A9 A10 投资额 110 130 160 利润 31 35 45 150 170 190 43 53 56 但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题的整数规划模型。

五、（10分）

某公司拟将某种设备4台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如下表所示，

问这4台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？用动态规划求解。

六、（10分）

请确定a、b、c、d 各题的存储模型，确定各输入数据，不需计算： a、某公司生产一种电子设备，该设备所需的一个部件由自己的分厂提供，分厂对这种部件的生产能力为6000/件，分厂每次的生产准备费为250元。公司的这种电子设备的年需求为2000台/年。装配允许滞后，滞后的费用为每台成本

的40%。该部件每件成本为500元，年存贮为成本的20%。求：公司生产关于这种部件费用最小的生产批量。

b、某单位每年需要一种备件5000个，这种备件可以从市场直接购买到。设该备件的单价为16元/个，年存贮费为单价的25%。一个备件缺货一年的缺货费为单价的10%。若每组织采购一次的费用为120元。试确定一个使采购存贮费用之和为最小的采购批量。

c、一条生产线如果全部用于某型号产品时，其年生产能力为600000台。据预测对该型号产品的年需求量为250000台，并在全年内需求基本保持平衡，因此该生产线将用于多品种的轮番生产。已知在生产线上更换一种产品时，需准备结束费1350元。该产品每台成本为45元，年存贮费用为产品成本的24%，不允许发生供应短缺。求使费用最小的该产品的生产批量。

d、某企业的产品中有一外购件，年需求量为60000件，单价为35元。该外购件可在市场立即采购到，并设不允许缺货。已知每组织一次采购需720元，每件每年的存贮费为该件单价的20%。试求经济订货批量及每年最小的存贮加上采购的总费用。

某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：

月份 所需仓库面积 15 （百平方米） 仓库的租借费用，当租借期限越长时，享受的折扣优惠越大，具体数字如下：

10 20 12 1 2 3 4 合同租借期限 合同期限内每百平方米 1个月 二800 2个月 4500 3个月 6000 4个月 7300 仓库面积的租借费用

租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理，可签一份，也可同时签定若干份租用面积和租借期不同的合同。请建立求解出一个所付租借费为最小的租借方案的线性规划模型。 设xij表示i时会见的j种家庭的人数 目标函数：（2分）

minZ=25x11+30x21+20x12+24x22 约束：（8分） x11+x21+x12+x22=2000 x11+ x12=x21+ x22 x11+x21≥700 x12+x22≥450 xij≥0（i,j=1,2） 第二题（10分） 标准答案：

a. 最优解：x1=4000；x2=10000；最小风险：62000（2分） b. 年收入：6000元（2分）

c. 第一个约束条件对偶价格：0.057；第二个约束条件对偶价格：-2.167；第三个约束条件对偶价格：0（2分） d. 不能判定（2分）

e. 当右边值总投资额取值在780000—1500000之间时，不改变约束条件1的对偶价格；当右边值回报额取值在48000—102000之间时，不改变约束条件2的对偶价格；当右边值B的投资额小于10000时，不改变约束条件3的对偶价格。（2分）

第三题（10分） 标准答案：

M为一足够大的数

第四题（10分） 标准答案：

设

目标函数：（2分）

maxZ=31x1+35x2+45x3+17x4+15x5+25x6+20x7+43x8+53x9+56x10 约束条件：（8分）

110x1+130x2+160x3+90x4+80x5+100x6+90x7+150x8+170x9+190x10≤820 x1+x2+x3≥2 x4+x5≥1 x6+x7≥1 x8+x9+x10≤2

xi为0-1变量（i=1,2,…,10） 第五题（10分）

标准答案： 阶段3(3分) xi Si 0 1 2 3 0 0 5 7 12 0 1 2 3 r 0 1 2 3 4 f(xi) X* 5 7 12 4 13 13 4 阶段2(3分) xi Si 0 1 2 0 0 6 11 0 1 1,2 12+0 12+5 12+0 18 1,2 16 2 0 1 r 2 3 4 f(xi) X* 0+5 6+0 0+7 *6+5 *11+0 3 0+12 6+7 *11+5 4 0+13 *6+12 *11+7 阶段1(3分) xi Si 4 0+1*4+18+110+120 1 0 1 r 2 3 4 f(xi) X*

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