四川省成都石室中学2013届高三9月月考 数学理

石室中学高2013级2012—2013学年度上期9月月考数学试题（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

x1.已知命题p：?x0?R，20?1．则?p是（ ）

xA. ?x0?R，20?1 xC. ?x0?R，20?1

xB. ?x0?R，20?1 xD. ?x0?R，20?1

2.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）

A. ①y?x②y?x③y?x④y?x B. ①y?x②y?x③y?x④y?x?1 C. ①y?x②y?x③y?x④y?x D. ①y?x②y?x③y?x2④y?x?1 3.曲线y?2sinx在点(0,0)处的切线与直线x?ay?1垂直，则实数a的值为（ ） 11A．2 B．?2 C． D．?

222313212?1321212?113124.将函数y?sin2x的图象向左平移A．y?sin(2x??6个单位后的图象的函数解析式为（ ）

?) B．y?sin(2x?) C．y?sin(2x?)D．y?sin(2x?) 336 6???5.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

6.下列函数中，不满足f(2x)?2f(x)的是（ ）

A. f(x)?x B. f(x)?x?x C. f(x)?x?? D. f(x)??x 7.若命题p:x?x?2?0，命题q:21?x?0，则p是q的（ ）

|1?x|

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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.如图所示，输出的n为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

9.设?、?为两个不同的平面，l、m、n为三条互不相同的直线， 给出下列四个命题：

①若aP?，l??，则lP?；

②若m??，n??，mP?，nP?，则?P?； ③若lP?，l??，则???；

④若m、n是异面直线，mP?，nP?且l?m，l?n，则l??． 其中真命题的序号是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④

10.定义在R上的函数偶函数f(x)满足f(1?x)?f(1?x)，

?lgx,(x?0)?且x?[0,1]时，f(x)?1?x；函数g(x)??1，

?,(x?0)??x2则函数h(x)?f(x)?g(x)在区间[?5,5]内的零点的个数是（ ） A．5

B．7 C．8 D．10

211.已知函数f?x??loga(x?1?x)?13?(a?0,a?1)，如果f?log3b??5 ax?12（b?0,b?1），那么f?log1b?的值是（ ）

????3 A．?3 B．3 C．5 D． ?2

12.将方程x?tanx?0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,?,an,?，给出以下不等式： ①0?an?1?an??an?1?an??；③2an?1?an?2?an；④2an?1?an?2?an；

22其中，正确的判断是( )

；②

??A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每小题4分，共16分）

1?log3x,x?013.已知函数f(x)??x，则f(f())? ；

9?2,x?014.已知函数f(x)?e是 .

2|x?a|（a为常数）. 若f(x)在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围

15.方程x?2x?1?0的解可视为函数y?x?2的图像与函数y?

1

的图像交点的横坐x

标.若方程x4?ax?4?0的各个实根x1,x2,?xk(k?4)所对应的点?xi,??4xi??（i=1,2,…，k）?

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均在直线y?x的同侧（不包括在直线上），则实数a的取值范围是______. 16.已知函数f(x)? sin?x. 对于下列命题：

(x2?1)(x2?2x?2)①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)既有最大值又有最小值； ③函数f(x)的定义域是R，且其图象有对称轴； ④对于任意x?(?1,0)，函数f(x)的导函数f?(x)?0.

其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）

三、解答题（共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）

1

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB， P2N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (I)证明：CM⊥SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小．

18.（本小题满分12分）

已知关于x的二次函数f(x)?ax2?4bx?1.

(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y?f(x)在区间[1,??)上是增函数的概率；

?x?y?8?0?(II)设点(a，b)是区域?x?0内的一点，求函数y?f(x)在区间[1,??)上是增函数的概率．

?y?0?MNBACS

19.（本小题满分12分）

已知向量m?(23sin,2)，n?(cos,cos2)．函数f(x)?m?n．

urx4rx4x4urr?1，求cos(x?)的值；

32(II)在VABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a?c)cosB?bcosC， 求f(A)的取值范围．

(I)若f(x)?

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20.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差d?0，设Sn?a1?a2q???anqn?1，

Tn?a1?a2q???(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*.

（Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a1?d，且S1,S2,S3成等比数列，求q的值； （Ⅲ）若q??1，证明：（1?q）S2n?(1?q)T2n

21．（本题满分12分）

设f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，且当

2dq(1?q2n)?,n?N*. 21?qx?(0,1]时，g(x)?lnx?ax2．

（I）求函数f(x)的解析式；

（II）若对于区间?0,1?上任意的x，都有|f(x)|?1成立，求实数a的取值范围．

22.（本题满分14分）

x?1. xf?x?（Ⅰ）当a?3时，解关于x的不等式：1?e?g?x??0；

已知函数f(x)?lnax(a?0,a?R)，g(x)?（Ⅱ）当a?1时，记h(x)?f(x)?g(x)，过点?1,?1?是否存在函数y?h(x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若a是使f?x??g?x??x?1?恒成立的最小值，对任意n?N，

*试比较

1?n?1?????的大小(常数0???1). f1?n2与??????k?11?kn

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9月月考数学试题参考答案及评分建议

选择题：ABAA DCDD ACAD

1；14.a?1；15.a??6或a?6；16.②③ 411填空文科：13. ；14.a?1；15.(0,]；16.a??6或a?6.

44填空理科：13. 文科17

解：(I)由题设2a3?a1?a2,即2a1q2?a1?a1q,?a1?0,?2q2?q?1?0. 而q?1，故q??(II)由(1)q??，Sn?2n?121；4分 2n(n?1)1?n2?9n(n?1)(n?10)(?)?.，当n?2时,Sn?bn?Sn?1??,

4224故对于n?N?,当2?n?9时,Sn?bn;当n?10时,Sn?bn;当n?11时,Sn?bn. 12分

理科17，文科18

解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系则111

1，0，?，N?，0，0?，S?1，，0?. P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M?2???2??2?

111→11→→→－，－，0?，因为CM·(1)证明：CM＝(1，－1，)，SN＝?SN＝－＋＋0＝0， 2??2222所以CM⊥SN.

→?CM·a＝0?→?1?(2)NC＝?－2，1，0?，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则?，

→?a＝0?NC·

?x－y＋2z＝0，

∴?1

－?2x＋y＝0，

理科18，文科19

1

1

－1－

22→

，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|cos〈a，SN〉|＝＝，

223×2

??????

所以SN与平面CMN所成角为45°.

2b (1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，

a2b

＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)

a

若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分) 51

∴所求事件的概率为＝.(6分)

153

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(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)

a＋b－8≤0，?????

依条件可知事件的全部结果所构成的区域为?a，b??a＞0，

??b＞0???

2

??

?，构成所求事件的??

a＋b－8＝0，??168?，，(10分) 区域为三角形部分．由?a得交点坐标为?33??b＝，??218

×8×231

∴所求事件的概率为P＝＝.(12分)

13×8×82理科19，文科20

解：（1）由题意，f(x)?23sincos?2cos2?3sin?cos?1?2sin(?)?1．4分

6x4x4x4x2x2x2

?由f(x)?2得sin(?x2?6)??1?x?7，因此cos(x?)?1?2sin2(?)?． 6分 43468（2）由正弦定理，2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC，即2sinAcosB?sin(B?C)?sinA． 由于sinA?0，所以cosB?，B?于是0?A?12?3． 10分

2??A??1A?，???，?sin(?)?1，从而2?f(A)?3． 12分 36262226理科20，各4分

【解析】 （1）解：由题设，S3?a1?(a1?d)q?(a1?2d)q2,将q?1,a1?1,S3?15 代入解得d?4，所以an?4n?3n?N*

（2）解：当a1?d,S1?d,S2?d?2dq,S3?d?2dq?3dq2,?S1,S2,S3成等比数列，所以

22（d?2dq）?d（d?2dq?3dq2)，注意到d?0，整理得q??2 S2?S1S3，即

（3）证明：由题设，可得bn?qn?1，则

S2n?a1?a2q?a3q2??a2nq2n?1 ① T2n?a1?a2q?a3q2???a2nq2n?1 ②

①-②得，S2n?T2n?2(a2q?a4q3???a2nq2n?1) ①+②得，S2n?T2n?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) ③

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③式两边同乘以 q，得q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) 所以(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q理科21文科22

解：（1） ∵ g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，

∴ f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于y轴对称的对称点Q(?x,y)在g(x)的图象上． 当x?[?1,0)时，?x?(0,1]，则f(x)?g(?x)?ln(?x)?ax2． 2分 ∵f(x)为[?1,1]上的奇函数，则f(0)?0． 3分 当x?(0,1]时，?x?[?1,0)，f(x)??f(?x)??lnx?ax2． 5分 ?ln(?x)?ax2(?1≤x?0),?∴f(x)??0(x?0), 6分

?2??lnx?ax(0?x≤1).32n?12dq(1?q2n) )?21?q1（1）由已知，f?(x)???2ax．

x11①若f?(x)≤0在?0,1?恒成立，则??2ax≤0?a≤2．

x2x1此时，a≤，f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)min?f(1)?a，

2∴ f(x)的值域为[a,??)与|f(x)|?1矛盾． 8分 ②当a?111?(0,1]， 时，令f(x)???2ax?0?x?x2a21)时，f?(x)?0，f(x)单调递减， 2a∴ 当x?(0,当x?(1,1]时，f?(x)?0，f(x)单调递增， 2a111211)??ln()?a()?ln(2a)?． 10分 2a2a2a22∴ f(x)min?f(11e由|f(x)|≥1，得ln(2a)?≥1?a≥．

222e综上所述，实数a的取值范围为a≥． 12分

2理科22文科21

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x?1?1?3x??01?(,??). 3分 (I)当a?3时，不等式等价于?，解集为x3??3x?0(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点T(x0,lnx0?x0?1)， x0∴切线方程：y?1?x0?1x02(x?1)，将点T坐标代入得：

x0?1(x0?1)231，即lnx???1?0， ① lnx0??1?02x0x02x0x031(x?1)(x?2)．………………6分 ?2?1，则g?(x)?3xxx?x?0，?g(x)在区间(0,1)，(2,??)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数，

法1：设g(x)?lnx?故g(x)极大值?g(1)?1?0,g(x)极小值?g(2)?ln2?1?0．

4又g(1)?ln1?12?16?1??ln4?3?0，注意到g(x)在其定义域上的单调性知g(x)?0仅在

441(,1)内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． 8分. 4121(t?0)，考查?(t)?lnt?t2?3t?1，则??(t)?(t?1)(t?)?0， xt21111从而?(t)在(0,)增，(,1)减，(1,??)增. 故??t)极大=?()??ln2??0，

2224法2：令t??(1)??1?0，而?(e)?e2?3e?2?0，故?(t)在(1,e)上有唯一解.

从而lnx?31?2?1?0有唯一解，即切线唯一. xx法3：K(x0)?x02lnx0?x02?3x0?1，K?(x0)?2x0lnx0?x0?3,K??(x0)?2lnx0?1； 当x0?(0,e)?K??(x0)?0;x0?(e,??)?K??(x0)?0;?K?(x0)?K?(e)?3?0； 所以K?(x0)在(0,??)单调递增。 又因为K()?0,K(e)?0，所以方程

?12?12?121ex02lnx0?x02?3x0?1?0有必有一解，所以这样的切线存在，且只有一条。

x?1x?11?lna?1??lnx， 对x?1恒成立，所以?lna?lnx?xxx111令h?x??1??lnx,h??x??2??0?x?1?，可得h?x?在区间?1,???上单调递减，

xxx(Ⅲ)?lnax?

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故lna?h?1??0，amin?1. 10分

1?k?x?11得lnx?， ?x?1?，f?x??lnx. 令x??k?N*，ln?1?k???lnk?????xk?注意到1?k??1?k?2???2??，即1?k??21???1?k??， 所以

11?k??ln?1?k???lnk??ln?1?k???lnk??ln21??， n ?1?1????ln?1?n??nln2=f??1?n??2n?1????. k?11?k??

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1?k分 14

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