概率论与数理统计及其应用课后答案

概率论与数理统计及其应用习题解答

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。 解：（1）S（4）S

2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求

P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。

______（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；?{2,3,4,5,6,7}；

?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，

P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375___，

P(AB)?1?P(AB)?0.875，

___P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

1

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解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为

648900?0.72

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。（1）该数是奇数的可能个数为

4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为

48100?0.48

48（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?330的概率为

48100?0.48，所以该数大于

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为

C5C4C3C124211?833；

2

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（2） 所求概率为（3）所求概率为

C4C8?C4C8?C4C441222314?201495?67165；

C7C124?35495?7165。

6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率。

解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(kCn(M?1)kn?k?n)张提货单的可能分法有

?n)种，所以某一特定的销售点得到k(kCn(M?1)Mnkn?k张提货单的概率为

。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为

26?13；

13?23（1）至少有1只配对的概率为1?

。

3

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8，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),

P(AB|A?B),P(A|AB).

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以

P(A|B)?P(AB)P(B)?0.10.3?13，

?P(B|A)?P(AB)P(A)?0.10.5?15，

P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A?B)P(A)P(A?B)?57，

17P(AB|A?B)?P[AB(A?B)]P(A?B)P(AB)P(AB)?P(AB)P(A?B)?，

P(A|AB)?P[A(AB)]P(AB)??1。

（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?611?712?513?412?84020592?0.0408。

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只

4

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也是红球”记为事件B。则事件A的概率为

P(A)?2?24?23?24?13?56（先红后白，先白后红，先红后红）

所求概率为

2P(B|A)?P(AB)P(A)?4?5613?15

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。 解：（1）根据题意可得

P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；

；

5P%?0.1；

（2）根据条件概率公式：P(B|A)?（3）P(B|A)?（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?P(BA)P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)??10%1?50E%1?15%?0.2；

??917；

P(AB)P(B)?5%?13。

5

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1?,?0.5?x?1当y?0.5时，fX|Y(x|y)??1?0.5。

??0,其他

20，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。

（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；

（3）

求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由

1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?13f(x,y)，得到f(x,y)??3,(x,y)?G?G0x20，。?其他???x（2）fx)??f(x,y)dy????3dy?3(x?x2)，0?x?1X(2；

x????0,其他?y??3dx，0?y?1???y2?3(y?y2)，0f(y)??f(x,y)dx??Y????y?1?。 ???0，其他???0，其他??f(x,y)?12（3）当0?x?1时，fY|X(y|x)??2,x?y?xf)??x?x。

X(x??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为

?4f(y|0.5)???22?1,1/4?y?2/2Y|X。

??0,其他

21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为

?f(x)??2?x?6，0?x?2X

??0,其他

21

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且当X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为

fY|X?1?xy?,(y|x)??1?x/2??0,0?y?1其他，

（1） （2）

求(X,Y)联合概率密度；

求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；

求在Y?y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。

（3）

解：（1）f(x,y)?fX(x)fY|X?1?xy?(y|x)??3??00?x?2,0?y?1其他；

?21?xy2dx?(1?y)??（2）fY(y)?3?f(x,y)dx??03???0???0?y?1其他；

（3）当0?y?1时，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1?xy,???2(1?y)fY(y)?0,?0?x?2其他。

22，（1）设一离散型随机变量的分布律为

Y -1 0 1 pk ?2 1?? ?2 又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求

P{Y1?Y2}。

（2）问在14题中X,Y是否相互独立？

解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为

P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1

结果写成表格为

22

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Y1 Y2 -1 -1 0 1 2?/4

?/4 2?(1??)/2 2(1??) 0 1 ?(1??)/2 ?/4 2?(1??)/2 2?/4 ?(1??)/2 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)??22/2。

（2）14题中，求出边缘分布律为

X Y 0 1 2 P{X?i} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?j} 0.16 0.34 0.50 1 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。

23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为

f)??8y0?y?1/2Y(y??0其他

试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。 解：根据题意，X的概率密度为

fx)??10?x?1X(?

?0其他所以根据独立定，X,Y的联合概率密度为

f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??

?0其他。1/21P{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8ydx?23

x?y0y

24，设随机变量X具有分布律

X -2 -1 0 1 3 23

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pk

1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

求Y?X2?1的分布律。

解：根据定义立刻得到分布律为

Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30

25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。

解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则 当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；

当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，2 f2U(u)??FU(u)?'?2fX(u)?2?e?u/。

?2?u所以，f(u)??e2/2u?0U?。

???0u?0

26，（1）设随机变量X的概率密度为

x)???e?xf(x?0?0其他

求Y?X的概率密度。

（2）设随机变量X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。

解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则 （1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；

当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?F2X(y)，

fY(y)??FY(y)?'?2yfy2)?2ye?y2X(。

24

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?y??2ye所以，fY(y)????02y?0y?0。

（2）此时fX(x)???1/2?0?1?x?1其他。

因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故， fY(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,'?1?2y?1?1，

所以，fY(y)???1?00?y?1其他。

（3）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}

??(y)??(?故， fY(y)??FY(y)??2fX('y)?2?(y)?1，

12?ye?y/2y)12y?。

??所以，fY(y)????

12?y0e?y/2y?0其他。

27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为

?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。 解：圆面积A??X2

，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则

G(y)?P{?X2?y}?P{X?12?yy/?}?FX(y/?)， 故

12?y?3y?8?g(y)??G(y)??'f(y/?)???3y?16?y?,0?y/??2

?3y???所以，g(y)??16?y??0

0?y?4?其他。

28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?

2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为

25

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??（2）当k?1时，E(X)????xdx??1???，即E(X)不存在。

??（3），当k?2时，E(X22)??x??22f(x)dx???xk?kk?1dx?k?2k?2，

所以，D(X)?（4）当k

E(X)??E(X)???2?1?kk??k????2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??2??22。

?2时，E(X)?2?x??f(x)dx???2?xdx???，所以D(X)不存在。

21，解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；

， ，

因为E(X22)??kk?02P{X?k}?4/7，

2E(Y)?2?kk?02P{Y?k}?27/28所以D(X)?

?XY?E(X)??E(X)??9/2822，D(Y)?E(Y)??E(Y)??45/11222Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。

（2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/752；

11?y因为

E(X)?2??R?Rxf(x,y)dxdy?12?dy01?y?24xydx?1/5，

303E(Y)?2??R?R2yf(x,y)dxdy?2?dy?24y00xdx?1/5，

所以，D(X)?E(X)??E(X)??1/252，D(Y)?E(Y)??E(Y)??1/2522

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23。

（3）在第2章14题中，由以下结果

36

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X 0 1 2 Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?k} 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；

D(X)?E(X)??E(X)??0.600422，D(Y)?.

E(Y)??E(Y)??0.544422,

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.27240.5717?0.476522，解：根据题意有

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。

D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)

?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。

23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以

EX1(X2?4X3)?22??E(X221)E[(X2?4X3)]?E[X2?8X2X3?16X3]

222222 ?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]

?1?0?16?17。

E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。

222（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(X1?2X2?X3)2?2??E[X221?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]

22?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?13?43?13?1?12?1?12。

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1x24，解：因为

E(X)???xf(x,y)dxdyR?R1??dx?xdy0x?x?2/3，

E(Y)???R?Ryf(x,y)dxdy??dx?ydy01?xx?0，

E(XY)???xyfR?R(x,y)dxdy??dx?xydy0?x?0，

所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 又因为，

?x?1dy?2x，0?x?1； fX(x)??f(x,y)dy????x???0,其他????1??1dx，?1?y?0??y??1??fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1???y?0，其他????1?y，0?y?0.5???1?y，0.5?y?1?0，其他?，

显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了

X,Y不是相互独立的。

25，解：引入随机变量定义如下

?1Xi???0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子1n

~N(n,1n)则总的配对数X故所以，E(X)?

n??i?1Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X。

n?1n?1。

第4章

正态分布

38

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1，（1）设Z（2）设Z求P{Z?1.24}， ~N(0,1)，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；

~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147?1.24}??(1.24)?0.8925，P{Z?b}?0.0526，求a,b。

解：（1）P{Z，

P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

。

所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}， 2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 ~N(3,16)，所以4?345?34?X?344?X?348?34~N(0,1)。

解：因为XP{4?X?8}?P{P{0?X?5}??(}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957)??(0?3)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

3，（1）设X（2）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。

~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95C6。

C6)?2?(C6)?1

解：（1）因为P{X所以得到?(（2）因为

?(C?32C6X?32?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?0.9772,即

C6?2.0，C?12.0。

C?32)?0.95~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(3?C2)?0.95，即

。

)?0.05,或者?(，从而

3?C2?1.645，C??0.294，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75

~N(3315,575)。

2?X?4390.25}；

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（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小

于2719的个数，求P{Y解：根据题意可得（1）P{2587.75 （2）P{XX?3315575?4}。

~N(0,1)。

575)??(2587.75?3315575)?X?4390.25}??(4390.25?3315

??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）

?2719}??(2719?3315575)?1??(1.04)?0.1492，

根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

4P{Y?4}??k?0C25?0.1492kk?0.850825?k?0.6664。

5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了

5

年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为

P{X?8}P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)P{X?8|X?5}??6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量

X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)

X,Y,则

40

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