《近世代数》复习

《近世代数》复习

一、 群论：基本结构有循环群，对称群与商群。基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。基本技术：o(a)=||; o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|; 若H?G,则|H| | |G|; 对称群Sn中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群An且是Sn的非平凡的最大的正规子群; Sn中的n-轮换?的中心化子(即能与?交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n?1)!个.

二、 环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理（中国剩余定理），同余方程。基本技术: 特征; 在有单位元的交换环R中, 主理想(a)=aR, (a)(b)=(ab); 设R是主理想整环, 则a是不可约元?a是素元?(a)是极大的理想?R/(a)是域; 主理想整环是唯一分解环;欧氏环是主理想环; 环同态,商环与理想分别一一对应,即f:R?S是环同态, 则kerf是R的理想且商环R/kerf?Imf, 故若f还是满

射,则R/kerf?S; 多项式的欧几里德算法; 二多项式的最大公因式; 不可约多项式及其判别(Eisenstein判别法); 多项式的根的判别: ?是多项式f(x)的根?(x??)|f(x);?是重根?(x??)|f ?(x); 整环上的n次多项式的根的个数不超过n;整系数多项式的有理数根的求法;域上的不可约多项式f(x)有重根?f ?(x)=0; 域上的(一元)多项式环是欧氏环(从而是主理想环);整数环上的多项式环是唯一分解环(但非主理想环).

三、 域论：基本结构有素域，分裂域与有限域。基本内容有：特征，扩域，扩域的次数，代数元素，极小多项式，本原元素，分圆多项式。基本技术: 素域仅有有理数域Q和有限域Z/(p)=Zp=Fp=GF(p),其中p是素数; 设?是(n次)代数元,则F(?)=F[?]={a0+a1?+?an?1?n?1|a?F}是F上的n维向量空间(=线性空间)(故F(?)称为F的n次扩域),即{1,?,?,?n?1}是F(?)的一组基,故?的任何有理函数均可以写成?的小于n次的多项式—此即分母有理化的过程);代数元?的极小多项式是以?为根且次数最小的首一多项式;多项式的分裂域是有限次扩域; 有限次扩域均为单扩域即存在本原元素; 特征为p(素数)的有限域均是某多项式

xpn?x的分裂域且元数等于pn;其子域的结构由其元素个数唯一

确定即对每个d|n恰有一个元数为pd的子域;n阶分圆多项式与xn?1的关系;有限域的乘法群是循环群. 四、 考试:

50(原题,极容易)+25(变数,容易)+15(变形,较容易)+10(综合,不难)

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