实验五 基于Matlab的信号频谱分析（复杂）

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本次实验注意：《实验五MALTAB基础知识（简单）》

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实验五 基于Matlab的信号频谱分析

(一)

实验目的

直接序列扩频通信系统是目前应用最为广泛的系统。在扩频过程中，对于频谱的分析是重要研究内容，因此本实验目的在于熟悉信号的傅里叶变换，用傅里叶变换进行相应的频谱分析。 (二)

实验设备

计算机，Matlab软件 (三)

实验要求

本实验属于验证实验，请完成（四）实验内容的实验仿真，并将仿真结果截图至指定位置（注意：共3处）。

请在页眉处填写班级、学号、姓名，并将实验报告命名为“实验五_学号_姓名”，并通过FTP上传至指定文件夹。 (四)

实验内容

a）周期信号的傅里叶级数

（1）基本原理

若一周期信号f?t??f?t?kT?，其中k为整数，T成为信号的周期。若周期信号在一个周期内可积，则可通过傅立叶级数对该信号进行展开。其傅立叶展开式如（2－1）式所示：

?f?t??1T?n???Fnej2?nfst （1－1）

?j2?nfst其中，Fn??T/2?T/2f?t?edt，T为信号周期；fs?1/T为信号的基波；

Fn为傅立叶展开系数，其物理意义为频率分量nfs的幅度和相位。

式1－1表明：信号可以展开成一系列频率为fs?1/T的整数倍的正弦、余弦信号的加权叠加，其中相应频率分量的加权系数即为Fn，因此可以用周期信

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号的傅立叶展开来重构该周期信号，其逼近程度与展开式的项数有关。

（2）举例

设周期信号一个周期的波形为f?t????1,0?t?T/2??1，T/2?t?T，求该信号傅里叶级数

展开式，并用MATLAB画出傅里叶级数展开后的波形，并通过展开式项数的变化考察其对f?t?的逼近程度，考察其物理意义。 解：

Fn?1T?T0f?t?e?j2?nfstdt

?j2?nfstT1?2?j2?nfst???edt?0T??TT2e?dt???j?n?j?n?1?e?11?e????T??j2?nfs?j2?nfs?

?sinc?n/2?e?jn?2注：sinc?x??sin?x源代码： clear all;

?x?sa??x?

N=20;%取展开式的项数为2N+1项 %可以改为N=input('input N:') T=1;%周期为1 fs=1/T;

N_sample=128;%为了画波形，设置每个周期的采样点数 dt=1/ N_sample;%时间分辨率 t=0:dt:10*T-dt;%取10个周期 n=-N:N;

Fn=sinc(n/2).*exp(-j*n*pi/2);%求傅立叶系数

Fn(N+1)=0;%当n=0时，代入Fn得Fn=0，由于数组的序号是从1开始的，即n=-N

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%时对应Fn(1), n=0时对应Fn(n+1)，即n=N时对应Fn(2N+1)

ft=zeros(1,length(t));%建立一个全零数组，其长度和原始信号长度相同，用 %来存放由傅里叶展开恢复的信号 for m=-N:N;%一共2N+1项累加。

ft=ft+Fn(m+N+1)*exp(j*2*pi*m*fs*t);%Fn是一个数组，而MATLAB中数组中 %元素的序号是从1开始的，故Fn序号是从1开始的，到2N＋1结束，该语句中%体现为为Fn(m+N+1)而当n=0时，Fn=0，在数组中的位置为第N+1个元素，故 %令Fn(N+1)=0 end plot(t,ft) 仿真结果截图： N=100时 （图1）

N=20时 （图2）

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可以看出：用周期信号的傅立叶展开来重构该周期信号，其逼进程度与展开式的项数有关。

b）信号的傅里叶变换及其反变换 （1）基本原理

对于非周期信号s?t?，满足绝对可积的条件下，可利用傅里叶变换对其进行频域分析。

S?f?????s?t?e??j2?ftdt，s?t??????S?f?ej2?ftdf

其中，S?f?称为信号s?t?傅里叶变换，表示了该信号的频谱特性。

在数字信号处理中，需要利用离散傅立叶变换（DFT）计算信号的傅里叶变换，现在考察一下信号s?t?的傅里叶变换与其离散傅立叶变换之间的关系。

将信号s?t?按照时域均匀抽样定理进行等间隔抽样后，得到序列

?sn,n?0,1,?2,N,?1sn?，?s?n?t?，其中，?t为抽样间隔，则由数字信号处理

的知识可知，序列sn的离散傅立叶变换为

N?1Sk??sn?0ne?j2?Nnk?k?0,1,2,?,N?1?

其中，N为采样点数。

而s?t?在一段时间?0,T?内的傅立叶变换为

S?f??0??Ts?t?eN?1?j2?ftdt

?j2?fn?tlim?s?n?t?eTNN?1?t?j2?NnfTN??n?0令?t?T/N?limN??注意到s?n?t??sn?s?n?t?en?0

?limN??TNN?1?sn?0ne?j2?NnfT得到s?t?在一段时间?0,T?内的傅立叶变换是连续谱S?f?，而对s?t?进行离散傅

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立叶变换得到的是离散谱Sk，为了比较它们之间的关系，对S?f?也进行等间隔抽样，且抽样间隔为?f?1，即其频率分辨率，则在频率范围? ?0,?N?1??f??内，TS?f??S?k?f??limN??TNN?1?sn?0ne?j2?NnfT

??limN??TNTNN?1?sn?0ne?j2?Nnk

limN??Sk?k?0,1,2,?,N?1?可以看到，s?t?的离散傅里叶变换与s?t?在一段时间?0,T?内的傅立叶变换S?f?的抽样S?k?f?成正比。由于N点离散傅里叶变换具有Sk?Sk?m*N的性质，故信号s?t?连续谱的负半轴部分可以通过对Sk的平移得到。

需要注意的是信号s?t?的离散傅立叶变换只和信号s?t?在一段时间?0,T?内的傅立叶变换有关，而由公式1－1，s?t?的频谱是在时间???,??上得到的。所以上述计算所得到的并不是真正的信号频谱，而是信号加了一个时间窗后的频谱。当信号s?t?是随时间衰减的或是时限信号，只要时间窗足够长，可以通过这种方法获得信号的近似频谱。因此，用DFT计算的信号频谱精度依赖于信号、抽样的时间间隔和时间窗的大小。一般情况下，对于时限信号，在抽样时间间隔小，即抽样频率高的情况下能获得较为精确的信号频谱。

计算信号的离散傅里叶变换在数字信号处理中有一种高效算法，即快速傅里叶变换FFT，Matlab中也有专门的工具，下面简要介绍：

fft(x)，x是离散信号，或对模拟信号取样后的离散值。 ifft(x), x是对信号进行快速傅里叶变换后的离散谱。 源代码一：

利用fft,fftshift定义函数T2F计算信号的傅立叶变换 function [f,sf]=T2F(t,st)%该子函数需要两个参数t和st。 %t—离散时间；st—离散信号 dt=t(2)-t(1) ;% 时间分辨率

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T=t(end) ;

df=1/T ;%频率分辨率

N=length(st) ;%离散傅立叶变换长度

f=-N/2*df :df :N/2*df-df ;%设定频谱区间，注意要关于原点对称，共有N个 %点，包括0点，故要减去一个df sf=fft(st);

sf=T/N*fftshift(sf);%信号的频谱与离散傅立叶变换之间的关系，?tshift(x)是将信号的频谱x进行移位，与原点对称。

源代码二：

利用ifft,fftshift定义函数T2F计算信号的傅立叶反变换 function [t,st]= F2T (f,sf) %f离散的频率；sf—信号的频谱 df=f(2)-f(1) ; %频率分辨率 Fmx=f(end)-f(1)+df ;%频率区间长度

dt=1/Fmx ; %已知频率区间长度时，求时间分辨率，由前面频率分辨率公式△f=df=1/T，

%T=dt*N，得到△f=df=1/ (dt*N)，故dt=1/(df*N)=1/Fmx，即时间分辨率 N=length(sf) ; T=dt*N; %信号持续时间 t=0:dt:T-dt;

%离散傅立叶反变换，是T2F的逆过程

sff=fftshift(sf); %把对称的频谱进行平移，平移后同T2F中的sf

st=Fmx*ifft(sff); %由于T2F中求信号频谱在DFT基础上乘了一个因子T/N，反变换求信号时要乘以其倒数即N / T＝1/dt，正好等于Fmx。 （2）举例

?1,0?t?T/2设非周期信号s?t?????1，T/2?t?T，求该信号的傅里叶变换，用MATLAB画出

傅里叶变换后的频谱，并对频谱进行反变换，画出s?t?的波形。

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解：

TS?f?e?j?fT???0e?j2?fT2e?j2?ftdt??TT2e?j2?ftdt

?1?j2?f1?e?j?fT??e?j?fT?j2?fe?j?fT?j2?f??j1?fT2?e???e?j2?fTj2?f?2?1?e?j?fT?2j2?f?1?fT?j?fT???j12?e2?e?????j2?f?e?j?fT?2?12?1?4sin??fT?sin???j?fT?2??2?ej2?f?1??fT?2Te2?j?fT?fT?????2j?f2T2?j?f2sinc2?fT/2?

主程序： clear all T=1;

N_sample=128;%为了画波形，设置每个周期的采样点数 dt=1/ N_sample;%时间分辨率 t=0:dt:T-dt;

st=[ones(1, N_sample/2), -ones(1, N_sample/2)];%依据T将信号离散化 subplot(311);plot(t,st);axis([0 1 -2 2]);xlabel('t');ylabel('s(t)'); subplot(312) ; [f,sf]=T2F(t,st) ;

plot(f,abs(sf)) ;hold on ;%画出sf的幅度谱，不含相位 axis([-10 10 0 1]);

xlabel('f');ylabel('|S(f)|');

sff=T^2*j*pi*f*0.5.*exp(-j*2*pi*f*T).*sinc(f*T*0.5).*sinc(f*T*0.5); %依据傅里叶变换求信号频谱

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plot(f,abs(sff),'r-')

[t,st]= F2T (f,sf);%进行离散傅立叶反变换，求原始信号 subplot(313) ; axis([0 1 -2 2]);

xlabel('t');ylabel('恢复的s(t)'); plot(t,st) ;hold on ; 仿真结果截图（图3）：

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