2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学

试卷（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．（5分）i是虚数单位，若复数z=（m2﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数，则实数m的值为 ．

2．（5分）右面的伪代码输出的结果是 ．

3．（5分）设等比数列{an}的公比为2，前10项和为S10=，则a1的值为 ．

4．（5分）用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有 个．

5．（5分）某调查机构观察了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图，则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）的有 人．

6．（5分）若复数z满足|z|=1，则|z﹣i|的最大值是 ．

第1页（共20页）

7．（5分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图

象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 ．

8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an+2﹣an=d（d为常数，且d≠0，n∈N*），a1=1，a2=2，且a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，则S20等于 ． 9．（5分）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为 ． 10．（5分）设函数f（x）=x3，若0≤θ≤立，则实数m的取值范围为 ．

11．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是 ． ①若函数f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）； ②若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数； ③若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；

④若x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）?f（n）＜0． 12．（5分）如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 种（用数字作答）．

时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成

13．（5分）如图，在四边形ABCD中，|=2

，则

= ．

|=4，，E为AC的中点，若

14．（5分）数列{an}中，若ai=k2（2k≤i＜2k+1，i∈N*，k∈N），则满足ai+a2i≥100

第2页（共20页）

的i的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若求

（1）tanA：tanB：tanC的值； （2）求角A的值．

16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，点D，E，N分别为PB，PC，AC的中点，点M为DB的中点． （1）求证：BN⊥平面PAC； （2）求证：MN∥平面ADE．

，

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1， （1）P为直线l：x=上一点．

①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；

（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使

为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．

18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．

第3页（共20页）

（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式； （2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？

19．（16分）已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为（1）求实数a的值；

（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望． 20．（16分）已知数列T：a1，a2，…，an（n∈N*，n≥4）中的任意一项均在集合{﹣1，0，1}中，且对?i∈N*，1≤i≤n﹣1，有|ai+1﹣ai|=1． （1）当n=4时，求数列T的个数；

（2）若a1=0，且a1+a2+…+an≥0，求数列T的个数．

．

第4页（共20页）

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期

中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．（5分）i是虚数单位，若复数z=（m2﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数，则实数m的值为 ﹣1 ．

【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得实数m的值． 【解答】解：∵复数z=（m2﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数， ∴m2﹣1=0，m﹣1≠0，解得m=﹣1， 故答案为﹣1．

【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2﹣1=0，m﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．

2．（5分）右面的伪代码输出的结果是 21 ．

【分析】FOR﹣FROM循环是知道了循环的次数的循环，本题I的取值分别为1，2，3，则执行3次循环，根据语句S←2S+3执行三次，从而求得S即可． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0， I=1，S=3 I=2，S=9 I=3，S=21

第5页（共20页）

输出S的值为21． 故答案为：21．

【点评】本题主要考查了FOR﹣FROM循环，语句的识别问题是一个逆向性思维，如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，算法和语句是新课标新增的内容，属于基础题．

3．（5分）设等比数列{an}的公比为2，前10项和为S10=

，则a1的值为

．

【分析】根据等比数列的前n项和公式建立方程进行求解即可． 【解答】解：由等比数列的前n项和公式得S10=即1023a1=故答案为：

【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式的应用，建立方程是解决本题的关键．

4．（5分）用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有 60 个．

【分析】根据题意，由排列数公式计算即可得答案．

【解答】解：根据题意，用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，

则有A53=5×4×3=60种情况， 即有60个没有重复数字的三位数， 故答案为：60．

【点评】本题考查排列数公式的应用，注意区分排列数、组合数公式．

5．（5分）某调查机构观察了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图，则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）的有 40 人．

第6页（共20页）

=，

，即a1=，

【分析】新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）的分为[3.2，3.6），[3.6，4.0）两部分．在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，分别得到这两个范围中的个体数．再相加，可得答案． 【解答】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率． 在[3.2，3.6）的频率为0.625×0.4=0.25，频数为0.25×100=25， 在[3.6，4.0）的频率为0.375×0.4=0.15，频数为0.15×100=15． 则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）内大约有 25+15=40人． 故答案为：40．

【点评】本题考查频率分步直方图，考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率，考查频率，频数和样本容量之间的关系．

6．（5分）若复数z满足|z|=1，则|z﹣i|的最大值是 2 ． 【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解答】解：|z|=1的几何意义为单位圆上的点， |z﹣i|的几何意义为单位圆上的点到（0，1）的距离，

由图可知，|z﹣i|的最大值是2． 故答案为：2．

第7页（共20页）

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

7．（5分）将函数

的图象上的所有点向右平移

个单位，再将图

象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 y=sin4x ．

【分析】按照左加右减的原则，求出函数

所有点向右平移

个单

位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可． 【解答】解：将函数函数

=sin2x，

的图象上的所有点向右平移

个单位，得到

再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 则所得的图象的函数解析式为y=sin4x． 故答案为：y=sin4x．

【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．

8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an+2﹣an=d（d为常数，且d≠0，n∈N*），a1=1，a2=2，且a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，则S20等于 120 ． 【分析】由a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，可得：2a2a3=a1a2+a3a4，根据an+2﹣an=d（d为常数，且d≠0，n∈N*），a1=1，a2=2，可得a3=a1+d=1+d，a4=a2+d=2+d．解得d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：由a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，可得：2a2a3=a1a2+a3a4， ∵an+2﹣an=d（d为常数，且d≠0，n∈N*），a1=1，a2=2， ∴a3=a1+d=1+d，a4=a2+d=2+d．

∴2×2×（1+d）=2+（1+d）（2+d），化为：d2﹣d=0，d≠0， 解得d=1． ∴an+2﹣an=1．

∴数列{an}的奇数项与偶函项分别成等差数列，公差为1，首项分别为1，2．

第8页（共20页）

∴S20=（a1+a3+……+a19）+（a2+a4+……+a20） ==120．

故答案为：120．

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．（5分）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为 0.4 ．

【分析】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．

【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，

∴P（目标未受损）=0.4，∴P（目标受损）=1﹣0.4=0.6，

目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件， P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁）， 即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2， ∴P（目标受损但未完全击毁）=0.6﹣0.2=0.4． 故答案为：0.4．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

10．（5分）设函数f（x）=x3，若0≤θ≤

时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成

+

立，则实数m的取值范围为 （﹣∞，1） ． 【分析】由于f（x）=x3，0≤θ≤

，利用导数，可判断f（x）为增函数，结合

函数的奇偶性，可得f（mcosθ）＞f（m﹣1），从而得出mcosθ＞m﹣1，根据cosθ∈[0，1]，即可求解．

【解答】解：由函数f（x）=x3，可知f（x）为奇函数，f′（x）=3x2≥0恒成立， ∴f（x）=x3是增函数；且f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）是奇函数，

第9页（共20页）

∵f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m﹣1）恒成立， ∴mcosθ＞m﹣1，令g（m）=（cosθ﹣1）m+1，则g（m）=（cosθ﹣1）m+1＞0恒成立． ∵0≤θ≤

∴cosθ∈[0，1]， ∴cosθ﹣1≤0， ∴∴m＜1，

故答案为：（﹣∞，1）．

【点评】本题考查了函数恒成立的问题，解题的关键在于对函数f（x）=x3单调性、奇偶性的判断，考查转化思想与构造函数的方法，属于中档试题．

11．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是 ①② ． ①若函数f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）； ②若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数； ③若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；

④若x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）?f（n）＜0． 【分析】根据题意，依次分析所给的命题：对于①②③，由函数奇偶性的定义可得①②正确，③错误；对于④，据此反例可得④错误，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析所给的命题：

对于①，若函数f（x）是偶函数，有f（﹣x）=f（x），当x=2时，有f（﹣2）=f（2），正确；

对于②，假设函数f（x）是偶函数，必有f（﹣x）=f（x）对所有实数均成立， 而f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；正确；

对于③，当f（﹣2）=f（2）=0，函数f（x）可能为奇函数，则③错误； 对于④，对于二次函数f（x）=x2，其零点x0=0，若m＜x0＜n， 那么f（m）?f（n）＞0，④错误； 则①②正确；

第10页（共20页）

，

故答案为：①②．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解函数奇偶性的定义，属于基础题．

12．（5分）如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 10 种（用数字作答）．

【分析】根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5， 分2种情况讨论：

若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法； 若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法； 则一共有6+4=10中不同的取法； 故答案为：10．

【点评】本题考查计数原理的应用，关键是依据题意，正确进行分类讨论．

13．（5分）如图，在四边形ABCD中，|=2

，则

= 0 ．

|=4，

，E为AC的中点，若

第11页（共20页）

故答案为：①②．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解函数奇偶性的定义，属于基础题．

12．（5分）如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 10 种（用数字作答）．

【分析】根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5， 分2种情况讨论：

若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法； 若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法； 则一共有6+4=10中不同的取法； 故答案为：10．

【点评】本题考查计数原理的应用，关键是依据题意，正确进行分类讨论．

13．（5分）如图，在四边形ABCD中，|=2

，则

= 0 ．

|=4，

，E为AC的中点，若

第11页（共20页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t6qa.html