毕业论文柯西-西瓦兹不等式的推广与应用

中图分类号： O122.3

本 科 生 毕 业 论 文 （申请学士学位）

论文题目 柯西-西瓦兹不等式的推广与应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学 指导教师

2010年 4月30日

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学 号：5060352023 论文答辩日期： 2010 年 6月 5日

指 导 教 师： （签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明

本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名： 2010年5月30日

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柯西-西瓦兹不等式的推广与应用

摘要：柯西-西瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级

数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-西瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-西瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。

关键词：柯西-西瓦兹不等式；实数域； 欧氏空间；概率空间

The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz Inequality

Abstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areas such as motion vector in linear

algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization. This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application.

Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space; Probability space

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1、柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广与应用

1.1柯西-西瓦兹不等式在实数域中的定义

定义:设ai,bi?R?i?1,2,n?,则有

2?n??n2??n2? ??aibi????ai???bi? （1.1）

?i?1??i?1??i?1?其中当且仅当bi?kai?i?1,2n? (k为常数)等号成立。

柯西-西瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其

的理解。

证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明

证明：设f?x???(xa?b)iii?1nn2?0,?x?R，则

nn(?ai)x?(2?aibi)x??bi2?0

22i?1i?1i?1由于?x?R,因此上述不等式的判别式??0，则

4(?aibi)?4(?ai)(?bi2)?0

22i?1i?1i?1nnn即

(?aibi)?(?ai)(?bi2)

22i?1i?1i?1nnn证法二：利用一元二次不等式的知识来证明 证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数x都有

?(ax?bx)iii?1nn2?0

其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为

Ax?Bx?C?0 ，其中，A??ai,B??aibi,C??bi2

22i?1i?1i?1nn如果A?0,不等式显然成立

如果A?0，因为Ax?2Bx?C?0恒成立，所以B?AC?0成立 即(22?ab)iii?1n2?(?ai)(?bi2)?0等号当且仅当bi?kai(i?1,2,2i?1i?1nnn) (k为常数)成立。

证法三：利用向量的知识来证明

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证明：设a?(a1,a2,an),b?(b1,b2,nbn)是两个n维向量，则

12n12212n122a?b??aibi,|a|?(aa)?(?ai),|b|?(bb)?(?bi)

i?1i?1i?1由于ab?|a||b|cos??|a||b| 因此(?ab)?(?aiii?1i?1nni122)(?bi) ，即(?aibi)?(?ai)(?bi2)当cos??1时等号成立，

22i?1n122nnni?1i?1i?1即??0或?时，也即a与b共线时等号成立.

1.2柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广

推论1.柯西-西瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广 在（1.1式）中，令bi?nxi，则 ainnxi2x2(?ai)?(?ai)[?(i)2]

aii?1i?1i?1ai (?xi)?(?ai)[?(i?1i?1i?1n2n2nxi2)] （1.2） ai(?xi)2

n?ai?1i?1n2ix??(i)2 （1.3） i?1ain令 ai?yi?zi 则

(?xi)2

i?12(y?z)?iii?1nn??(i?1nxi2（1.4） )

yi?zi（1.1）?(?ai)?(?aibi)(?2i?1i?1i?1nnnai),ai?0,bi?0 （1.5） bi?（1.1）

?i?1naibi?(?ai)(?bi),ai?0,bi?0 （1.6）

i?1i?1nn推论2 .将柯西-西瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.

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赫尔德不等式：对任意的非负数ai,bi(i?1,2,n)有(?ai)(?bi)??aibi

i?1i?1i?1n1ppn1qqn其中p,q?R,满足

?11??1且p?1 （1.7） pqapbq11??ab,其中a,b为非负数且??1(p,q?0)得 证明：利用不等式

pqpq[(?ai)?(?bi)]i?1ni?1ni?11pp?abniin1qq??ai?1ni?1ni1p?nbi?q?b??i??i?1?1q(?ai)p1??{[i?1pnai(?ai)pi?1pipn1p]?[1qpbi(?bi)i?1n1qq]q}?1?p?a?ai?1i?1n1??q?b?bi?1i?1nnqi

qii11?pq?1?赫尔德不等式中，当p?q?2时为柯西-西瓦兹不等式。

推论3.若将n??则可导出相应的无穷不等式 设数项级数

?ai?1?2i与

?bi?1?2i收敛，则

?ab也收敛，且

iii?1?

?a??b2ii?1i?1??2i?(?aibi)2 （1.8）

i?1?推论4.设ai1,ai2,ain(i?1,2,mni1mm)为n组正实数，则有

n?a?ai?1i?1i2?ai?1mnin?(?ai1ai2i?1main)2

证明：令

?ai?1mnij?Ajn(i?1,2,m;j?1,2,n),其中aij?R?(i?1,2,m;j?1,2,n)

由平均值不等式得

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对之作和得

ai1ai2A1A2ain?Ann2(ai1?ain?nnnAn1An2na)A

innnnai1ai2?i?1A1A2所以有：

mainAn?(a?aAA?i1n1i?1i2n2?na)?a??aA?AAmminni1n1ni?1i?1nnni2n2???ainnMi?1nAnn

m（?ai1ai2i?1nain)??ai1?ai2i?1i?1mnmn?ai?1mnin

1.3柯西-西瓦兹不等式在实数域中的应用

?例1-1．设ai?R(i?1,2,n),，求证：

?a1?a2??11?an?????a1a21????n2 an?证明：不等式左边等于[(a1)2?(a2)2??(an)2][11??22(a1)(a2)12) an?1] 2(an) ?（a1?11?a2??a1a22?1）

?an?1?1? =（ ?n 所以得证.

例1-2．若ai(i?1,2,2n)都是正数，又?ai?k（常数），求证：

i?1na1a2??k?a1k?a2证明：根据柯西-西瓦兹不等式（1.1）式可得

22kan?. k?ann?12[(k?a1)2?(k?a2)2??(a1?a2??an)2?k2

?(k?an)2][(a1a2)2?()2?k?a1k?a2?(ank?an)2]- 7 -

aa2（n?1）k(1??k?a1k?a2于是得：

22an?)?k2 k?an2a1a2??k?a1k?a2例1-3设ak?R(k?1,2,解：应用（1.1）式 ，

nnk?122kan?? k?ann?1nk?12,n) ，若?ak?1,则?a2k?nnn1； nnn(?a)?(?1)(?a)?(?ak?1)?(?ak)2?1

k?12kk?1k?12kk?1k?1k?122?a2k?n1 n例1-4．证明Rn中任意三点 P1,P2,P3 满足三角不等式

P1?P2?P1?P3?P3?P2

(1)(1)证明：设P1(x1,x2,(2)(2),x(1)n),P2(x1,x2,(3)(3),x(2)n),P3(x1,x2,,x(3)n)

若P1?P2?P1?P3?P3?P2式成立，则有：

(2)2?(x?x)??(x?x)??(x(3)k?xk)

(1)kk?1(1)kk?1n(2)2kn(3)2knk?1则

(2)2(1)(3)2(3)(2)2(1)(3)2(2)2?(x(1)?(x(3)k?xk)??(xk?xk)??(xk?xk)?2?(xk?xk)k?xk) k?1k?1k?1k?1nnnnnk?1(3)(3)(2)2而?(x?x)??[(x(1)k?xk)?(xk?xk)] k?1(1)kk?1n(3)2(3)(2)2(1)(3)(3)(2) ??(x(1)k?xk)??(xk?xk)?2?(xk?xk)(xk?xk)

k?1k?1k?1nnn(2)2kn于是：

(3)(3)(2)(3)2(2)2?(x(1)?(x(1)?(x(3)k?xk)(xk?xk)?k?xk)k?xk) k?1k?1nnnk?1即：

(3)2(3)(2)2(1)(3)2(3)(2)2[?(x(1)k?xk)(xk?xk)]??(xk?xk)?(xk?xk) k?1k?1k?1nnn由（1.1）式知上式成立，所以可得|P1?P2|?|P1?P3|?|P3?P2|

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例1-5.设ai,bi?R(i?1,2,,n)，则有?ai2??bi2??(ai?bi)2当且仅当

i?1i?1i?1nnnai?kbi(i?1,2,,n)时等号成立.

n2in2in证明：由（1.1）式可得?a?b??aibi，则：

i?1i?1i?1i?1?a?2?ai2?bi2??bi2??ai2?2?aibi??bi2

i?1i?1i?1i?1i?1i?1n2innnnnn所以

|?a??b|??(ai?bi)2

i?12ii?12ii?1?nnn例1-6．已知x,y,z?R,x?y?z?xyz 且不等式取值范围。 解：

111???? 恒成立，求?的x?yy?zz?x111111????? x?yy?zz?x2xy2yz2zx1zxy?(1??1??1?) 2x?y?zx?y?zx?y?z11222zxy?[(1?1?1)(??)]2 2x?y?zx?y?zx?y?z?3 2 故参数?的取值范围是??3?，????2? ??2、柯西-西瓦兹不等式在微积分中的推广与应用

2.1柯西-西瓦兹不等式在微积分中的定义

定义：设f?x?,g?x?在[a,b]上可积，则 (?baf(x)g(x)dx)2??f2(x)dx?g2(x)dx （2.1）

aabb- 9 -

f?x??0，或f?x?与g?x?成正比，则等号成立.

证明：因为f,g都在[a,b]上可积，则由定积分的性质f,f?g,g 均在[a,b]上可积，对区间[a,b]进行n等分，分点为xi?a?由定积分的定义，有

?af(x)g(x)dx?lim?f(xi)g(xi)n??i?1n2?f(xi)?f(x)dx?limn??bn22b?ai,i?0,1,2,n,n

b?a nb?a

i?1nnb?ab22 ?g(xi)?ag(x)dx?limn??i?1nba2由(?aibi)2??ai2??bi2式可知

i?1i?1i?1nnn(?f(xi)g(xi))?[?f(xi)][?g2(xi)]

i?1i?1i?1n2n2n再由极限的保号性易知（2.1）成立

若对x?[a,b],f(x)?0，或f与g成正比，则（2.1）式中等号成立，但其逆不真.

2.2柯西-西瓦兹不等式在微积分中的推广

推论1.（明可夫斯基不等式）

设f?x?,g?x?都在[a,b]上可积，则有明可夫斯基不等式

[?(f(x)?g(x))dx]?[?f(x)dx]?[?g(x)dx] （2.2） 证明： 由（2.1）式可知

12ba212ba212ba2122?f(x)g(x)dx?2|?f(x)g(x)dx|?2[?f(x)dx??g(x)dx]

bababa2ba2??af2(x)dx?2?af(x)g(x)dx??ag2(x)dx??f(x)dx?2[?f(x)dx??g(x)dx]??ag2(x)dx??(f(x)?g(x))dx?{[?f(x)dx]?[?g(x)dx]}因为两边都大于等于零，且右边大括号内也大于等于零，所以有

ba212ba212ba2bbbba2ba2ba212b

122ba2ba212ba2[?(f(x)?g(x))dx]?[?f(x)dx]?[?g(x)]

推论2： 当存在一组不全为零的k1,k2 使得k1f(x)?k2g(x)?0 时等号成立，不等式（2.1）可以改写为以下行列式形式

12?af(x)f(x)dx?ag(x)f(x)dx?f(x)g(x)dxbabb?g(x)g(x)dx- 10 -

ba?0 （2.3）

以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广

设f?x?,g?x?,h?x?均在[a,b]上可积，则有

?af(x)f(x)dx?ag(x)f(x)dx?ah(x)f(x)dx?af(x)g(x)dx?af(x)h(x)dxbbbbb?ag(x)g(x)dx?ag(x)h(x)dxbb?ah(x)g(x)dx?0 （2.4） ?ah(x)h(x)dxbb证明:注意到关于t1,t2,t3 的二次型

2?a[t1f(x)?t2g(x)?t3h(x)]dx222?t12?af2(x)dx?t22?ag(x)dx?t3?ah(x)dx?2t1t2?af(x)g(x)dx?2t1t3?af(x)h(x)dx?2t2t3?ag(x)h(x)dxbbbbbbb为非负二次型，从而其系数行列式

2?af(x)dxb?ag(x)f(x)dx?ah(x)f(x)dx2?ag(x)dxbbb?af(x)g(x)dx?af(x)h(x)dx从而得证.

推论3:设f1(x),f2(x),bbbb?ah(x)g(x)dx?0

2?ah(x)dxbb?ag(x)h(x)dxfn(x) 均在[a,b]上可积，则有

?af1(x)f1(x)dxb?af2(x)f1(x)dxbb?afn(x)f1(x)dx?afn(x)f2(x)dx?afn(x)fn(x)dxbbb

?af1(x)f2(x)dx?af2(x)f2(x)dx?af1(x)fn(x)dx?af2(x)fn(x)dxbb?0 （2.5）

2.3柯西-西瓦兹不等式在微积分中的应用

例2-1.设f?x?在[a,b]上连续，且f(x)?0,?af(x)dx?1,试证：

b(?af(x)sin?xdx)2?(?af(x)cos?xdx)2?1

证明：

2（?a（fx）sin?xdx）?(?abbbbbbf(x)?f(x)sin?xdx)2

??af(x)dx??af(x)sin2?xdx??af(x)sin2?xdx同理有：

2（?af(x)cos?xdx）??af(x)cos2?xdx bbb2则 （?af(x)sin?xdx）?(?af(x)cos?xdx)2??af(x)sin2?xdx??af(x)cos2?xdx

bbbb- 11

-

??af(x)(sin2?x?cos2?x)dx ??af(x)dx ?1

例2-2．设f?x? 在[a,b]上连续，证明：

2（?af(x)dx）?(b?a)?af2(x)dx

2证法一：把不等式中的b换成x,移项得（?af(t)dt）?(x?a)?af2(t)dt?0

xxbbbb设f(x)?(?af(t)dt)2?(x?a)?af2(t)dt,则

xxf(x)?2(?af(t)dt)f(x)??af2(t)dt?(x?a)f2(x)

???a[f(t)?f(x)]2dx?0 f?x?为单调函数，故f(b)?f(a)?0，所以

2（?af(x)dx）?(b?a)?af2(x)dx bbxxx

证法二：根据

[?af(x)g(x)dx]2??a(f(x))2dx?a(g(x))2dx(?af(x)dx)2??a12dx?af2(x)dx?(b?a)?af2(x)dx 得证.

证法一用构造辅助函数，再利用函数的单调性证明，证法二利用柯西-西瓦兹不等式证明，所以我们可以看出后者比前者简单的.

例2-3.设f?x?,g?x?均在[a,b]上可积且满足（1）f(x)?m?0（2）?ag(x)dx?0则有

bbbbbbbb

[?af(x)g(x)dx]2??af2(x)dx?ag2(x)dx?m2(b?a)?ag2(x)dx

证明：利用（2.4）式取h?x??1.并注意到 ?ag(x)dx?0，则有

b2?af(x)dxbbbbb?ag(x)f(x)dx?af(x)dx2?ag(x)dxbbb?af(x)g(x)dx?af(x)dxbbbbb0b?a

0b?(b?a)?af2(x)dx?ag2(x)dx?[?af(x)dx]2?ag2(x)dx?[b?a][?af(x)g(x)dx]2?0

b- 12 -

由此得到[?af(x)g(x)dx]??af(x)dx?ag(x)dx?bb2b2b21bb[?af(x)dx]2?ag2(x)dx b?a注意到定义中的条件（1）f(x)?m?0 ，于是[?af(x)dx]2?m2(b?a)，从而得

[?af(x)g(x)dx]2??af2(x)?ag2(x)dx?m2(b?a)?ag2(x)dx

例2-4．设f?x?在[a,b]上有连续的导数，f?a??0，试证：

'?|f(x)f(x)|dx?babbbbb?ab'2?a(f(x))dx 2''证明：令g(x)??a|f'(t)|dt (a?x?b)则g(x)?|f(x)|，由f(a)?0知

x|f(x)|?|f(x)-f(a)|?|?af'(t)dt|??a|f'(t)|dt?g(x)

因此

''?a|f(x)f(x)|dx??ag(x)g(x)dx??ag(x)dg(x)?bbbxx12bg(x)|a221b1b1bb?(?a|f'(t)|dt)2?(?a|f'(t)dt|)2??a12dx?a|f'(t)|dt 222b?ab'2??f(t)dt2a例2-5．设f?x?在[a,b]上连续，且f?x??0，证明(?af(x)dx)(?abb1dx)?(b?a)2 f(x)证明：由（2.1）式得

(?af(x)dx)(?abb1bdx)?(?af(x)f(x)?1b)2?(?adx)2?(b?a)2 f(x)例2-6.设f?x?在[0,1]上连续可微，并且f?1??f?0??1.证明:

'2?0(f(x))dx?1 1证明：由于?0[f(x)]dx??01dx??0[f(x)]dx 根据（2.1）式

2'2'2'2?01dx??0[f(x)]dx?(?01?f(x)dx)?(?0f(x)dx)?1 11111'2121'2即

'2?0(f(x))dx?1 1例2-7．设f?x?在[a,b]上具有连续可导，f?a??f?b??0，且?af2(x)dx?1 ，证明:

b- 13 -

(?a[f'(x)]2dx)(?ax2f(x)dx)?'bb1 4证明：由于f(x)??xf(x) 在[a,b]上对任何实数?都不恒等于0，否则，设有?使

f'(x)??xf(x)?0

由此可解得：f(x)?ce??x22?,再由f?a??f?b??0，得f?x??0，这与?af2(x)dx?1 矛盾。

b2bb由上知，有严格不等式(?a[f'(x)]dx)(?ax2f2(x)dx)?(?axf(x)f'(x)dx)2 而

b121b21bb'?ax?f(x)f(x)dx?[f(x)?x]|a??af(x)dx??

222从而有

(?a[f'(x)]2dx)(?ax2?f2(x)dx)?bb1 4例2-8．设f?x?在[a,b]上可微且f'(x) 连续，f?a??0,证明：

(b?a)2b'2?f(x)dx??a[f(x)]dx

2ba2证明：因为f(x)连续，且f?a??0，故f(x)??af'(x)dx,(a?x?b)

'xf2(x)?[?af'(x)dx]2??a[f'(x)]2dx??adx?(x?a)?a[f'(x)]2dx

因为[f(x)]?0,(x?a)?0，故f2(x)?(x?a)??a[f'(x)]2dx 从a到b积分得到：?af2(x)dx?(?a(x?a)dx)(?a[f'(x)]2dx)

bbb'2xxxxb(b?a)2b'2 ??a[f(x)]dx

23、柯西-西瓦兹不等式在n维欧氏空间中的推广与应用

3.1柯西-西瓦兹不等式在n维欧氏空间中的定义

定义：设在n维欧氏空间中， 是两个任意的n维向量，则 (?,?)?(?,?)(?,?)或|(?,?)|?|?||?|（3.2）

22（3.1）

证明:考虑关于变元t的一元二次方程|??t?|?0 此方程或者只有0解或者无实数解，将方程整理得：

- 14

-

|??t?|2?(??t?,??t?)?(?,?)?2t(?,?)?t2(?,?)?0

我们知道一元二次方程只有0解或者无解得条件为b?4ac?0所以得：

2[2(?,?)]2?4(?,?)(?,?)?0 即(?,?)2?(?,?)(?,?)?|?|2|?|2即|(?,?)|?|?||?|

3.2柯西-西瓦兹不等式在n维欧氏空间中的推广

柯西-西瓦兹不等式在一个欧氏空间里，对于任意的?，? 有不等式

?,?2??，??，?

当且仅当?与?线性相关时，等号成立.

这个不等式用于欧氏空间Rn中，对于任意的??(a1,a2,,an)、??(b1,b2,22?a2n)(b1?b2?,bn) 则有

(a1b1?a2b2?这是柯西不等式。 不等式

2?anbn)2?(a1?a22??b2n)

?,?2??，??，?用于欧氏空间C [a,b]中，对于任意f?x?,g?x?,C [a,b]有

bbb [?af(x)g(x)dx]2??af2(x)dx?ag2(x)dx 是西瓦兹不等式.若设

?,? C(?,?)??,?则命题可叙述为:

?,? ， ?,?设? 是一个欧氏空间，则对??，??? 有C(?,?)?0，当且仅当?与? 线性相关时，等号成立.

下面将此命题推广得：

设? 是一个欧氏空间，|?1,?2,?,?n|是?的任意一个向量组，则|?1,?2,,?n| 的行列式

C(?1?2?n)??1,?1?2,?1?n,?1?1,?2?2,?2?n,?2?1,?n?2,?n?n,?n?0

当且仅当|?1,?2,,?n| 线性相关时，等号成立.

,?n|线性相关，则存在不全为0的数x1,x2,,xn 使

证明：设|?1,?2,- 15 -

x1?1?x2?2?因为

?xn?n?0

?i,0?0(i?1,2,,n)，即

?x1?1,?1?x2?1,?2???x1?2,?1?x2?2,?2????x1?n,?1?x2?n,?2???xn?1,?n?0?xn?2,?n?0?xn?n,?n?0xn 不全为零，即上式有非零解

是以x1,,xn 为未知量的齐次线性方程组.因为x1x2（?1?2所以C若{?1?2?n）?0

?n}线性无关，由{?1，?2，，?n}可得出? 的正交组 且

（?1?2?n）?(?1?2?n)T，其中

??1???0?T????0????0?2?1?1?110?3?1?1?1?3?2?2?21?n?2???2?2??n?1???1?1?00? ?n?3??3?3????1?显然|T|?1 ，所以T可逆，于是向量组{?1?2?n} 与{?1?2?n} 等价，它们生成相同的子空

（?1?2间W??{x1,x2,?n）??(?1?2?n)

?n} 是W的正交基

,xn}是W的基，{?1?2?1?1?C（?1?20?n）?00?2?2000???i,?i?0

i?1n?n?n??，??W，可设

??x1?1?x2?2??xn?n,??x1'?1?x2'?2??xn'?n

??y1?1?y2?2??yn?n,??y1'?1?y2'?2??yn'?n由坐标变换公式

- 16 -

?x1'??x1??y1'??y1?????????x'xy'?2??T?2? ?2??T?y2? ????????????????x'xy'?n??n??n??yn??y1???yxn）A?2? ?,??(x1'x2'?????yn???1?1?0 B????????0?n?n???，??（x1x2?y1'???y'xn')B?2?

?????yn'???? ???n?n??00??1?1??2?1其中 A????????n1?1?2?2?2?n?2?1?n???2?n?0?2?20则 （x1'x2'?y1'???y2'??xn'）B?(x1x2?????yn'??y1???y2?? xn)T'BT?????yn??x1???xxn）A?2?

?????xn? ?（x1x2由于?，??W 的任意性，知A?T'BT，所以

C（?1?2?n）?|A|?|T'BT|?|T'||B||T|?|B|

?C(?1?2?n)?0

应用于欧氏空间C[a,b] 中，可以使一些较复杂的不等式的证明显得十分简单。

3.3柯西-西瓦兹不等式在欧氏空间中的应用

a?a2?例3-1．证明：1n证明：取??(a1,a2,?ana?a2??1n22?a2n ,an),??(1,1,(a1?a2?,1)由柯西西瓦兹不等式易知

?an)2?|(?,?)|2?|?|2|?|2

?(1?1?2?1)(a1?a22??a2n)

- 17

-

整理得：

a1?a2?n例3-2．若ai(i?1,2,?ana?a2??1nn22?a2n ,n)都是正数，又?ai?k（常数）求证：

i?1a1a2??k?a1k?a2证明：设??(k?a1,k?a2,根据不等式（3.2）得：

22kan?? k?ann?12,k?an),??(a1a2,,k?a1k?a2,ank?an)

|a1?a2?a1a2?an|?nk?k??k?a1k?a22222an?即： k?an22a1a|k|?(n?1)k?2?k?a1k?a2两边平方就可得：

222an? k?ana1a2??k?a1k?a2?例3-3．已知:xi?R(i?1,2,kan?? k?ann?1,n) 求证:

i?1?nxi2xi??xjj?i,j?1n?n n?1证明：构造向量

??(12x1??xjj?2nn,,12xn??xjj?1n?1)

??(2x1??xj,j?2,2xn??xj)j?1n所以

（?，?）?12x1??xjj?2nn??12xn??xjj?1n?1

(?,?)?(n?1)?xjj?1

(?，?)?1?1?根据（3.1）式得：

?1?n- 18

-

i?1?nxj2xi??xjj?i,j?1n?n n?1例3-4．设a,b,c?R且abc?c,求证：

?1113???

a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)2证明：构造向量

??(1a(b?c)3,1b(a?c)3,13c(a?b)

)??(a(b?c),b(a?c),c(b?a))可得：

(?,?)?111??

a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)(?,?)?2(ab?bc?ca)

111(?,?)???abc 根据（3.1）式可得：

1113??? 333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2例3-5．平面Ax?By?Cz?D?0，(A?B?C?0)点M(x0,y0,z0)式平面外一点。 求证：点M(x0,y0,z0) 到平面Ax?By?Cz?D?0的距离是222|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222 （x?x0,y?y0,z?z0）证明：设P(x,y,z)为平面上的任一点，构造向量??，?? （A,B,C）可得：

222??（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）

|?|?A2?B2?Z2 |(?,?)|?|A(x-x)?B(y-y0)?C(z-z0)| 根据（3.2）式，则有

222（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222 - 19

-

由于平面上任意一点与定点之间的最短距离就是点到平面的距离，因而点M(x0,y0,z0) 到平面

Ax?By?Cz?D?0的距离为

|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C例3-6.已知xi?0(i?1,2,222

,n),?xi?1, 求证：

i?1i?1n）xi?1?n(2n?1). ?（n?1n证明：构造向量??（（n?1）x1?1,(n?1)x2?1,可得：

,(n?1)xn?1）,??(1,1,12,1)

|?|?[(n?1)x1?1?(n?1)x2?1??(n?1)xn?1]

） ?（n?1?xi?n i?1n ?2n?1 n|?|?n （?,?）??（n?1）xi?1

i?1根据（3.2）式可得：

i?1）xi?1?n(2n?1) ?（n?1222n例3-7.已知x?y?z?1， 求f(x,y,z)?2x?3y?z 的最小值.

（解：构造向量??可得：

11（2x,3y,z），，1） ??

23|?|?1111222??1? |?|?2x?3y?z 236（?,?）?根据（3.2）式得：

11?（2x）??(3y)?1?z?x?y?z?1 23111?（??1）?（2x2?3y2?z2）

23则

f(x,y,z)?2x2?3y2?z2?11 6- 20 -

即f(x,y,z)?2x?3y?z 的最小值为

22211. 64、柯西-西瓦兹不等式在概率空间中的推广与应用

4.1柯西-西瓦兹不等式在概率空间中的定义

定义：取r为概率空间，对任意属于r的随机变量?与? 都有

|E(??)|?E(?)E(?) （4.1） 等号成立的充要条件是P(??t0?)?1，t0是某一常数。

证明：对任意实数t，定义u(t)??(t???)?t???2t??????显然对于一切t，u(t)?0，因此二次方程u(t)?0或者没有实数根或者只有一个重根。 所以[???]??????0 方程 有一个重根t0存在的充要条件是

2222222222[???]2???2??2?0

2这时?(t???)?0 因此P{t0????0}?1 即 P{??t0?}?1。

4.2柯西-西瓦兹不等式在概率空间中的推广

推广 Chung-Erdos 不等式： P(ni?1Ai)?(?P(Ai))2i?1i?1n?P(Ai)?2?P(AiAj)1?i?j?nn （4.2）

证明：定义随机变量Xk(?),??? Xk(?)??则

?0若??Ai

1若??Ai??Xn)2

22?P(AiAj)??(X1?1?i?j?n2?Xn)2??(X1?由柯西-西瓦兹不等式得

(?(X1??Xn))2?P(X1??Xn?0)?(X1??Xn?0)?P(ni?1?Xn)2

Ai)，所以得证（4.2）式.

根据定义，又有?Xi??Xi2?P(Ai) P(X1?

4.3柯西-西瓦兹不等式在概率空间中的应用

- 21 -

例4-1．若ai(i?1,2,,n)都是数，又?ai?k （常数）.求证：

i?1na1a2??k?a1k?a222kan?? k?ann?121证明：设随机变量? 的分布律为：P{??ai}?(i?1,2,n1nk,n)则?(?)??ai?取

ni?1n2k2x2\?0 f(x)?,x?(0,k)则f(x)?3(k?x)k?xk1n知f(x)为凹函数，于是f[?(?)]?E[f(?)] 即f()??f(ai)

nni?1所以

k222n2?1(a1?a2?knk?a1k?a2k?n化简就可得：

an ?)k?an2a1a2??k?a1k?a2例4-2．设0?ai?1(i?1,2,是a1?a2?n22kan?? k?ann?1aikn?，且等号成立的充要条件

i?11?an?kin2,n)，?ai?k ，则?i?1?an

nn1?(1?a)nai1i?????n 证明：因为?i?11?ai?1i?11?a1?aiiin1?ai11nkn2所以所证不等式等价于? 即?12， ?n，由于0??n???i?11?aii?11?an?kn?kn?kin?kn且?1?ai?1。所以，可设二维离散型随机变量?，?的联合概率分布为

i?1n?kn1?ai?P(??xi,??yi)??n?k???P(??xi,??yi)?0,(i?j)i?1,2,,n,j?1,2,1?aj1?ai,P则?，? 的边际概率分布为 P ?(??xi)??(??yj)?n?kn?k

,n- 22

-

令xi?1,y?1 则 1?aiin?k1?ai1?1??ni?11?ain?kn?kn1?ain112?(?)?????

i?11?ai2n?ki?11?ai()n?kn?kn1?ai?(?2)??1??1i?1n?k?(??)??n由不等式|?(?,?)|?????? 而得n??2222n?kn?k1??且等号当且仅当

i?11?ai1?a11?a2n?kn?n?k， 1?an即a1?a2??an时才成立.原不等式得证.

b例4-3．若f?x?是[a,b]上正值连续函数，r?0,g?x??0且 ?ag(x)dx?1，则

exp?g(x)lnf(x)dx?[?g(x)f(x)dx]

证明：设随机变量? 的概率分布F(x)及概率密度函数p(x)分别为

baba1ro,x?a??g(x),x?[a,b]?b F(x)???ag(x)dx,a?x?b,p(x)??0,x?[a,b]??1,x?b?则

：

??b?f'(?????fxpxdx??afxgxdx?f???????fxpxdx?r?abfxgxdx )因为?(x)?lnx 是(0,??) 上凸函数，由f[?(?)]??[f(?)] 可知

??(f(?))??(?f(?))

因此

r?alnf(x)g(x)dx?ln?af(x)g(x)dx

所以

1rbbexp?g(x)lnf(x)dx?[?g(x)f(x)dx]成立.

baba1n1n21,2,,n，则?ai?(?ai)2且等号成立的充要条件a1?a2?例4-4．设ai?0,i?1ni?1ni?1?an

- 23

-

证明：设二维离散型随机变量 ??,??的联合概率分布为

1?P(??xi,??yi)??n???P(??xi,??yi)?0，（i?j）i?1,2,则?,? 的边际概率分布分别为P?(??xi)?令xi?ai?0,yi?1，有

,

,n,j?1,2,,n11 ,P(??y)??inn11n?????ai???aii?1nni?1n1n2221????ai???ai i?1nni?1n12????yi??1i?1nnaa1n21n2由不等式（4.1）有(?ai)??ai 且等号成立的充要条件是1?2?ni?1ni?1121n1n21开方得?ai?(?ai)2 且等号成立的充要条件是：a1?a2?ni?1ni?1,i?1,2,,例4-5．设ai?0?an

?an n1nnn，则?ai?n，且等号成立的充要条件是a1?a2?1ni?1?i?1a1?an。

证明：设二维离散型随机变量??,??的联合概率分布为

1?P(??xi,??yi)??n???P(??xi,??yi)?0，（i?j）i?1,2,则?,?的边际概率分布分别为P?(??xi)?n,

,n,j?1,2,,n111令，有 ,P(??y)?x?a,y??iiiinnai11??1ain2?????ai?i?1n211n??ai

i?1nni?1n1211n1??2??()???i?1nni?1aiai????(ai)?- 24

-

1n1n1由不等式（4.1）有1?(?ai)(?) 且不等式等号成立的充要条件是：

ni?1ni?1aia1a2??11a1a21nn即?ai? 且等号成立当且仅当a1?a2?n1ni?1?i?1a1?an 1an?an

2,b,b,,bn为任意实数，则例4-6．设a1,a2,,an（?aibi）?(?ai2)(?bi2)且等号成立当且仅12i?1i?1i?nnn当bi?0 或者存在常数L使ai?Lbi(i?1,2, 证明 若b1,b2,若b1,b2,,n)

,bn 均为0，则等式显然成立.

,bn 不全为0时， 设二维离散型随机变量 ?，?的联合概率分布为

1?P(??x,??y)??iin???P(??xi,??yi)?0，（i?j）i?1,2,则?，? 的边际概率分布分别为P?(??xi)?n,

,n,j?1,2,,n11，令xi?ai,yi?bi 有 ,P(??y)??inn11n??aibii?1nni?1n11n??2??ai2???ai2

i?1nni?1n11n??2??bi2???bi2i?1nni?1?????aibi?aa1n1n21n22由不等式（4.1）得有(?aibi)?(?ai)(?bi) 且等号成立当且仅当 1?2?b1b2ni?1ni?1ni?1?an即bn[?aibi]?(?a)(?bi2) 其等号成立当且仅当ai?Lbi,i?1,2,i?1i?1i?1n2n2in,n ，总之，所证不等式等号成

,n）。

立的充要条件是b1?b2??bn?0 或存在常数L使ai?Lbi（,i?1,2,例4-7．设0?ai?1,i?1,2,,n,?ai?a，则?i?1naian?, 且等号成立的充要条件是

i?11?an?aina1?a2??an

- 25 -

n1?(1?a)nai1i?????n 故所证不等式等价于 证明：注意到?i?11?ai?1i?11?a1?aiiin1nan2 ?n???i?11?an?an?ain即

1?n2

i?11?ain?a?nn1?a1?aii由于0??1 且??1 ，可设二维离散型随机变量?，? 的联合概率分布为

i?1n?an?a1?ai?P（??x,??y）??iin?a???P(??xi,??yi)?0,(i?j),i?1,2,,n,j?1,2,则?，? 的边际概率分布分别为p?(??xi)?

,n1?ai1?ai1，p?(??yi)?，令xi?,yi?1有

1?an?an?ain?a1?ai1?1??n1?ai?1n?ain?an1?ain11E?2?????

1?a1?ai?1i?1i2n?ai()n?an?an1?ai2E???1??11i?1n?aE????n由不等式（4.1）有n??2n?an?a1??,且等号成立的充要条件是

1?ai?11?a11?a2in?an?n?a ,即 1?ana1?a2??an

结论：柯西-西瓦兹不等式有着许多不同的形式，本文总结了它的四种形式，并给出其相应得定义。

对每一种形式给出了相应的推广与应用。文章第一大部分给出了柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广与应用，由于在实数域中柯西-西瓦兹不等式的应用非常广泛，因此，我们通过他的三种证明方法，来加深对其的理解。在实数域中我们对柯西-西瓦兹不等式做了基本的变形推广；将其中的幂指数扩充，得到赫尔德不等式；导出了其级数的无穷不等式等。文章的第二大部分给出了柯西-西瓦兹不等式在微积分中的形式，并对其推广和应用，我们由其推导出的明可夫斯基不等式，对其微积分中的形式变形得到行列式的形式，并进行推广。文章第三大部分给出了柯西-西瓦兹不等式在欧氏空间中的形式，在对其推广的过程中由其在微积分可改写成行列式形式中得到启发也把其改写成行列式的形式，应对其进行推广。文章第四大部分给出了柯西-西瓦兹不等式在概率空间中的形式，并对其推广得到Chung-Erdos不等式。

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我们通过一些例题说明柯西-西瓦兹不等式和其推广在实际问题中的应用。柯西-西瓦兹不等式不同的形式之间是相通的，对于同一个例题我们可以应用它的不同形式来解答。例如：例1-2，3-2，4-1它们是同一道题我们应用柯西-西瓦兹不等式的三种形式都能很好的对其解答。对有些题目我们应用柯西-西瓦兹不等式能非常简单、快速的得到答案，而应用其他方法解题却十分复杂，如：例2-2我们先用一般的构造辅助函数，再利用函数的单调性证明的方法解答比较复杂。而我们应用柯西-西瓦兹不等式解则十分简单。

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