课题：1742反比例函数的图象和性质

课题：17．4．2反比例函数的图象和性质

上课教师： 晋江市英墩中学 李玉琼 上课班级：晋江市英墩中学初二（5）班 上课时间：2014年3月26日第2节

一、教材背景分析

反比例函数，是学生继一次函数学习之后所接触又一类新的函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，以及函数、方程、不等式间关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。

二、学生情况分析

初二年级的学生已经具有一定的观察、分析和归纳能力，因此这节课我们以学生为主体，引导学生从函数的意义、自变量的取值范围等方面辨明相应的差别。本章前部分已经学习过一次函数了，但对函数这部分内容还不是十分熟练 . 对学生而言仍有一定难度，本节课的难点将会是对反比例函数性质的探索与理解.因而教学过程中充分渗透数形结合思想，结合图形突破难点. 对于所设置的问题为学生所熟悉，尽量贴近学生思维的最近发展区域，让学生感受到亲切、自然．

新课程标准指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。 三、 教学目标 1．知识与技能

（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。

（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提 升学生对数形结合思想的认识。

2．过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征． 3．情感、态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．

教学重点难点

重点：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质． 难点：反比例函数图象的特征及对反比例函数性质的理解。

三、教学过程

复习旧知，导入新课

我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 （一条直线） 那你知道反比例函数 y=

k (k≠0)的图象是什么样子呢？它又有什么性质呢？ x这就是我们这节课探讨的两个主要问题。-反比例函数的图象和性质

活动1：动手操作，探索反比例函数的图象 让学生在学案上画出函数y=和y=- 的图象.

6x6x

教师提示:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法? 描点法 用描点法画函数的图象，它的有那几步？列表-描点-连线

用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些? 注意：①x≠0②列表时自变量取值要均匀和对称 ③选整数较好计算和描点

（1）列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y 的对应值表:

x … -6 -4 -3 -2 -1 … 1 2 3 4 6 …

… … … 6y= x … … 6… y=- x (2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标 系中描出相应的点(-6,-1),(-3,-2),(-2,-3)等. (3)连线:用光滑曲线将各点按自变量从小到大的

顺序依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:

在学生作图的过程中，教师要不断巡视，发现问题及时纠正。并把已完成的图象投影在黑板上，供其他同学借鉴。

【设计意图】这是突破本节重难点的第一个环节。让学生描点画出函数图象，关注学生画图的步骤，及每个细节。培养学生的动手能力。也为以后画其他函数打下基础。

y654321-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6y=6x123456x师：通过作图我们发现反比例函数的图象是由两条曲线共同组成的，这种图象叫做双曲线

师：利用几何画板展示：画图的常见错误。 活动2：让学生根据所画的图象讨论以下问题：

（1） 当函数图象的两分支无限延伸时，图象可能与坐标轴相交吗？为什么？

【设计意图】通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，培养了学生思维的灵活性和深刻性。

（2）反比例函数y=（k?0） 图象分布在哪两个象限是由什么确定?如何确定？ （3） 对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?? y的值随着x的增大将怎样变化? ； （4） 对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?? y的值随着x的增大将怎样变化? 学生讨论后，由学生代表回答，教师作适当的补充。

【设计意图】通过学生对问题（2）、（3）、（4)的探索、交流、归纳，概括出反比例函数的性质。这也是本节课的重难点。要让学生多观察图形，充分感受数形结合的思想。

kx6x6x教师利用几何画板展示点的运动情况来说明以上的（3）、（4）问。

【活动3】总结：反比例函数y=

k（k?0）的图象与性质 xy=k（k?0） xk＞0 k＜0

所在象限 每个象限内曲线的变化 一、三 从左向右下降 二、四 从左向右上升 趋势 图象 每个象限内y随x的变化 情况 【设计意图】通过学生经历对反比例函数的探索，开动脑筋，发现规律。既梳理了学生的思维，又极大的活跃了课堂气氛，使学生在轻松愉快的探索、交流、合作过程中，自然而然的掌握了反比例函数的图 活动4：应用拓展，加深对反比例函数性质的理解

每个象限内y随x?的增加而减小 每个象限内y随x的增加而增大 练习：

1、下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）

2、已知反比例函数y?（k?0)的图象如图所示，则k 0，在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 3、反比例函数y?4、 函数 y?kxk（k?0)的图象经过（-2，1），则它的图象在 象限，k 0。 x1的图象在第________象限,当x＜0时，图象在 象限，y 随x 的增大而_________. xm?35、已知反比例函数y?。（1）若图象在一、三象限，则m x（2）若在每个象限内y随x的增大而增大，则m

6． 已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(-1,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列.

生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流. 师:展示课件：给出几种不同的解答方法。

变式：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列.

【设计意图】这几个练习由浅入深、由易到难，使学生进一步巩固和理解反比例函数的图象及性质。根据学生所做情况，发现问题，及时纠正。

2x2x活动5.归纳小结

今天这节课我们学习了什么？你有何收获？你印象最深的是什么？

活动6．作业

1、必做题K59习题第3、题

2、选做题：比较正比例函数与反比例函数的图象和性质

函数 正比例函数 反比例函数

解析式 图象形状 K>0 K<0 位置 性质 位置 性质 3、探索题：

①在反比例函数

图象上y=

6任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s1，x过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s2，那么s1与s2 有什么数量关系？为什么？

②反比例函数的图象双曲线有对称性吗？

课题：17．4．2反比例函数的图象和性质

上课教师： 晋江市英墩中学 李玉琼 上课班级：晋江市英墩中学初二（5）班 上课时间：2014年3月26日第2节

一、教材背景分析

反比例函数，是学生继一次函数学习之后所接触又一类新的函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，以及函数、方程、不等式间关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。

二、学生情况分析

初二年级的学生已经具有一定的观察、分析和归纳能力，因此这节课我们以学生为主体，引导学生从函数的意义、自变量的取值范围等方面辨明相应的差别。本章前部分已经学习过一次函数了，但对函数这部分内容还不是十分熟练 . 对学生而言仍有一定难度，本节课的难点将会是对反比例函数性质的探索与理解.因而教学过程中充分渗透数形结合思想，结合图形突破难点. 对于所设置的问题为学生所熟悉，尽量贴近学生思维的最近发展区域，让学生感受到亲切、自然．

新课程标准指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。

三、教学目标

1．知识与技能

（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象 纳概括出反比例函数的性质。

（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提 升学生对数形结合思想的认识。 2．过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。

3．情感、态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。

四、教学重点、难点

重点是反比例函数的图象及图像的性质；

难点是由于反比例函数的图像分成两支，给画图带来了复杂性，因此反比例函数的图象特点及性质

的探究是难点。

五、教学准备

多媒体，学案。

六、教学过程

教学教师活动 环节 创 这就是本节课我们要探究的两个主要问题。 设 情 景 以 旧 探 新 同学们还记得作函数图象的步骤吗？ 尝试 发 现 探 索 新知 下面请同学们在学案上试着作出反比例函数y=6/x的图象。 教师示范 （多媒体演示正确画法：列表、描点、连线） （多媒体展示几种常见错误） 议一议 当图象的两个分支无限延伸时可能与坐标轴相交吗？为什么？与同伴进行交流。 引导学生从解析式y=创设情景，复习旧知 （ 请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？它又有什么性质呢？ y=6x，y是x的正比例函数。 经过原点的一条直线。通过对正比例函数及其图象的复习，学生活动 设计说明 过原点（0，0）和（1，为引入反比例函数6）两点作一条直线，就是它的图象。 xy=6，y=6/x，y是x的反比例函数。 同学们思考、猜想。 列表，描点，连线。 学生动手画图。 思考、交流、回答。 的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。 这是突破本节重难点的第一个环节。让学生描点画出函数图象，关注学生画图的步骤，及每个细节。培养学生的动手能力。也为以后画其他函数打下基础。 通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，6中自变量x?0，得x出y?0，所以图象不可能与坐标轴相交。

培养了学生思维的灵活性和深刻性。 做一做 请同学们动手用同样的方法作反比例函数y=-6/x的图象。 （教师作出y=-6/x的图象，让学生对照参考） 想一想 上面是函数y=6/x和y=-6/x的图象，请大家对比 尝 （根据学生回答情况，引导归纳出：1、反比例试 函数y=k/x的图象是由两支曲线组成的，并指出发 这两支曲线称为双曲线。2、反比例函数y=6/x现 的图象位于第一、三象限内，而y=-6/x的图象位 探 索 新 知 于第二、四象限内） 应用拓展，加深理解 提出问题：同学们再仔细观察、思考一下，每个函数的图象，是否为对称图形？ （多媒体动画演示：反比例函数的轴对称性和中心对称性） 感悟、思考。 着探索他们的异同点？ 观察回答。 步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。 多媒体演示，既增强了直观性，同时也使同学们从中感悟图形美。 看一看，找一找 （多媒体展示：画任意反比例函数图象） 观察反比例函数 观察分析，合作交流，分组 学生独立完成。 巩固作图步骤 通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初y=2/x,y=4/x,y=6/x,y=-2/x,y=-4/x,y=-6/x的图象：

师 生 互 动 层 层 深 入 （1）你能发现什么共同特征吗？ 函数图象分别位于哪几个象限内？是由什么决定？ （多媒体展示：动画演示） 讨论。 通过学生对问题（1）、（2）、（3)的探索、交流、归纳，概括出反比例函数的性质。这也是本节课的重难点。要让学生多观察图形，充分感受数形结合的思想。 通过学生经历对反比例函数的探索，开动脑筋，发现规律。既梳理了学生的思维，又极大的活跃了课堂气氛，使学生在轻松愉快的探索、交流、合作过程中，自然而然的掌握了反比例函数的图

6(2)对于反比例函数y= ,其图象在每个x象限内从左到右是上升的还是下降的??y的 值随着x的变化将怎样变化? (3)对于反比例函数y=-6,其图象在每个象限内x 从左到右是上升的还是下降的??y的值随着x的变 化将怎样变化? 小 组代表发想一想，试一试 通过对以上问题的探讨，你能总结出反比例函数y=k/x（k≠0）的图象都有哪些性质吗？ （板书反比例函数的性质） 反比例函数y=k/x，当k>0时，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值x值的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。 言。 强 化 新 知 随堂练习，反馈评价 （多媒体出示习题） 这几个练习由浅入深、由易到难，使学生（1）下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ） 动手练习。 （2）已知反比例函数y? 进一步巩固和理解反比例函数的图象及性质。根据学生所做情况，发现问题，及时纠正。 k（k?0)x 的图象如图所示，则k 0， 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. k（3）反比例函数y?（k?0)的图象经过（-2，1）， x

巩 固 提 高 则它的图象在 象限，k 0。 （4） 函数 y? 变式训练的设计，从不同的角度对本节课的知识进行巩固，使学生能举一反三、触类旁通。 x＜0时，图象在 象限，y 随x 的增大而_________. m?3 （5）已知反比例函数y?。（1）若图象在一、三x 象限，则m （2）若在每个象限内y随x的增大而增大，则m 例：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1，c在双曲线1的图象在第________象限,当 xy=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排 x列. （多媒体出示答案） 2变式：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1,c)在双曲线y=-上,x让学生尝试请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列. 用多种方法比较 反 思 小 结 函 数 系 统 升 华 图象的位置 k<0时,在二、四象限 k<0时,在二、四象限 图 象 解析式 自变量取值范围 y=kx(k≠0) 全体实数 k>0时,在一、三象限 y=k/x(k≠0) x≠0的一切实数 k>0时,在一、三象限 正比例函数 反比例函数 照表格。 （多媒体展示表格） 正比例函数与反比例函数的对比 学生自主总结，畅谈体会和收获： 今天这节课我们学习了什么？你有何收获？你印象最深的是什么？你能比较正比例函数与反比例函数的异同吗？ 学生围绕自身感触最大的方面畅谈体会，以获得2 以此促进师生心灵的交流，对自己清醒的认识和总结，结合学生所述，教师给予指导，对学生的发言及时鼓励；情感、态度、必然促进自主同时用多媒体展示出正比例函数和反比例函数的系统对价值观的升华。 观察、理解、记忆。 学习，获得可持续发展的动力。 通过对比使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，有利于理解、

k>0时,y随x增大而增大 性 质 k<0时,y随x增大而减小 k>0时,y随x增大而减小 k<0时,y随x增大而增大 记忆和应用。 布 置 作 业 应 用 新 知 1、必做题K59习题第3题 2、选做题：若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为课后有选择________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大_________. 的完成 分层布置作业，一是必做题，促进知识的巩固；二是选做题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生6任取两点P、xQ，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与 S2有什么关系？为什么？ 3、探索题：在反比例函数图象上y= 的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。

九、教学后记

本节课通过学生自主探索、合作交流，以认知规律为主线，以发展能力为目标，以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态度，促进良好的数学观的形成。

在教学手段上，本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料，又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课堂容量。生动形象的动画演示，动感强、直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法。

在教学过程中，采用开放性的课堂研究形式，给学生广阔的思维空间，培养学生自己发现问题、解决问题的能力，特别是课堂上的变式训练，更激发了学生对学习的挑战意识。

教师始终是学生学习的引导者，学生是以研究者、探索者的角色出现在教学过程中，主体地位得到充分体现，这样使得教学过程成为一个再发现、再创造的认识过程。古人云：“授人鱼，不如授人以渔”因此在教学设计中重视学法渗透，自然地把学习方法结合知识传授给学生，让同学们明白，在数学王国里，成功和机遇永远属于那些勤于思考、勇于探索的人。

《反比例函数的图象和性质》的教学设计

英墩中学 李玉琼

教学任务 教学内容 教学目标 知识技能 数学思考 解决问题 情感态度 教学重点 教学难点 活动流程图 活动1，创设情境，引入课题 活动2，类比联想，探究交流 活动3，探究比较，发现规律 八年级下册17.4.2反比例函数的图象和性质 能用描点法画反比例函数图象，理解反比例函数的性质 通过观察反比例函数的图象，分析，探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳能力，体会数形结合与分类讨论的思想。 会画反比例函数的图象，能根据图象探究反比例函数的性质。 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣 反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质． 反比例函数图象的特征及对反比例函数性质的理解。 教学流程 活动内容和目的 通过实际问题，回顾正比例函数的图象和性质，引入课题 师生互动，画出反比例函数的图形。 归纳比较，探究反比例函数的性质。

活动4，运用新知，拓展训练 活动5，归纳总结，布置作业 教学过程设计 问题与情境 活动1，（1）通过实际问题，回顾正比例函数的解析式、图象和性质 （2）回忆画函数图形的方法和步骤。 活动2，（1）画出反比例函数y=拓展训练，巩固反比例函数的性质。 回顾学习内容，增强学生的学习热情。 师生行为 设计意图 教师提出问题，根据学生的回答情况进行完善和补通过创设问题情境，引导学生类比学充。 习正比例函数的图象和性质方法，积 极参与本节课的学习 学生对画函数图象的步骤掌握情况：列表、描点、连线。 师生互动，探索画反比例函数的图象。教师示范画y=66和y=-xx66的图象，再让学生画y=-的图象。 xx的图象。 （2）比较反比例函数y=y=-6和x6的图象x有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 活动3，先让学生动手旋转图形和翻折图形，再对K的值进行分类讨论，看K的值对图形的分布情况及Y随X的变化影响。 教师在示范画图时应重点关注：（1）学生列表时是否注意自变量的取值使函数有意义，同时自变量的取值应有一定的代表性，不能使函数值太大或太小，以便于描点和反应函数图象特征。 （2）连线时应按自变量从小到大的顺序用平滑的曲线连接。 （3）学生是否注意到图象的两个分支是断开的，无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 教师将两个函数图象置于同一坐标系中再提出问题。 学生观察思考再回答问题。 教师应注意学生是否能用语言来表达图象的特征。 这是突破本节重难点的第一个环节。让学生描点画出函数图象，关注学生画图的步骤，及每个细节。培养学生的动手能力。也为以后画其他函数打下基础。 学生通过观察比较总结出两个反比函数的图象的共同特征，以及在平面坐标系中的位置。在活动中加强引导，放手让学生去观察，归纳，总结，实现学生自主参与的目的。 学生讨论后得出反比例函数的性质： 通过对每个函数图象的位置与K的k符号的关系的讨论得出性质。有利于（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是学生加深对性质的理解。使学生经历x双曲线．即是中心对称图形又是轴对称图形。 从特殊到一般的过程，体验知识的形（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第成过程，从而激发学生的求知欲。 三象限，在每个象限内，y?值随x值的增大而减小． 学生借助函数图象，利用分类讨论的（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第思想，理解函数的增减性。并强调反四象限，在每个象限内，y?值随x值的增大而增大． 比例函数的增减性只能在同一个象在活动中教师应关注： 限内讨论，而且由K的符号决定。 （1） 学生对反比函数图象的认识和理解。 （2） 学生是否通过观察，比较，讨论得出图象所在的象限是由K的符号决定，能否由K的符号说出图象所在的象限。 教师提出问题 练习： （1）下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ） 例题既有巩固反比例函数的性质，又有培养学生的发散思维。 通过变式练习巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质。 活动4，例题讲解 练习 （1）强化基础 （2）拓展训练

（2）已知反比例函数y?kx（k?0)的图象如图所示，则k 0， 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 熟悉反比例函数的图象和性质，能区分反比例函数、一次函数、二次函数的图象。 进一步体验数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比函数的理解。 k（k?0)的图象经过（-2，1），x则它的图象在 象限，k 0。 14、 函数 y?的图象在第________象限,当x＜0x3、反比例函数y?时，图象在 象限，y 随x 的增大而_________. 5、已知反比例函数y?三象限，则m （2）若在每个象限内y随x的增大而增大，则m 6、长方形的面积为6，一边长y是另一边长x函数，则这个函数的图象大致是（ ） m?3。（1）若图象在一、x例：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1，c在双曲线y=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列. 让学生尝试用多种方法比较 变式：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1,c)在双曲线y=-2x2x使学生全面理解反比例函数的图象和性质。 分层布置作业，一是必做题，促进知识的巩固；二是选做题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。 上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列. 活动5，归纳总结 本节课我们学习了什么知识？你有什么收获？在用的时候要注意什么？ 教师提出问题。 学生整理回顾。 师生共同总结。 作业： 1、必做题K59习题第3、4题 2、选做题：若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大_________. 3、探索题：在反比例函数y=6图象上任取两点P、xQ，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围

成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与 S2有什么关系？为什么？ 17.4.2反比例函数的图象和性质（1）学案

学习内容： 教材P56－58

学习目标：1、会用描点法画反比例函数的图象 2、结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3、体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 学习重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质

学习难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 学习过程：

【活动1】用描点法画图象的步骤是__________、__________、__________ 【活动2】尝试用描点法来画出反比例函数的图象．

画出函数y=解：列表

6 的图象. x2 3 4 5 6

x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 y= … … 6x… 完成图象后讨论：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？图象可能与坐标轴相交吗？为什么？与同伴进行交流。

（1） （2） （3） （4）

独自完成画出函数y=-的图象.

6x x y=- … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 … 2 3 4 5 6 … … 6x

上面是函数y=6/x和y=-6/x的图象，请大家对比着探索他们的异同点？

共同点： 不同点：

活动3：师生共同探讨反比例函数的性质

1、思考：反比例函数图象的两条曲线之间有什么样的位置关系？

请同学们用透明纸放在课本57页的17.4.2该函数图象上复制这个图象,并用笔尖固定在坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?如果将复制好的

图象再对折，你还能发现什么？

2、请同学们思考下列问题.

（1）反比例函数y=

k（k?0） 图象在哪两个象限是由什么确定? x6x如何确定？ (2)对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的??y的值随着x的变化将怎样变化? (3)对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的??y的值随着x的变化将怎样变化?

总结：反比例函数y=

6xk（k?0）的图象与性质 xy=k（k?0） x所在象限 k＞0 k＜0 图象 每个象限内曲线的变化趋势 每个象限内y随x的变化情况 对称性 活动4：性质的灵活运用。 练习 巩固：（ 1）下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）

2、已知反比例函数y?k（k?0)的图象如图所示，则k 0， x在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 3、反比例函数y?4、 函数 y?k（k?0)的图象经过（-2，1），则它的图象在 象限，k 0。 x1的图象在第________象限,当x＜0时，图象在 象限，y 随x 的增大而_________. xm?35、已知反比例函数y?。（1）若图象在一、三象限，则m x（2）若在每个象限内y随x的增大而增大，则m

6、长方形的面积为6，一边长y是另一边长x函数，则这个函数的图象大致是（ ）

例：已

2x知点A(-3,a)、

B(-2,b)、C(-1,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列.

变式：已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(1,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c?按从小到大的顺序进行排列.

活动5.归纳小结

正比例函数与反比例函数的对比

函数 解析式 图象形状 K>0 K<0 位置 性质 位置 性质 正比例函数 反比例函数 2x作业： 1、必做题K59习题第3题

2、选做题：若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大_________.

6任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与x坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为

3、探索题：在反比例函数图象上y=

S2，那么S1与 S2有什么关系？为什么？

教学反思

一、关于数形结合的处理

在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下三个方面。

第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。

第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。

第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。

二、关于教学效果的反思

在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，也可以通过观察所画出的反比例函数的图象，得出其图象的“特征”和函数的“性质”。

然而，由于学生刚刚接触反比例函数的图象，图象的外在形式（双曲线）与一次函数的图象（直线）之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数（增或减）的性质，比较反比例函数的两个函数值的

大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。

此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应。事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的反比例函数“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰。

三、关于教学设计的改进

基于上述思考，以及研究课后课题组成员的研讨，我们认为在教学设计中，还存在两处需要改进的地方。

（一）应强调“回归”解析式的必要性

在本课题的教学中，我们通过“画出”图形，使反比例函数解析式表示的函数关系直观化，更易于学生通过观察，得出函数图象的“特征”及函数的“性质”，但由于这样得出的结论，对“图形”的依赖性过强，甚至形成了“解析式—图象—性质”的思维定势，而忽视了数学形式化的意义，也有悖于“图形直观”在研究函数问题中的辅助性作用，也就是说，我们不能将对函数的认识，完全等价于对其图形的认识，应该把“图形”与“解析式”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间“变化中的规律性”。

因此，本教学设计应在注重分析“反比例函数图象的位置特征”，及引导学生观察“反比例函数的增减变化趋势”的同时，

更加强调对反比例函数解析式的剖析，如对于反比例函数（

，

）为坐标的点位于第一或第三象限，且

随

（），当

时，

时，、

、的正负符号相同，以

，

的增大而减小；当的正负符号相反，以（

）为坐标的点位于第二或第四象限，且图象一定不经过坐标原点，也永远不会与

随轴、

的增大而增大。同时，从解析式轴有交点。

本身来看，显然，，

这种从“数”的方面的再强调，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确。

（二）应关注“类比”中的“差异性”

反比例函数图象和性质的学习，可以类比一次函数的研究方法进行，从而体现了函数学习的一般规律和方法。本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，其中所呈现的通过“描点”画图，到“观察”图象，到分析图象“特征”，再到确定函数中变量

、

之间的“变化规律”，从而得出函数的“特性”，这一探究的过程和方法，是学习初等函数时不可或缺的。事实

上，初中学段后续研究的二次函数，高中学段研究的指数函数、对数函数、幂函数等，都可以采用与之类似的研究“模式”。无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解反比例函数、建立完善的认知结构具有重要的意义。

但是，我们在运用“类比”的方法研究反比例函数的过程中，还应注意“趋同求异”，关注反比例函数与一次函数之间的“差异性”，如图形的“曲”与“直”、“间断”与“连续”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生。

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