【教与学新教案】九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象和性质(

反比例函数

26.1 反比例函数

26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质

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悬念激趣

画反比例函数y ＝6x 与y ＝－6

x

的图象．

(1)画函数图象的步骤是列表、描点、连线． (2)填写下列表格．

(3)在平面直角坐标系中，以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．

思考：①每个函数的图象是什么形状，有几支？

②每个函数的图象所在的象限与k 的值有什么关系？

③在每一个象限内，y 的值随x 的值怎样变化？与k 的值有何关系？ ④它们的图象会与坐标轴相交吗？为什么？

[说明与建议] 说明：学生已经有画函数图象的经验和水平，掌握了画函数图象的一般步骤，本节通过画反比例函数的图象，引入新课，进而探究出反比例函数的图象和性质． 建议：先留给学生动手画图的时间，然后教师要引导学生分析反比例函数的图象和性质，为进一步学习积累数学活动经验．

(1)画函数图象的方法是什么？其一般步骤有哪些？应注意什么？

(2)一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx (k ≠0)呢？

(3)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象是什么？在画二次函数图象的“连线”步骤中，应该注意什么？

(4)类比一次函数和二次函数图象的画法，你能画出反比例函数y ＝6

x

的图象吗？

[说明与建议] 说明：通过对一次函数图象和性质、画函数图象的知识的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．

建议：先画出反比例函数的图象，然后观察、分析、归纳，得到反比例函数的图象和性质．可以用研究一次函数图象的方法来研究反比例函数的图象和性质．

9页习题26.1第8题

在同一直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝k x

(k ≠0)的图象大致是( )

图26－1－3

A ．(1)(2)

B ．(1)(3)

C ．(2)(4)

D ．(3)(4)

【模型建立】 在同一直角坐标系中，判断两个不同函数的图象，一般要根据函数解析式中的字母的正负去判断，所以掌握各函数解析式中的字母对其图象所在象限的决定作用，是解决此类问题的关键．

(1)一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，b 与其图象的关系：

k >0，b >0，直线经过第一、二、三象限；k >0，b <0，直线经过第一、三、四象限； k <0，b >0，直线经过第一、二、四象限；k <0，b <0，直线经过第二、三、四象限．

(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中的a ，b ，c 与其图象的关系： 轴负半轴(3)反比例函数y ＝x 中的k 与其图象的关系：

当k >0时，图象在第一、三象限；当k <0时，图象在第二、四象限．

【变式变形】

1．昆明中考如图26－1－4是反比例函数y ＝k x

(k 为常数，k ≠0)的图象，则一次函数y ＝kx －k 的图象大致是(B )

图26－1－4 图1－5

2.怀化中考已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图26－1－6所示，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝b x

在同一平面直角坐标系中的图象大致是(C )

图26－1－6 图26－1－7

3．自贡中考关于x 的函数y ＝k (x ＋1)和y ＝k x

(k ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是

(D )

图26－1－8

4．长沙中考函数y ＝a x (a ≠0)与函数y ＝ax 2

(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D )

图26－1－9

5．遵义中考已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐平面直角标系内的图象如图

26－1－10所示，其中正确的是(D )

图26－1－10

[命题角度1] 考查反比例函数图象所在的象限

反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象所在象限由k 的正负决定(当k >0时，图象在第一、三象限；当k <0时，图象在第二、四象限)．掌握此特点，就可以轻松解决判断双曲线所在象限或根据其所在象限判断k 的取值范围的题目了．

例 在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝2x

的图象的两支分别在(A ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限

[命题角度2] 考查在同一直角坐标系中不同函数的位置

解决同一直角坐标系中两种函数共存的问题，首先明确同一字母系数在不同函数解析式中的含义．具体见本课素材二[教材母题挖掘]．

[命题角度3] 考查反比例函数图象的增减性

反比例函数图象的增减性问题，首先要注意“在每一个象限内”这一前提条件，然后再根据k 的正负判断其增减性．

例 新疆中考若点A (1，y 1)和点B (2，y 2)在反比例函数y ＝1x

的图象上，则y 1与y 2的大小关系是y 1__>__y 2(填“>”“<”或“＝”)．

[当堂检测]

1． 下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）

2． 已知反比例函数k y x

=的图象如图所示，则k 0，在图象的每一支上， y 值随x 的增大而 ． 3． 若函数()252m y m x

-=-是反比例函数，那么=m ，图象位于 象限．

4． 函数x

k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在图象上的是 （ ）

A ．（3，8）

B ．（3，－8）

C ．（－8，－3）

D ．（－4，－6）

5． 如果反比例函数k y x

=的图象经过点（－2，－3），那么函数的图象应该位于 （ ）

A ．第一、三象限

B ．第一、二象限

C ．第二、四象限

D ．第三、四象限

参考答案

1.D

2.＞ ，减小

3.－2，第二、四象限

4.B

5.A

《小叮当与反比例函数的对话》

小叮当：什么是反比例函数，它的一般形式是什么？它对变量x 、y 和常数k 的取值有何规定？ 反比例函数：一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成y =x k （k 是常数，k ≠0）

的形式，第2题

A B C D

那么就称y 是x 的反比例函数，它的一般形式是y =x

k （k 是常数，k ≠0），对变量x 、y 和常数k 的取值的规定是：自变量x 和函数y 以及常数k 都是不为零的一切实数． 小叮当：反比例函数解析式还可以写成其它形式吗？

反比例函数：是的，反比例函数解析式还可以写成y =kx 1 （k 是常数，k ≠0）形式． 小叮当：能不能说“成反比例的关系式就是反比例函数呢？”

反比例函数：这种说法是不对的，例如：若y 与x 2成反比例，则有y =2x

k ，但y 不是x 2的反比例函数；反过来，反比例函数的两个变量却一定成反比例关系．

小叮当：画反比例函数图象时，应注意哪几点？

反比例函数：应注意以下三点：第一、列表时，自变量应选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点．第二、连线时不能连成折线，必须用光滑的曲线顺次连结各点；第三、由于两个变量x 、y 和一个常数k 均不能为0，因此，反比例函数图象一定不与x 、y 轴相交．

小叮当：那么反比例函数的图象是什么图形呢？

反比例函数：反比例函数的图象是双曲线．

小叮当：反比例函数的图象和性质什么？

反比例函数：反比例函数的图象和主要性质如下表：

小叮当：那如何来用待定系数法来求反比例函数的解析式呢？ 反比例函数：一般来说，用待定系数法来求反比例函数的解析式有以下三个步骤：（1）设所求的反比例函数的一般式；（2）根据题意列出方程或方程组，求出待定系数；（3）写出所求的反比例函数解析式．

小叮当：反比例函数主要涉及哪些数学思想方法呢？

反比例函数：主要涉及两种数学思想方法：（1）数形结合思想：（2）数学建模思想： 小叮当：反比例函数图象与正比例函数图象最大的区别在哪里？

反比例函数：反比例函数图象与正比例函数图象最大的区别是反比例函数图象永远不能与x 轴、y 轴相交．

x

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