泸溪一中2012届高三理科数学综合试题

泸溪一中2012届高三理科数学综合试题 姓名

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={1，2，3，4}，M?N={2，3}，则集合N可以为（ ）.

A.｛1，2，3｝ B.｛1，3，4 C.｛1，2，4｝ D.｛2，3，5｝

2.抛物线y2?4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|?4，则点M的横坐标x=（ ）. A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3．“a=1”是函数f?x??x?a在区间?1,???上为增函数的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）. A.6? B.7?

2 2 2 2 C.8? D.9?

5．已知?ABC中,?A?30?，AB，BC分别是3?2,3?2的等差中项与等比中项，则?ABC的面积等于（ ）

2 2 2 2 3A． 23C．或3 23B． 433D． 或24 （正视图） （侧视图）

2 （俯视图）

（第4题图）

6.在△ABC中，AB?(cos23?,sin23?)，AC?(2sin22?,2cos22?)，则△ABC的面积为（ ）.

A.22 B.2 C.

22 D. 23?x?1(?1?x?0)???的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为（ ）. 7.若函数f?x???cosx(0?x?)?2?13A. B. 1 C. D. 2 228.定义在R上的函数y?f(x)，在?-?，a?上是增函数，且函数y?f(x?a)是偶函数，当

x1?a,x2?a，且x1?a?x2?a时，有（ ）.

A.f(2a?x1)?f(2a?x2) B.f(2a?x1)?f(2a?x2) C.f(2a?x1)?f(2a?x2) D.?f(2a?x1)?f(x2?2a) 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填写在答题卡中对应题号后的横线上.

9. 已知函数f(x)?log2(|2x?1|?|x?2|?m).若关于x的不等式f(x)?1的解集是R，则m的取值范围是 .

10. 已知圆C的极坐标方程为??2cos??23sin?，则圆心C的一个极坐标为 .

11.执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是_________.

12.若二项式(1?2x)n展开式中x3项的系数等于x项的系数的8倍，则n等

（第11题图）

于 .

13.已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得|PM|?|PN|?2，则该称直线为“A型直线”.给出下列直线：

①y?x?1， ②y?3x?2， ③y??x?3， ④y??2x， 其中是“A型直线”的序号是 .

?x?0,?14.若不等式组?y?0,表示的区域面积为S，则

?y??kx?4k?kS（1）当S=2时，k? ；（2）当k?1时，的最小值为 .

k?115.把正整数排列成三角形数阵（如图甲），如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵（如图乙），再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列?an?，则a2011? .

三．解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知平面上三点A(2,0)，B(0,2)，C(cos?,sin?). （1）若(OA?OC)2?7（O为坐标原点），求向量OB与OC夹角的大小；

（2）若AC?BC，求sin2?的值.

17.（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，设复数z?a?bi. （1）设事件A：“z?3i为实数”，求事件A的概率； （2）当“z?2?3”成立时，令??a?b，求?的分布列和期望.

????????18.（本小题满分12分）已知正方形ABCD的边长为1，AC?BD?O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC?1，得到三棱锥A—BCD，如图所示.

（1）求证：AO?平面BCD；（2）求二面角A?BC?D的余弦值.

19.（本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.

签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.李霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元. （1）若李霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；

（2）当x?50时，李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518?2.406,1.0519?2.526,1.0520?2.653,1.0521?2.786）

20.（本小题满分13分）若圆C过点M(0,1)且与直线l:y??1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、

B为曲线E上的两点，点P(0,t)(t?0)，且满足AP??PB(??1).

1（1）求曲线E的方程；（2）若t?6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处

2有共同的切线，求圆N的方程；（3）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰

????????好在直线l上，求证：t与QA?QB均为定值.

21.（本小题满分13分）己知函数f(x)?????????1.

(x?1)ln(x?1)1（1）求函数f(x)的增区间；（2）是否存在实数m，使不等式2x?1?(x?1)m在?1?x?0时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

泸溪一中2012届高三理科数学综合试题参考答案

一．选择题：1~8 DBABDCCA 二．填空题：9.m??三．解答题：

1 10. 21????2,? 11. 1 12.5 13. ①③ 14. ;32 15. 3959

4?3?????????216.解：（1）∵OA?OC?(2?cos?,sin?)，(OA?OC)?7，

∴(2?cos?)2?sin2??7，∴cos??1， ?????????????? 4分 2又B(0,2)，C(cos?,sin?)，设OB与OC的夹角为?，则

cos??OB?OCOBOC?2sin?3?sin???， 22?????????5∴OB与OC的夹角为或?； ??????????????????? 7分

66????2（）?AC?(cos??2,sin?)，BC?(cos?,sin??2)，? 9分

1，① ??????? 11分 21332∴(cos??sin?)?，∴2sin?cos???，sin2???. ???????12分

444由AC?BC，∴AC?BC?0， 可得cos??sin??

17.解：（1）z?3i为实数，即a?bi?3i?a?(b?3)i为实数，∴b＝3， --------3分 又依题意，b可取1，2，3，4，5，6，故出现b＝3的概率为即事件“z?3i为实数”的概率为

????????????????1， 61； ---------------------------------6分 6（2）由已知，z?2?|a?2?bi|?(a?2)2?b2?3， ---------------------------------8分

可知，b的值只能取1、2、3， ---------------------------------9分

当b＝1时， (a?2)2?8，即a可取1，2，3，4、，当b＝2时， (a?2)2?5，即a可取1，2，3，4 当b＝3时， (a?2)2?0，即a可取2，由上可知，?=2、3、4、5，6 ?的分布列为

? p 2 3 4 5 6 1 92 92 91 31 9E??26815637????=. ----12分 999999

18.解：（1）证明：在?AOC中，?AC?1，AO?CO?2， 2?AC2?AO2?CO2，?AO?CO，

又? AC、BD是正方形ABCD的对角线，?AO?BD， 又BD?CO?O?AO?平面BCD； ????????????????4分

（2）由（1）知AO?平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O?xyz， 则

O(0,0,0),A(0,0,，

2222),C(,0,0),B(0,?,0),D(0,,0)2222????2OA?(0,0,)是平面BCD的一个法向量，??????7分

2????????2222AC?(,0,?)，BC?(,,0)，

2222???????????设平面ABC的法向量n?(x,y,z),则n?BC?0，n?AC?0，

??(x,y,z)?(?即??(x,y,z)?(??22,,0)?022， …………………….10分

22,0,?)?022?y??x,z?x,x?1,y??1所以且令则，z?1，解得n?(1,?1,1) ???????11分

??????????n?OA33??. ?????12分 从而cos?n,OA??????，二面角A?BC?D的余弦值为

|n||OA|3319.解：（1）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1?500?x，公差为x. 从而，到第36个月，李霄共还款12?500?24a1?令12?500?(500?x)?24?24?(24?1)?x

224?(24?1)?x?24000，解之得x?20（元），

2据题意，验证可行。即要使在三年全部还清，

第13个月起每个月必须比上一个月多还20元； ???????6分 （2）设李霄第n个月还清，则应有

12?500?(500?50)?(n?12)?(n?12)?(n?12?1)?50?24000

2整理可得n2?3n?828?0，解之得n?即李霄工作31个月就可以还清贷款， 这个月；李霄的还款额为

3?3321?30，取n?31， 224000?[12?500?(500?50)?(30?12)?(30?12)?(30?12?1)?50]?450元，

2第31个月李霄的工资为1500?1.0519?1500?2.526?3789元，

因此，李霄的剩余工资为3789?450?3339. ???????13分

20.解：（1）依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2?4y； …………………………………………………………3分 （2）直线AB的方程是y?1x?6,即x?2y?12?0， 2由??x?2y?12?0,得点A、B的坐标是(6,9)或(?4,4)，????????????5分 2x?4y,?121x,y??x， 42x?6当A(6,9)、B(?4,4)时，由x2?4y得y? 所以抛物线x2?4y在点A处切线的斜率为y??3，

1133131317线段AB的中点坐标为(1,)，中垂线方程为y???2(x?1)，即y??2x?????②

222323由①、②解得N(?,)， ??????????????????????7分

22323323于是，圆C的方程为(x?)2?(y?)2?(?4?)2?(4?)2，

222232232125)?即 (x?)?(y?， ?????????????????????8分

222直线NA的方程为y?9??(x?6)，即y??x?11????① 当A(?4,4)、B(6,9)时，抛物线x2?4y在点A处切线的斜率为y?所求圆为以AB为直径的圆，可求得圆为(x?1)2?(y?22x??4??2，此时切线与AB垂直，

132125)?， ??9分 24x12x1x1x2Q(a,?1)?(x?x1)， （3）设A(x1,，过点A的切线方程为y?),)，B(x2,42442即x12?2ax1?4?0，同理可得x2?2ax2?4?0，所以x1?x2?2a,x1x2??4，??10分

又

kABx1x?2x1?x2x12x1?x2?(x?x1)， ，所以直线AB的方程为y?4=?4444x1?x222x1?x2xxax?12,亦即y?x?1,所以t?1，???????????????11分 442????????x12x22?1),QB?(x2?a,?1)，所以 而QA?(x1?a,4422????????x12x2x12x2(x1?x2)2?2x1x22QA?QB?(x1?a)(x2?a)?(?1)(?1)?x1x2?a(x1?x2)?a???1

441644a2?822??4?2a?a?1??1?0. ?????????????13分

4即y?21．解：（1）根据函数解析式得??x?1?0,解得x??1且x?0，

?x?1?1?函数f(x)的定义域是?xx?R,x??1且x?0?. ????1分 ?f(x)?1ln(x?1)?1,?f?(x)??， ????????4分

(x?1)ln(x?1)(x?1)2ln2(x?1)由f?(x)?0得ln(x?1)?1?0.??1?x?e?1?1.

?函数f(x)的增区间为(?1,e?1?1)； ??????????5分

（2）?e?1?1?x?0,?e?1?x?1?1.??1?ln(x?1)?0.?ln(x?1)?1?0，

?当e?1?1?x?0时,f?(x)??ln(x?1)?1?0.?在区间??1,0?上，

(x?1)2ln2(x?1)?1当x?e?1?1时, f(x)取得最大值，??f(x)?最大?f(e?1)??e，???????10分

?21x?1?(x?1)m在

?1?x?0时恒成立，?1ln2?mln(x?1)在?1?x?0时恒成立， x?1?m?ln2在?1?x?0时恒成立，

(x?1)ln(x?1)?ln2在?1?x?0时的最大值等于?eln2，?m??eln2.

(x?1)ln(x?1)1?当m??eln2时，不等式2x?1?(x?1)m在?1?x?0时恒成立. ???13分

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