第4、5、6章章节测试

第4、5、6章章节测试1

1、设xi?t??i?1,2,?,n?是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式

记为w?t?，试证明w?t?满足一阶线形方程w??a1?t?w?0，因而有：

w?t??w?t0?exp{??a1?s?ds}，t??a,b?。

t0t2、设?(t)是方程x???k2x?f(t)的解，其中k为常数，函数f(t)于0?t??连续，试证明：

（1）当k?0时，能够选择常数c1,c2的值，使得

?(t)?c1coskt?（2）当k?0时，方程的通可表为

c21tsinkt??sink(t?s)?f(s)ds kk0tx?c1?c2t??(t?s)f(s)ds

0其中c1,c2为任意常数。

3、设含有n个未知函数的齐次线性方程组

dxdx?A(t)x 与 ?B(t)x dtdt有相同的基本解组，求证 A(t)?B(t).

4、设一个实常系数的四阶齐次线性的微分方程的一个解为tcos2t，求此方程的表达式并求

其通解。

5、解方程 x????4x???5x??2x?2t?3 。 6、解方程 xy???xy??y?0。 7、试求x'?Ax?f(t)，其中A??2?x1??21??0?，满足初始条件 ,x?,f(t)?????2t??02??e??x2??(0)???1? 的解?(t)。 ???1?10??0?0018、求方程组 x'?Ax，其中A??并求其通解。 ??的基解矩阵，??6?11?6???

第4、5、6章章节测试2

1、假设x1?t??0是二阶齐线形方程

x???a1?t?x??a2?t?x?0 （*）

的解，这里a1?t?和a2?t? 在区间?a,b?上连续，试证：

（1）x2?t?是方程的解的充要条件为：w??x1,x2??a1w?x1,x2??0；

??t1??（2）方程的通解可以表示为：x?x1?c1?2exp???ta1?s?ds?dt?c2?,其中

?0?x1????c1,c2为常数,t0,t??a,b?。

2、 给定方程x????5x???6x??f(t)，其中f(t)在???t???上连续，设?1(t),?2(t) 是上述方程的两个解，证明极限lim[?1(t)??2(t)]存在。

t??3、设X(t)是n?n连续矩阵，X?(0)存在且满足

X(t?s)?X(t)?X(s)，detX(0)?0。

试证明存在n阶常值方阵A使得

dX(t)?AX(t)。 dt4、设一个实常系数的四阶齐次线性的微分方程的一个解为tet,cos2t，求此方程的表达式并求其通解。 5、解方程 s???as?t?1。 6、解方程 x2y???3xy??5y?0。 7、假设A是n?n矩阵，试证：

a) 对任意常数c1,c2、都有

2exp(c1A?c2A)?expc1A?expc2A

b) 对任意整数k,都有

(expA)k?expkA

(当k是负整数时，规定(expA)'k?[(expA)?1]?k)

?et???1??12?8、求方程组x?Ax?f(t)的解?(t)，其中?(0)???,A???,f(t)???。

?1??43??1?第4、5、6章章节测试3

1、试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线性无关解。

2、试证：对于二阶齐次线性微分方程

x''?p(t)x'?q(t)x?0，

其中p(t),q(t)为连续函数，

(1) 若p(t)??tq(t),则x?t是方程的解；

(2) 若存在常数m使得m2?mp(t)?q(t)?0，则方程有解x?emt。 (3) 若x1(t),x2(t)是方程的两个线性无关的解，则方程的系数p(t),q(t)由

x1(t),x2(t)唯一确定，且x1(t),x2(t)没有共同的零点。

3、证明 常系数线性微分方程y???a1y??a2y?0的任何一个解的导数仍然是它的解。

4、已知x??Ax的一个基解矩阵为?(t)，其中A是常数矩阵。证明。 expAt??(t)??1(0)5、解方程 x???2x??3x?e?tcost。 6、解方程 s???2as??a2s?et。

7、试证：如果?(t)是x'?Ax满足初始条件?(t0)＝?的解，那么

?(t)?[expA(t?t0)]?。

8、假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组

x'?Ax?cemt

有一解形如?(t)?pemt，

其中c，p是常数向量。

第4、5、6章章节测试4

1、设x?t?和y?t?是区间a?t?b上的连续函数，证明：如果在区间a?t?b上有

y?t?x?t??常数或?常数，则x?t?和y?t?在区间a?t?b上线性无关。

y?t?x?t?2、设??t?为方程x??Ax（A为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?(0)?E），证明: ??t???1?t0????t?t0?其中t0为某一值。

3、设在 x???a1(t)x??a2(t)x?0中，a1(t)在某区间I上连续且不为零，试证明它的任意两个线性无关的解的Wronsky行列式是区间I上的严格单调函数。 4、如果?(t),?(t)是常系数方程组x??Ax的两个基解矩阵，那么存在一个非奇异的n?n常数矩阵C，使得?(t)??(t)C。 5、解方程 x???6x??5x?e2t。

6、解方程 x???2x??5x?4e?t?17sin2t。

??21?7、求方程组 x??Ax，其中A???，的基解矩阵，并求 expAt。

??12?8、给定方程组

?x1''?3x1'?2x1?x2'?x2?0 ?x'?2x?x'?x?01122?a） 试证上面方程组等价于方程组u??Au，其中

?u1??x1??010???????u??u2???x1'?，A???442?

?u??x??2?1?1??3??2???b）试求a）中的方程组的基解矩阵

c） 试求原方程组满足初始条件

?(0)?1,x2(0)?0 x1(0)?0,x1的解。

第4、5、6章章节测试5

1、证明非齐线形方程的叠加原理：设x1?t?，x2?t?分别是非齐线形方程

dnxdn?1x n?a1?t?n?1???an?t?x?f1?t? （1）

dtdtdnxdn?1x n?a1?t?n?1???an?t?x?f2?t? （2）

dtdtdnxdn?1x的解，则x1?t?+x2?t?是方程 n?a1?t?n?1???an?t?x?f1?t??f?2t?的dtdt解。

2、考虑方程组

x??A(t)x

其中A(t)是区间a?t?b上的连续n?n矩阵，它的元素aij(t),

i,j?1,2,?,n

（1）如果x1(t),x2(t),?,xn(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),?,xn(t)]?W(t)满足下面的一阶线性微分方程W??(a11(t)?a22(t)???ann(t))W

（2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：

W(t)?W(t0)exp{?tt0[a11(s)?a22(s)?...ann(s)]ds}，t,t0?[a,b]。

3、已知y1?x,y2?x?ex,y3?1?x?ex是线性非齐次微分方程

y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，求此方程的通解。

x)y??fx()的一个特解是，4、设y??p(对应齐次方程也有一个特解是

x2，求

1x( 1 ) p(x)与f(x)的表达式；

（2） y???p(x)y??f(x)的通解。 5、解方程 x???2x??2x?tetcost。

t,6、求初值问题的解 x???9x?63ex(0?)?x(?0。) 0?2?33??4?537、求方程组 x??Ax，其中A?? ??，的基解矩阵，并求 expAt。?4?42???8、假设y＝?(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题

?y''?ay'?by?0 ?y(0)?0,y'(0)?1? 的解，试证y??0?(x?t)f(t)dt是方程

y''?ay'?by?f(x)

x 的解，这里f(x)为已知连续函数。

（2） y???p(x)y??f(x)的通解。 5、解方程 x???2x??2x?tetcost。

t,6、求初值问题的解 x???9x?63ex(0?)?x(?0。) 0?2?33??4?537、求方程组 x??Ax，其中A?? ??，的基解矩阵，并求 expAt。?4?42???8、假设y＝?(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题

?y''?ay'?by?0 ?y(0)?0,y'(0)?1? 的解，试证y??0?(x?t)f(t)dt是方程

y''?ay'?by?f(x)

x 的解，这里f(x)为已知连续函数。

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