2015届吉林省长春市十一中高三第二次阶段性测试数学试题及答

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长春市十一高中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试

数 学 试 题 （理）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若复数z?a2?1?(a?1)i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a?（ ） A.?1 B. ?1 C. 0 D. 1 2.设a?(1,2)，b?(2,k)，若(2a?b)?a，则实数k的值为（ ） A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8

3.在等差数列?an?中， a1，a2015为方程x2?10x?16?0的两根，则a2?a1008?a2014? （ ） A．10

B．15

C．20

D．40

4．如图，正三棱ABC?A1B1C1的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为

C1

（ ） 2 2 A1 B1 A．16 B．23

C C．43 D．83

4 B

主视图

A 5.在非直角?ABC中 “A?B”是“tanA?tanB”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 在等比数列?an?中，若a1?2，a2?a5?0，?an?的n项和为Sn，则S2015?S2016?（ ）

A．4032 B．2 C．?2 D．?4030

7.在边长为1的等边?ABC中，D,E分别在边BC与AC上，且BD?DC，2AE?EC 则AD?BE?（ ） A. ?1111 B. ? C. ? D. ? 23461x2?3lnx?1的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 8.已知曲线y?24 A. 3

B. 2

C. 1

D.

1 2

9.将函数y?sin(6x??4（纵坐标不变），再向右平移)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍

?个8单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ） A.????,0? 16??B. ????,0? 9??C. ????,0? 4??D. ????,0? 2??x2y2510.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半

3ab焦距长），则双曲线的离心率为（ ） A．

3535 B． C． D．35

222x11．函数y?2?x2(x?R)的图象大致为（ ）

?x?1,12.已知函数f(x)???log2x,x?0，若方程f(x)?a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x?0x1?x2?x3?x4，则x3(x1?x2)?1的取值范围是（ ） 2x3x4A. (?1,??) B. ??1,1? C. (??,1) D. ??1,1? 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量a?(?1,2)，b?(2,3)，若m??a?b与n?a?b的夹角为钝角，则实数?的取值范围是 . 14．已知2??21(kx?1)dx?4，则实数k的取值范围为 .

15．下列命题中，正确的是 （1）曲线y?lnx在点(1,0)处的切线方程是y?x?1； （2）函数y?16?2x的值域是?0,4?；

3?)，则a?b； 2?ABAC???， （4）O是?ABC所在平面上一定点，动点P满足：OP?OA????sinCsinC??????0,???，则直线AP一定通过?ABC的内心；

（3）已知a?(sin?,1?cos?),b?(1,1?cos?)，其中??(?,16.数列?an?中，a1?2，a2?7，an?2是anan?1的个位数字，Sn是?an?的前n项和，则

S242?7a7? .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）

在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinB(tanA?tanC)?tanAtanC. （1）求证：a,b,c成等比数列；（2）若a?1,c?2，求?ABC的面积S.

18.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点P(,cos122?)在角?的终边上，点Q(sin2?,?1)在角?的终边上，且

1OP?OQ??．

2（1）求cos2?的值；（2）求sin(???)的值．

19.（本小题满分12分）

x已知函数f(x)?a的图象过点(1,)，且点(n?1,12an*x)在函数的图象上． (n?N)f(x)?a2n（1）求数列?an?的通项公式； （2）令bn?an?1?1an，若数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?5. 220．（本小题满分12分）

在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?1，AA1?AB?2．点E是线段AB上的动点，点M为

D1 A1 1 MBC1

D1C的中点．

（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD1A1； （2）若二面角A?D1E?C的余弦值为

415，求线段AE的长． 15

21. （本小题满分12分）

x2y23已知椭圆：2?2?1(a?b?0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为23，离心率为，

3ab动点P在直线x?3上，过F2作直线PF2的垂线l，设l交椭圆于Q点． （1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值； 22. （本小题满分12分）

设函数f(x)?(x2?2)lnx，g(x)?2x2?ax,a?R （1）证明：f(x)是(0,??)上的增函数；

（2）设F(x)?f(x)?g(x)，当x?1,???时，F(x)?0恒成立，求a的取值范围.

?长春市十一高中2013-2014学年度高三上学期阶段性考试

数 学 试 题 （理）参考答案

一、选择题（每题5分，共60分） 题号 答案 1 2 3 4 5 D 6 B 7 A 8 A 9 D 10 C 11 A 12 B B C B D 二、填空题（每题5分，共20分） 13. ??9且???1 14. ?,2?

?3?15. （1），（3），（4） 16. 955 三、解答题 17. 【答案】解：

（1）由已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC.得：sinB(2?2?sinAsinCsinAsinC?)?，----2分 cosAcosCcosAcosC即：sinBsin(A?C)?sinAsinC，即：sinB?sinAsinC---------4分

由正弦定理：b2?ac，所以：a,b,c成等比数列.------------5分 （2）由（1）知：b2?ac，a?1,c?2，所以：b?2，------------6分

a2?c2?b21?4?237由余弦定理：cosB?-------------8分 ??，所以：sinB?2ac2?1?244所以：S?1177--------10分 acsinB??1?2??2244

18.【答案】解： （1）因为OP?OQ??------------2分 即：

11122错误！未找到引用源。，所以sin??cos???错误！未找到引用源。，2221122(1?cos2?)?cos2???错误！未找到引用源。，所以cos??错误！未找到引用源。，2232------------4分

1错误！未找到引用源。．------------6分 3211222 （2）因为cos??错误！未找到引用源。，所以sin??错误！未找到引用源。，所以P(,)33231错误！未找到引用源。，Q(,?1)错误！未找到引用源。，

312 又点P(,)错误！未找到引用源。在角?错误！未找到引用源。的终边上，所以

2343sin??,cos??错误！未找到引用源。 ---------8分

55所以cos2??2cos??1?同理 sin???31010,cos??错误！未找到引用源。 ---------10分 1010410331010???(?)??错误！未找到引51051010所以：sin(???)?sin?cos??cos?sin??用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。--------12分

19. 【答案】解： （1）由条件知：a?

11，所以：f(x)?x，-----------2分 22

f(x)过点(n?1,anan1，所以：--------------4分 )?22n?1nn2n2所以：an?n?1-------------5分

2(n?1)2n22n?1（2）bn?-----------7分 ?n?2n22nSn?3?

11111?5?2?7?3???(2n?1)n?1?(2n?1)n 22222111111Sn? 3?2?5?3???(2n?3)n?1?(2n?1)n?(2n?1)n?1-------------10分 222222

所以：Sn?5?2n?5?5-----------12分 2n

20. 【答案】解：

（1）证明：取DD1的中点N，连结MN,AN,ME， -------1分

zD1A1NMB1C111MN∥CD，AE∥CD------3分

22? 四边形MNAE为平行四边形，可知ME∥AN --------4分

AN?平面ADD1A1，ME?平面ADD1A1

?ME∥平面ADD1A1-------6分

（2）解：设 AE?m，如图建立空间直角坐标系-----------7分

AxDCyEBA(1,0,0),E(1,m,0),C(0,2,0),D1(0,0,2)，

AD?(?1,0,2),AE?(0,m,0),D1C?(0,2,?2),EC?(?1,2?m,0)

平面AD1E的法向量为n1?(x1,y1,z1)，由n1?AD1?0及n1?AE?0得n1?(2,0,1)

平面D1EC的法向量为n2?(x,y,z)， 由n2?D1C?0及n2?EC?0得n2?(2?m,1,1)--------10

分 cos??n1?n2n1n2?5?2m5(2?m)2?2?452，即 20m?16m?129?0 15

343或m?（舍去） 2103所以：AE? -------------12分

2解得：m?

21. 【答案】解：

?2a?23?c3?（1）由条件得：?e??，解得：a?3,c?1,b?2，

a3?222a?b?c??x2y2所以椭圆E：??1---------------5分

32（2）设P(3,y0),Q(x1,y1)

?PF2?F2Q，所以：PF2?F2Q?0，即：2(x1?1)?y0y1?0------------7分

又因为：KPQKOQx12y1y1?y0y12?y1y02)，--------10分 ，且y1?2(1????23x1x1?3x1?3x12---------12分 3代入化简得：KPQKOQ??

22.解：若证明f(x)是(0,??)上的增函数，只需证明f?(x)?0在(0,??)恒成立， 即：f?(x)?2xlnx?222?x?0?x(2lnx?2?1)?0?2lnx?2?1?0-------4分 xxx242x2?42设h(x)?2lnx?2?1,x?(0,??)，h?(x)??3? 3xxxx所以：h(x)在(0,2)上递减，(2,??)上递增，h(x)最小值h(2)?ln2?2?0 故：f?(x)?2xlnx?2?x?xh(x)?0，所以：f(x)是(0,??)上的增函数.------6分 x22（2）由F(x)?f(x)?g(x)?(x?2)lnx?2x?ax?0得：

(x2?2)lnx?2x2a?在x??1,???上恒成立，------------8分

x

(x2?2)lnx?2x2设G(x)?

x(x2?2)(lnx?1)则G?(x)?， 2x所以g(x)在(1,2)递增，(2,e)递减，(e,??)递增------------9分 所以G(x)的最小值为G(1),G(e)中较小的，G(e)?G(1)?2?e?2?0， e所以：G(e)?G(1)，即：G(x)在x??1,???的最小值为G(1)??2，--------11分 只需a??2-------12分

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