2012届高三文科培优限时训练（函数与导数）

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培优限时训练九

设函数f(x)?x3?ax2?a2x?m(a?0)．

（1）若函数f(x)在x???1,1?内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a?1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；

（3）若对任意的a??3,6?，不等式f(x)?1在x???2,2?上恒成立，求实数m的取值范围．

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培优限时训练九参考答案

解：（1）由题设可知，方程f/(x)?3x2?2ax?a2?0在??1,1?上没有实数根，

?f/(1)?3?2a?a2?0?/2∴?f(?1)?3?2a?a?0，解得a?3． ………4分 ?a?0?（2）当a?1时f(x)?x3?x2?x?m，∵f(x)有三个互不相同的零点， ∴f(x)?x3?x2?x?m?0即m??x3?x2?x有三个互不相同的实数根．令g(x)??x3?x2?x，则g/(x)??3x2?2x?1??(3x?1)(x?1) ∵g(x)在(??,?1)和(,??)均为减函数，在(?1,)为增函数， ∴g(x)极小?g(?1)??1,g(x)极大?g()?所以m的取值范围是(?1,1313135 275)． ………………8分 27a/22（3）∵f(x)?3x?2ax?a?3(x?)(x?a),又a?0，

3aa∴当x??a或x?时，f/(x)?0；当?a?x?时，f/(x)?0．

33aa∴函数f(x)的递增区间为(??,?a)和(,??),单调递减区间为(?a,)

33a当a??3,6?时， ??1,2?,?a??3，又x???2,2?，∴f(x)max?max?f(?2),f(2)?

3而f(2)?f(?2)?16?4a?0，∴f(x)max?f(?2)??8?4a?2a2?m，又∵f(x)?1在??2,2?上恒成立，∴f(x)max?1即?8?4a?2a2?m?1，即m?9?4a?2a在a??3,6?上恒成立．

22∵9?4a?2a2的最小值为?87， ∴m??87. ………12分

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培优限时训练十

已知函数

f(x)?alnx?ax?3(a?R且a?0)．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，问： m在什么范围取值时，对于任意的t?[1,2]，函数g(x)?x?x[32m?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值？ 2

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培优限时训练十参考答案

解：（Ι）由

f?(x)?a(1?x)知： x当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；

当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；………………6分（Ⅱ）由

f?(2)??a?1得a??2 2f'?x??2?2x. ………………………8分

∴f(x)??2lnx?2x?3，m?m?g(x)?x3?x2??f'(x)??x3?(2?)x2?2x2?2? 2g'(x)?3x?(4?m)x?2, ∴

∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，

∴g?(x)?0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内…………10分又∵函数g?(x)是开口向上的二次函数，且

g?(0)??2?0，

?g?(t)?0∴? …………12分

?g(3)?0?由所以

g?(t)?0得m?22?3t?4，∵H(t)??3t?4在[1,2]上单调递减， tt37； 3∴m??9，由g?(3)?27?3(4?m)?2?0，解得m??H(t)min?H(2)??9；

综上得：?3737?m??9 所以当m在(?,?9)内取值时，对于任意t?[1,2]，函数33mg(x)?x3?x2[?f?(x)]，在区间(t,3)上总存在极值 . …………14分

培优限时训练十一

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已知函数f(x)?(Ⅰ) 若点(1,?极大值；

13x?ax2?bx(a,b?R) 。 311)在函数y?f(x)图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求y?f(x)的3(Ⅱ)若y?f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数,求a?b的最小值。

培优限时训练十一参考答案

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解：(Ⅰ)∵f?(x)?x2?2ax?b, 1分 ∴ 由题意可知：f?(1)??4且f(1)??11, 3?1?2a?b??4,?a??1?∴ ?1得：， 3分 ?11?a?b??,?b?3?33?132∴f(x)?x?x?3x,f?(x)?x2?2x?3?(x?1)(x?3).

3令f?(x)?0，得x1??1,x2?3，

由此可知： X (－∞,－1) + f?(x) －1 0 (－1, 3) － ↘ 3 0 (3, +∞) + ↗ f(x) ↗ 5f(x)极大值 3f(x)极小值 ∴ 当x=－1时, f(x)取极大值

5 6分 3(Ⅱ) ∵y?f(x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f?(x)?x?2ax?b?0 在区间[－1，2]上恒成立. 7分根据二次函数图象可知f?(?1)?0且f?(2)?0，

2?1?2a?b?0,?2a?b?1?0,即：?也即? 9分

4?4a?b?0,4a?b?4?0.??作出不等式组表示的平面区域如图： 11分当直线z?a?b经过交点P(－

1, 2)时， 2z?a?b取得最小值z??134a-b+4=0 ?2?2a+b-1=0 , 13分 22P(－, 2) 2b 4 3∴z?a?b取得最小值为 14分

-2 o 2 a z=a+b

培优限时训练十二

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fx）=x?设函数（133a2x?bx?c，其中a＞0，曲线y?（fx）在点P（0，（）处的切f0）2线方程为y=1。（Ⅰ）确定b、c的值

（Ⅱ）设曲线y?（在点（x1，（）及（x2，（）处的切线都过点（0,2）证明：fx）fx2）fx1）当x1?x2时，f'(x1)?f'(x2)

fx）（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y?（的三条不同切线，求a的取值范围。

培优限时训练十二参考答案

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?23a2?3x1?2x1?1?0???(1)??23a2?x2?x2?1?0???(2)

2?3?x12?ax1?x12?ax2???(3)??2由(1)?(2)得x12?x1x2?x2?由（3）得x1?x2?a.32a???(4) 4a32又x12?x1x2?x2?(x1?x2)2?x1x2?a2?x1(a?x2)?x12?ax1?a2?(x1?)2?a2

243aa?a2.故由(4)得x1?,此时x2?与x1?x2矛盾.所以f?(x1)?f?(x2).422（III）由（II）知，过点（0，2）可作y?f(x)的三条切线，等价于方程2?f(t)?f?(t)(0?t)

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培优限时训练十三

x2设函数f(x)?xe?1?ax

??（Ⅰ）若a=

1，求f(x)的单调区间； 2（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围

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培优限时训练十三参考答案

解：（Ⅰ）a?112xxxx时，f(x)?x(e?1)?x，f'(x)?e?1?xe?x?(e?1)(x?1)。当22故f(x)x????,?1?时f'(x)??;当x???1,0?时，f'(x)?0;当x??0,???时，f'(x)?0。在???,?1?，?0,???单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）f(x)?x(e?1?ax)。令g(x)?e?1?ax，则g'(x)?e?a。若a?1，则当

xxxx??0,???时，g'(x)??，g(x)为增函数，而g(0)?0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

若a??，则当x??0,lna?时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当x??0,lna?时g(x)＜0，即f(x)＜0. 综合得a的取值范围为???,1?

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培优限时训练十四

322设函数f，gx，其中x?R，a、b为常数，已知曲()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1?x2，且对任意的x?g()x?mxx??x恒成立，求实数m的取值范围。 ()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx

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培优限时训练十四参考答案

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培优限时训练十五

alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0， x?1xlnx（1）求a,b的值（2）证明：当x?0,x?1时，f(x)?.