弹塑性力学-第8章 能量原理及其应用

第八章 能量原理及其应用

第八章 能量原理及其应用

弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念

1.1 物体变形的热力学过程

由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E，应变能为U，则在微小的?t时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 ?E??U??W??Q (a) 其中，?W为作用于物体上的体力和面力所完成的功；?Q是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有

?E?0，将式(b)代入式(a)，则有

?U??W (8.1-1)

193

?Q?0 (b)

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1.2 应变能

由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为

?ij1U0???ijd?ij??ij?ik (8.1-2)

02 对于一维应力状态，在?x??x平面内，则

'所 U0实际上就是应力应变曲线与?x轴和?x??x围成的面积(图8.1)，即

U0???xd?x (8.1-3)

0'?X'其中?x是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能

变能U0表示物体在变形过程中所储存的能量。 1.3 应变余能

'' 在图8.1中, 如果令U0表示应力应变曲线与?x轴和?x??x所围成的面积，即

'?x U???xd?x (8.1-4)

0'0''式中?x是物体变形过程某一指定时刻的应力。称U0为单位体积的应变余能，简称

余能，有时又称其为应力能。

'' 由于?x和?x是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有

''' ?x?x?U0?U0'''由此可见，U0与U0互补或互余对方为?x?x矩形的面积。显然，在线弹性情况下有'，即余能与应变能在数值上相等。 U0?U0 尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概念后，使讨论问题的范围扩大了。

8.2 虚位移原理与最小势能原理

2.1 虚位移原理

设有变形体在外力作用下处于平衡状态。此处，外为包括体力分量X，Y，Z及一部分表面的面力分量X，Y，Z。假如有一组位移分量u，v，w既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓虚位移或位移变分?u，?v，?w，得到一组新的位移 u'?u??u,v'?v??v,w'?w??w (a)

194

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下面考察能量发生了什么变化。

这时，外力在虚位移上所做的功(称为虚功)为

?W????(X?u?Y?v?Z?w)dV???(X?u?Y?v?Z?w)dS (8.2-1a)

VS?或

?W????fi?uidV???Fi?uidS (8.2-1b)

VS?式中，V为变形体的全部体积，S为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记为S?，给定位移的表面记为露Su。但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行，对于给定位移的那一部分表面，因无虚位移，故不必考虑。

应该指出，这里所说的虚位移—般并不是由实际外力所引起的，而是由其他因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。虚位移发生时，约束反力是不作功的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。

物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形，因此在变形体中就产生虚应变能，即

?U????(?x??x??y??y??z??z??xy??Vxy??yz??yz??zx??zx)dV (8.2-2a)

或写为

?U?????ij??ijdV (8.2-2b)

V假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热能和动能的改变。则按照能量守恒定律或热力学第一定律，应变能在虚位移上的增量?U，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有

???(?Vx??x??y??y??z??z??xy??xy??yz??S?yz??zx??zx)dV

????(X?u?Y?v?Z?w)dV???(X?u?Y?v?Z?w)dS (8.2-3)

V式(8.2-3)即为虚位移原理的位移变分方程，也称为拉格朗日(Lagrange)变分方程，有时也称为虚功方程。

因此，虚位移原理可叙述为：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。 现详细证明如下：

若在虚位移原理的变分方程(8.2-3)中，因给定位移的部分表面Su上?ui?0，而在给定面力的部分表面S?上，边界条件?ijnj?Fi成立。则式(8.2-3)中右边对

S?的积分可以写为对整个物体表面S的积分，即有

?W??fi?uidV??Fi?uidS??fi?uidV???ijnj?uidS (8.2-4)

VS?VS 195

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运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有

??(?x?u)?(?y?v)?(?z?w)????dV???S(?x?ul??y?vm??z?wn)dS (8.2-5) ???V??x?y?z??其中l,m,n为外边界法线方向单位矢量ｎ的方向余弦，即

l?cos(x,ｎ)， m?cos(y,ｎ)， n?cos(z,ｎ)

注意到

??x??(?x?u)???(?u)?dV??udV??xdV????xl?udS ???V?????????V?xV?S?x?x????以及

??xy????xy?????v??u?dV??????v??u?dV????xy(l?v?m?u)dS ???V?xy?VS?y??y??x??x?其余的类似，因此由以上两式可得

?(?ij?ui),jdV???ijnj?uidS (8.2-6)

VS式中nj?l,m,n。将式(8.2-6)代入式(8.2-4)，有

?W??fi?uidV??(?ij?ui),jdVVV

??fi?uidV??(?ij,j?ui??ij?ui,j)dV (b)

VVV??(?ij,j?fi)?uidV???ij?ui,jdVV当物体处于平衡状态时，因为

?ij,j?fi?0

所以式(b)中笫一项积分为零。又因

?ij??ji,所以有

??ij?(?ui,j??uj,i)

12?ij?ui,j??ij??ij

于是由式(b)得

?W???ij??ijdV

V将上式与式(8.2-2b)比较可知，有

?W??U

以上证明说明，当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。

196

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另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知

??x??

??xy?u???(?u),???x?x?? (c) ?u?v????(?)?(?v)?(?u),????y?x?x?y?将式(c)代入(8.2-2a)，经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个关系式

???V(?x??x)dV?????x??x??(?u)dV????(?x?u)dV?????udVVVV?x?x?x (d)

??x????xl?udS?????udVSV?x以及下列形式的三个关系式

????(???)dV??(?v)?(?u)?dV???Vxyxy???Vxy??x?y?? (e)

??xy??xy????xy(l?v?m?u)dS????(?v??u)dVSV?x?y将式(d)、(e) 所表示构六个关系式代人(8.2-2)式，则得

?U????(?x??x??y??y??z??z??xy??xy??yz??yz??zx??zx)dVS???(?xl??xym??xzn)?u?(?yxl??ym??yzn)?v?(?zxl??zym??zn)?wdS??yx??y??yz??x??xy??xz????[(??)?u?(??)?vV?x?y?z?x?y?z??zx??zy??z?(??)?w]dV?x?y?z将式(f)代入式(8.2-3)，并加以整理，得

?V? (f)

??yx??y??yz??x??xy??xz???V[(?x??y??z?X)?u?(?x??y??z?Y)?v??zx??zy??z?(???Z)?w]dV???[(?xl??xym??xzn?X)?u

S?z?y?z?(?yxl??ym??yzn?Y)?v?(?zxl??zym??zn?Z)?w]dS?0因为虚位移?u,?v,?w各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。因而证明

?W??U是物体处于平衡状态的充分条件。

从以上讨沦可知，虚位移原理变分方程(8.2-3)式等价于平衡方程与应力边界条

197

第八章 能量原理及其应用

件。因此，满足变分方得(8.2-3)式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。所以，虚位移原理也可表述为：变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。

应当指出，式(8.2-3)等号左边表示，由于产生虚位移?ui而引起物体内产生了虚应变能。这种虚位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便—种位移函数。也就是说。式(8.2-3)中的虚应变??x,?,??xy?不是别的什么虚应变，而是由?u,?v,?w引起的，即它们之间满足下列条件

1??ij?(?ui,j??uj,i) (8.2-7)

2此外，位移ui在己知位移边界Su上还应满足ui?ui，因此在己知位移边界Su上虚位移应为零，即

?ui?0 (8.2-8) 式(8.2-7)和(8.2-8)为方程(8.2-3)式的附加条件。因此，在应用虚位移方程式(8.2-3)时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位移?u,?v,?w能满足附加条件(8.2-7)式和(8.2-8)式，即应满足变形协调条件和几何边界条件。

应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理既适用于线弹性体、非线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。

例8.1 如图8.2所示跨长为l，抗弯刚度为EI，受分布荷重q(x)作用的简支梁，试用虚位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。

解: 梁在平衡状态时，如果产生一虚 位移?w，由虚位移原理

?U??W (1)

此处 ?U??[??x??xdA]dx (2)

0Al 由材料力学知，有 图8.2 受均布荷重简支梁

?x??zw\,根据变分法则知

??x??z?(w\)??z(?w)\ (4) 将式(3)、(4)代入式(2)并整理后，得

?x??Ezw\ (3)

?U??l0??Ezw?z(?w)dA?dx?EI?w(?w)dx

\\l\\A0对上式进行两次分布积分后，可化为

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第八章 能量原理及其应用

l?? ?U?EI?w\(?w)'l0?w(3)'?wl0??w(4)?wdx? (5)

0??外力所做虚功为

?W??q(x)?wdx (6)

0l将式(5)、(6)代入式(1)，则得

?EIw(4)?q(x)?wdx?EIw\(?w)'0l??l0?EIw(3)?wl0?0 (7)

由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求，所以边界条件为

x?0:x?l:?

?w?w?0??\?w?w\?0??考虑?w的任意灶，于是要使式(7)成立，必有

EIw(4)?q(x)?0 (8) 式(8)即为该梁的挠曲线微分方程。

例8.2 如图8.3所示受均布荷重q的简支梁，抗弯刚度为EI，跨中由弹性支

座支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微分方程。

解﹕ 由例8.1知，变形能经两次分部

积分后为

l?\?'l(3)'l ?U?2EI?w(?w)0?w?w0??w(4)?wdx?

0?? 图8.3 受均布荷重简支梁 令弹簧内的反力为R，则外力功为 ?W?2?q?wdx?R?wc (9)

0l式中wc为梁在弹性支座C处的挠度。因?U??W，因此可由以上两式得 2?(EIw(4)?q)?wdx?2EIw\(?w)'0ll0?2EIw(3)?wl0?R?wc?0 (10)

于是，由式(10)可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为

(?w)'x?l?0,(?w)x?0?0,w\x?0?0

同时，考虑到?w除弹性支座处外，均为任意性，要使式(10)成立，必有

(?w)x?l??wc,挠曲函数必须满足

2EIw(3)x?l?R

EIw(4)?q?0

及

199

第八章 能量原理及其应用

wx?0?0,w,x?l?0。

2.2 最小势能原理

从位移变分方程(8.2-3)出发，可以导出虚功方程。假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计，则原来作用在物体上的体力X,Y,Z和面力X,Y,Z的大小与方向都保持不变。于是，按照变分原理，式(8.2-3)中变分的运算与积分的运算可以交换次序，故有

????(?x?x??y?y??z?z??xy?xy??yz?yz??zx?zx)dVV??????(Xu?Yv?Zw)dV???(Xu?Yv?Zw)dS?VS (g)

由第四章的(4.1-5a)知，有

?ij??U0 ??ij在式(g)中左边积分项中引入各向同性弹性体的广义虎克定律，并注意到

?ij?ij??x?x??xy?xy??xz?xz??yx?yx??y?y??yz?yz??zx?zx??zy?zy??z?z1222???????(?xy??yz??zx)22x2y2z

则有

U0?G?ij?ij?由第四章知，式中???x??y??z??ii。 在式(h)中代入应变位移关系，得

U0(u,v,w)????uE??u?v?w2?v?w?(??)?G?()2?()2?()2?2(1??)(1?2?)?x?y?z?y?z???xG??u?v2?w?v2?u?w2?(?)?(?)?(?)?2??y?x?y?z?z?x???2?2 (h)

(8.2-9)

当存在应变能U0(ui)时，式(g)可写为

????U0(ui)dV??V????(Xu?Yv?Zw)dV???(Xu?Yv?Zw)dS??0

VS于是有

??P??(U?W)?0 (8.2-10a) 也可写为

??P??(U?V)?0 (8.2-10b) 其中

200

第八章 能量原理及其应用

?p??[U0(ui)?fiui]dV??FiuidS (8.2-10c)

VS?附加条件为

ui?ui (在Su上) (8.2-10d) 式中?p称为总势能，V(=-W)称为外力势能，U称为弹性变形体的应变势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。式(8.2-10)说明，在给走的外力作用下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势能取驻值。下面进一步让明有真实的位移总是使物体的总势能取最小值。 对于稳定的平衡状态，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒为正。实际上可以让明，总势能量?P的二阶变分为正。为此，令ui'为变形许可的

'位移场，ui为真实解的位移场，与之相应的应变张量分别为?ij和?ij，于是当物体

有虚位移时，有

ui'?ui??u,'?ij??ij???ij

'将U0(?ij)进行泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶微量，可得

?U01?2U02 U0(?)?U0(?ij)? (k) ??ij?(??)ij2??ij2??ij'ij于是，变形许可状态的总势能与真实变形状态总势能之差为

' ?'p??p??U0(?ij)?U0(?ij)dV??fi?uidV??Fi?uidS (l)

VVS???因为

1 ?'p??p???p??2?p?? (m)

2由式(8.2-9)知

??p???U0dV??fi?uidV??Fi?uidS?0 (n)

VVS?比较式(k)，(m)可得

?2U01 ??p???U0dV????ij??kldV (q)

VV2??ij??kl22当??ij足够小时，式(q)必为正，因为如果令?ij?0，则?ij?0，则式(k)可化为

1?2U02 U0(??ij)?(??)ij22??IJ从而得

'?'p(?ij)??p(?ij)??2?p??U(??ij)dV

V 201

第八章 能量原理及其应用

由式(h)知，U0(?ij)为正定，所以 ?2?p?0,?'p??p (8.2-11)

上式表明如下一个原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。该原理称为最小势能原理。 物体在外力作用下所产生的位移场，除了满足位移边界条件外，还必须满足以位移表示的平衡力程以及应力边界条件。最小总势能原理说明，真实的位移除满足几何边界条件外，还要满足最小势能原理的变分方程。实际上以上已经证明．变分方程(8.2-3)完全等价于平衡力程与应力边界条件。同样的结论也适用于式(8.2-9)。用最小势能原理和用泛定方程求解边值问题，只是形式上不同。以后将看到，这种解题手段的变更，在不少情况下．将带来很大的力便，同时也扩大Ｉ解题的范围。

由最小总势能原理可导出熟知的卡氏(Castigliano)第一定理：当应变能U0 用广义位移表示为U0(?i)对，则广义力Fi=?U0(?i)/??i。

例8.3 试由最小势能原理，弄略去剪应力影响，导出图8.2所示梁的挠曲线方程。

解:根据应变能密度和虎克定律，梁的变形能为有

12?xdxdydz (1) U??U0dV????V2EV由材料力学知，其中

My, ?x?Id2wM??EI2，dxI???y2dzdy (2)

A将式(2)代入式(1)，经整理后得

1ld2w2 U??EI(2)dx (3)

20dx外力功为

W??qwdx

0l根据最小势能原理??P??(U?W)?0的变分量为?w，并注意到 dwd?w'??()??w?(?w)'

dxdx?EI(w\)2?2EIw\(?w)\?2EIw\?(w\)

因而

202

第八章 能量原理及其应用

??p??EIw(?w)dx??q?wdx (4)

00l\\l将上式等号右边第一项分部积分两次，可得 ?EIw\(?w)\dx?EIw\(?w)'0ll0?EIw(3)?wl0??EIw(4)?wdx (5)

0l对于简支端，有边界条件为 EIw\(?w)'ll0?EIw\?wl0?0 (6)

将式(5)代入式(4)，并注意到(6)，得

?(EIw0(4)?q)?wdx?0

由于?w任意性，因此有

EIw(4)?q?0

上式即为梁的挠曲线方程。

8.3 位移变分法的应用

基于虚位移原理的位移变分力程，提供了以位移作为基本未知数的弹塑性力学问题的近似解法。瑞利—里兹(Rayleigh-Ritz)和伽辽金(Galerkin)提出了各自解法，现分别介绍如下： 3.1 瑞利—里兹法

当给定面力和几何约束条件时，可以利用位移变分方程求解。因此时应力边界条件和位移边界条件为已知，由虚位移原理或最小势能原理所导出的变分方程(8.2-3)和(8.2-10a)均等价于平衡方程和应力边界条件，所以采用式(8.2-3)和(8.2-10a)求解肘，所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件，只需满足位移边界条件。 设位移函数为

?u?u0??akuk(x,y,z)?k?1?n? v?v0??bkvk(x,y,z)? (8.3-1)

k?1?n?w?w0??ckwk(x,y,z)?k?1?n式中，ak,bk,ck为未知的待定的常数，u0,v0,w0满足边界条件，即在已知位移边界

203

第八章 能量原理及其应用

Su上，应有

u0?u,知位移边界Su上满足

v0?v,w0?w

而uk(x,y,z),vk(x,y,z),wk(x,y,z)(k?1,2,?,n)为坐标线性独立的识定函数，且在己

uk(x,y,z)?vk(x,y,z)?wk(x,y,z)?0,(k?1,2,?,n)

这样，无论n如何取值，位移函数总是能满足位移边界条件。

由于uk(x,y,z),vk(x,y,z),wk(x,y,z)是设定的已知函数，因此对位移进行一阶

变分时，只需对系数ak,bk,ck取一阶变分，即

?u??uk(x,y,z)?ak，?v??vk(x,y,z)?bk,k?1k?1nn?w??wk(x,y,z)?ck (a)

k?1n将式(8.3-1)代入虚位移原理变分方程(8.2-3)或最小势能原理变分方程(8.2-9a)，由?ak,?bk,?ck的任意性，可得确定全部系数ak,bk,ck的线性代数方程组。例如，将式(8.3-1)代入式(8.2-10a)，可得

???U??U?U??????a??b??ckkk????(ukX?ak?vkY?bk?wkZ?ck)dV??aV?bk?ckk?1??k ?n???ukX?ak?vkY?bk?wkZ?ck??0S??式中系数?ak,?bk,?ck的变分是完全任意的，彼此无关。于是，将上式整理后得

??U?XukdV???XukdS?S?ak???V???U?Yvkdv???YvkdS? (8.3-2) S?bk???V???U?ZwkdV???ZwkdS?S?ck???V?由应变能函数表达式(8.2-9)及位移分量表达式(8.3-1)可知，应变能U应是待定系数ak,bk,ck的二次函数，因而式(8.3-2)将是各个待定系数的线性方程组，共有3n个方程。从方程组(8.3-2)可解全部系数ak,bk,ck后，即可由式(8.3-1)求得位移分量。式(8.3-2)也可写为

??0??ak????p? ?0? (k?1,2,?,n) (8.3-3)

?bk????p?0???ck???p 204

第八章 能量原理及其应用

这一方法称为瑞利-里兹法，也称为里兹法。

选择合适的u0,v0,w0和uk,vk,wk，以及项数n，可以获得精确度较高的位移解。

将求得的位移代入用位移表示的应力表达式，在计算应力分量时需对位移求导，通常近似解的精度往往会因求导而降低，因此应力近似解的精度一般都较差。这是因为应力分量并不精确地满足平衡方程，只是满足平衡方程与一个加权函数ui乘秋的积分为零的条件，即

??P???????V(?ij,j?fi)uidV???S(?ijnj?Fi)uidS???0

???要提高精度，只有增加式(83.3-1)中位移函数的项数n，当项数n??时，则其解将收敛于精确解。 3.2 伽辽金法

如果选择的位移因数表达式(8.3-1)，不仅能满足位移边界条件，还能满足应力边界条件，那么变分方程(8.2-3)或(8.2-10a)为

?U??W

或

?U0???V??ij??ijdV????Vfi?uidV???SFi?uidS????V?ij?ui,jdV (8.3-4)

????ijnjdS?????ij,j?uidVSV注意到所取位移函数满足应力边界条件，因此由上式得

???(?Vijj,?fi)?uidV?0

即

????x??xy??xz????yx??y??yz???????V???x??y??z?X??u???x??y??z?Y???v?????????zx??zy??z????????Z??w?dV?0??y?z????x? (b)

将式(b)展开为三个方程，则每个方程均含有n个积分，并注意到变分关系式(a)和?ak,?bk,?ck为任意值，所以耍使式(b)成立，则只能每个积分式均等于零，于是可得

205

第八章 能量原理及其应用

????x??xy??xz??????XudV?0????V??x?y?z?k???????yx??y??yz??????YvdV?0 ???V?? (k?1,2,?,n) (8.3-5) ?k??x?y?z???????zx??zy??z??????V???x??y??z?Z?wkdV?0????对于各向同性弹性变形体，将以上三个方程中的应力分量，通过广义虎克定律方程(4.2-14b)、几何方程(3.2-9)转换用位移分量表示，可得

?E?1????V??2(1??)?1?2??E?1? ????V2(1??)?1?2????E?1????V?2(1??)?1?2?????????2u??X?ukdV?0??x????????2???v??YvdV?0??k??y???????2???w??Z?wkdV?0???z????k?1,2,?,n? (8.3-6)

式中???u?v?w。由式(8.3-1)可知，位移分量u,v,w是系数ak,bk,ck的线性???x?y?z函数，所以式(8.3-5)和式(8.3-6)将是这些系数的线性方程组。求解此方程组，可解得3n个系数，从而由式(8.3-1)求得位移分量。这个方法称为伽辽金法。

比较以上两种基于虚位移原理的近似计算方法可知，在位移函数的选择上，伽辽金法比瑞利-里兹法更为严格，它不仅要满足位移边界条件，还必须满足应力边界条件；但在应用上伽辽金法比较方便，因为可不必导出泛函。仅根据熟知的平衡方程就能列凼伽辽金方程。

例8.4 如图8.4所示受均布荷重悬臂梁，梁跨长为l，抗弯刚度为EI，试根据初

等理论，不计体力和用瑞利-里兹法和伽

辽金法分别求梁的挠度和固端弯矩。

解：(1) 瑞利-里兹法求解

当不计剪切对挠度的影响，现设

挠曲线方程为

图8.4 受均布荷重悬臂梁 w(x)?a(1?cos上式满足固定端条件

?x2l) (1)

w(0)?0,dw?0 dxx?0 206

第八章 能量原理及其应用

由初等理论知，梁的弯矩为

d4w??xM(x)??EI4?EI()2acos

2l2ldx梁的变形能为

1l21l??2?x?EI?42?M(x)dx?EI2acos?dx?a (2) U?3????002EI2EI?4l2l?64l2对于本问题，应用瑞利-里兹法，位移函数表达式(8.3-1)仅保留第三式，又因所选位移函数式(1)满足边界条件，所以相应的线性方程组(8.3-2)也仅保留第三式。在不计体力的条件下，该式成为 l?U?x??q(1?cos)dx (3)

0?a2l将式(2)代入式(3)后，并求解可得

ql4322(1?) (4) a?4??EI将式(4)代入式(1)，得梁的挠曲线表达式为

ql4322?x(1?)(1?cos) (5) w(x)?4?2l?EI最大挠度发生在x?l处，即

wmaxql4322ql4?4(1?)?0.1194

?EI?EIql4ql4??0.125误差仅为4.5%。 8EIEI这个结果与材料力学解解wmax 利用

d2w8ql22?xM(x)??EI2??2(1?)cos

?2ldx?可得

Mmax?Mx?0??8ql2?2(1?2?)??0.2945ql2

ql2与精确解MX?0????0.5ql2相比，误差达41%。

2

207

第八章 能量原理及其应用

如果取挠曲线函数为

w(x)?a1(1?cos?x2l)?a2(1?cos3?x) 2l此式也能满足前述边界条件。

2????2?x?3??3??M(x)?EI???a1cos???a2cos?

2l?2l?2l????2l??22EIl?????x?3??3??EI?322 U?acos?acosdx?a?27a??????12122?02?2l?2l?2l?32l??2l??2??根据瑞利-里兹法

l?UEI?3?x?a?q(1?cos)dx1?0?a132l32l???? 3l?U27EI?3?x??a?q(1?cos)dx2?0??a22l32l3?解以上联立方程，可得参数为

ql4322a1?4(1?)，??EIql4322a2?4(1?)

3??27EI故挠曲线为

32ql4w(x)?4?EI??2???x?1?2??3?x??1?1?cos?1?1?cos????????? ??2l273?2l??????????则最大挠度和最大弯矩分别为

ql4?w(l)max?0.129?EI?

M(0)max??0.318ql2?? 由上式可见，无论挠度还是弯矩，其精度均有所提高，但弯矩提高不大明显。如果将挠曲函数的项数增加，则随项数的增大，无论是挠度值还是应力值均会逐步接近精确值。 (2)伽辽金法解

依据伽辽金法位移函数不仅要满足位移边界条件，而且还要满足静力边界条件，因此设想取挠曲线函数为

w?a(x4?Ax3?Bx2) (6) 由梁固定端位移边界条件w(0)?0,dw?0，可知满足位移边界条件。同时满足dxx?0208

第八章 能量原理及其应用

静力力边界条件。再由自由端的静力边界条件，w\(l)?w'\(l)?0，可解得

A??4l,因此，梁的挠曲线函数为

B?6l2

w(x)?a(x4?4lx3?6l2x2) (7) 由伽辽金方程(8.3-5)知，因在x,y方向无外载荷，又由初等理论知，第一、二式自动满足，因此(8.3-5)式化为

???zx??ZwkdV?0 ????V??x??即

??(FS)z??q??wkdx?0 ?0??x?l式中?FS?z系梁中的剪力,wk?(x4?4lx3?6l2x2)。再由材料力学知

EIw(3)??FS(x)，所以上式化为

?(?EIw(4)?q)(x4?4lx3?6l2x2)dx?0 (8)

0l将式(6)代入式(7)，并积分后得

a?q 24EI将它代入式(6)，最后得挠曲线表达式、是大挠度和最大弯矩分别为

qw(x)?(x4?4lx3?6l2x2)

24EIw(l)maxql4? 8EIM(0)maxd2wql2??EI2??

2dx这个结果与材料力学结果完全相同。

209

第八章 能量原理及其应用

8.4 虚应力原理和最小余能原理

虚位移原理是从位移变分出发可直接求出位移分量。但在工程实际问题中，往往感兴趣的是直接得到表征结构强度的应力分量。而位移变分法得到的位移分量，必须通过几何方程和本构方程求出烹形体内的应力分量，在计算过程中因需经多次微分往往会产生较大的误差。为此，真接以应力分量为未知数求解变形体问题的应力法便具有重要的价值。同时，对一些特殊的问题，例如，平面问题，柱体扭转等，可以引进应力而数，此时应力法更具有极大的方便。 4.1 虚应力原理

对于处于平衡状态的变形体应用变分原理时，取虚位移?ui，即对位移分量进行变分，这些位移的变分必须是几何上可能的。为此，引入虚应力概念。所谓虚应力是满足平衡方程及指定的力边界料的、任意的、微小的应力。虚应力记为??ij，即对应力分量进行变分，这些应力的变分必须是静力上可能的，即经变分后，新的应力分量必须满足平衡方程和应力边界条件。

设?ij为实际存在于变形体内的应力分量，则它应该满足平衡方程，应力边界

条件和应力协调条件。现让这些应力分量发生静力许可的微小变化，得到新的应力分量为

' ?ij??ij???ij (a) 它们必须满足平衡方程和应力边界条件，于是新的平衡方程为

??(?x???x)?(?xy???xy)?(?xz???xz)???X?0??x?y?z???(?yx???yx)?(?y???y)?(?yz???yz)? ???Y?0? (b)

?x?y?z???(?zx???zx)?(?zy???zy)?(?z???z)???Z?0???z?y?z?式中X,Y,Z为给定的体力，设想没有改变。将式(B)与发生应力变分前的平衡方程相减，得

????(??x)?(??xy)?(??xz)?0??x?y?z????? (??yx)?(??y)?(??yz)?0? (8.4-1)

?x?y?z?????(??zx)?(??zy)?(??z)?0??x?y?z? 210

第八章 能量原理及其应用

变形体的表面分为两帝分，即给定面力的部分表面S?和给定位移部分的表面Su。在表面力没有给定的边界Su上，由于应力分量的变化，表面力也发生相应的变化，即?X,?Y,?Z。新的表面力变成

X??X,Y??Y,Z??Z

因此，新的应力分量在此边界面上应满足边界条件，即

(?x???x)l?(?xy???xy)m?(?xz???xz)n?X??X???(?yx???yx)l?(?y???y)m?(?yz???yz)n?Y??Y? (c)

?(?zx???zx)l?(?zy???zy)m?(?z???z)n?Z??Z??将式(c)与原边界条件式相减，得

l??x?m??xy?n??xz??X?? l??yx?m??y?n??yz??Y?? (8.4-2)

?l??zx?m??zy?n??z??Z??此外，对于表面力已给定的边界S?上，表面力不能变化，即

?X??Y??Z?0

故应力变分在该边界上应满足的条件为

l??x?m??xy?n??xz?0?? l??yx?m??y?n??yz?0? (8.4-3)

?l??zx?m??zy?n??z?0?因此，为了使应力变分是静力许可的，它必须满足式(8.4-1)、(8.4-2)和式(8.4-3)。于是，应力余能的变分，参照(8.1-4)式或(8.2-2a)可写为

?U'????V(?x??x??y??y??z??z??xy??xy??yz??yz??zx??zx)dV (d)

将几何方程代入上式，得

?u?u?v??x???(?)??xy??]dV (e) ?x?y?x ?U'????V[将上式内各项进行分部积分并利用格林公式，得如同下列形式的三个关系式

???V(?u????x)dV????(u??x)dV????u(??x)dVV?xV?x?x (f)

????ul??xdS????u(??x)dVSV?x和如同下列形式的另外三个关系式

211

第八章 能量原理及其应用

???V(????v?u??)??xydV???(vl?um)??xydS?????v(??xy)?u(??xy)dV? (g) sV?x?y?y??x?将式(f)、(g)代入式(d)，得

?U'???[u(l??x?m??xy?n??xz)?v(l??yx?m??y?n??yz)S???(??x?(??xy)?(??xz)](g)

V?x?y?z???????v[(??yx)?(??y)?(??yz)]?w[(??zx)?(??zy)?(??z)]}dV?x?y??x?y?z?w(l??zx?m??zy?n??x)]dS????{u[由式(8.4-1)知，上式中对体积的积分项为零；并注意在已知表面力的边界S?上，应满足式(8.4-3)，而在已知位移的边界Su上，因u?u,v?v,w?w，且在该边界因虚应力产生的附加面力应满足式(8.4-2)。因此，由式(8.3-2)可知，上式可简化为

?U'???S(u?X?v?Y?w?Z)dS (f)

u该变分方程等式的右边部分表示表面外力的增量?X,?Y,?Z与实际位移

u,v,w所作的功,同时注意式(d)，因而式(f)可写为

???(?????????????

???(u?X?v?Y?w?Z)dSVxxyyzzSuxy??xy??yz??yz??zx??zx)dV (8.4-4)

式(8.4-4)表示虚应力原理，又称虚功原理，表述为：当物体在已知体力和面力作用下处于平衡状态时，微小虚面力在实际位移所作的虚功，等于虚应力在真实应变所产生的虚应变余能。显然，式(8.4-4)成立的附加条件为式(8.4-1)和式(8.4-3)。该两式可简写为

??(??ij),j?0????Fi?0(在V内)(在S?上)

由以上讨论可以看出，虚应力原理和虚位移原理在形式上是互补的。和虚位移原理一样，虚应力原理的成立也与材料的本构关系无关。

应当指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为虚位移原理是对系统平衡的要求；而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以可把虚应力原理看作是对物体变形协调的要求。实际上，由虚应力原理的变分方程(8.4-4)不难导出变形协调方程，这就是说式(8.4-4)等价于应变协调条件。于是，按式(8.4-4)解题时，对于所设解答，不必预先满足变形协调条件，只须使虚应力

??ij满足物体的平衡方程和应力边界条件。

212

第八章 能量原理及其应用

4.2 最小余能原理

由虚应力原理可直接导出最小总余能原理。为避免混乱，今后把用应变表示的弹性应变能函数U(?ij)称为应变能函数，或应变能；而把用应力表示的应变余能函数称为余应变能函数，或余变余能(或应力能)，记为U'(?ij)。如在虚应力原理中引进广义虎克定律，并认为应变状态是有势的，应变分量可由余应变能函数导出，即

'?U0(?ij)?ij?而

??ij

'?U0??ij??ij

于是由上式可知，总的应变余能的变分为

'?U'?????U0(?ij)dV?????ij??ijdV

VV因此，式(8.4-4)可化为

???V?U0'(?ij)dV???S(u?X?v?Y?w?Z)dS?0 (8.4-5a)

u如果存在虚应力时，在边界Su上，位移分量应保持不变。于是可将上式中的变分符号置于积分号外，即

'U(?ij)dV???(uiFi)dS??0 (8.4-5b) ??0????V?S?u?其中Fi是在已知位移边界由虚应力引起伪附加表面面力。显然，在此情况下附加条件为

(在V内)?? ? (8.4-6)

?ijnj?Fi?0(在S?上)??如果令变形体的余能为

'?'P????U0(?ij)dV???uiFidS

VSu?ij,j?fi?0则有

??'P?0

上式说明，在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取极值。进一步还可证明

?2?'P?0

因此，最小余能原理可表述为：在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取最小值。

213

第八章 能量原理及其应用

最小余能原理和最小势能原理均适用于线性和非线性弹性体。

由于真实的应力场既满足平衡方程，应力边界条件，又满足变形协调条件。可见，最小余能原理因真实的应力场满足平衡方程，应力边界条件，以及使余能取最小值的条件，所以最小余能原理与变形协调条件等价。 下面指出最小余能原理的特殊情形。

当物体全部表面力给定，则面力的变分为零，由式(8.4-5)得

??'P??U'?0 (8.4-7) 式(8.4-7)称为最小功原理。该原理可表述为：若物体的面力给定，则在所有满足平衡方程和边界条件的应力场中，真实的应力场必使余应变能取最小值。＂寸于线弹性体，因余应变能与应变能相等，因此又称(8.4-7)式为最小应变能原理。当最小余应变能原理用于线弹性力学问题则可导出熟知的卡氏第二定理。

8.5 应力变分法与应用

基于与位移变分法类似的思想，通过应力变分方程，以应力分量作为基本未知数，取得变形物体的近似解答。 5.1应力变分法

应力变分法是设定某一个应力分量表达式，其中包含了若干待定常数，使其满足平衡方程和应力边界条件，然后通过应力变分方程决定这些常数。 帕普考维奇(Πапковиц，Π.Φ)建议取应力分量为

nn?x????Ak?,0xkxk?1n0k??Ak?y, ?y??yk?1nk?xy????Ak?xy?0xyk?1n??yz?zx?z????Ak?zk,0zk?1?0k???yz??Ak?yz? (8.5-1)

k?1?n?0k??zx??Ak?zx?k?1?00其中，?x,?,?xy,?是选定的满足平衡方程和应力边条件的设定函数，而kk?x,?,?xy,?是选定的满足体力为零的平衡方程和面力为零的应力边界条件的设

定函数，Ak是n个独立的待求系数。于是，不论常数Ak取何值，式(8.5-1)中的应力分量?x,?,?xy,?总能满足平衡方程和应力边界条件。如前所述，像对位移的变分一样，对式(8.5-1)应力分量的变分也是通过对待定常数Ak变分来实现。至于各个设定的函数，则仅是给定坐标位置x,y,z的函数，与应力的变分无关。因此，有

214

第八章 能量原理及其应用

??x????Ak,kxk?1nk?Ak, ??y???yk?1nnk??xy???xy?Ak?k?1nn???yz??zx??z???zk?Ak,k?1??k???yz?Ak? (8.5-2) k?1?n?k???zx?Ak?k?1? 对于应力变分方程(8.4-4)和(8.4-5)有两种可能情况； (1) 当给定面力或给定位移为零时，由最小功原理，有

?U'?0

?U'?U'?U'?U??A1??A2????An?0

?A1?A2?AN'根据?A1,?A2,?,?An的任意性，可得

?U' ?0,?Ak(k?1,2,?,n) (8.5-3)

式(8.5-3)即为确定待定常数Ak的线性方程组。求得Ak后，则可获得问题的解。 (2) 当给定位移不为零时，应力变分方程为

?U'???(u?X?v?Y?w?Z)dS (a)

Su式中u,v,w是已知的表面位移，上述积分只在这部分边界进行，而这部分边界上，面力和应力两者的变分应服从式(8.4-2)，即

l??x?m??xy?n??xz??X?? l??yx?m??y?n??yz??Y?? (b)

?l??zx?m??zy?n??z??Z??将式(8.5-2)代入上式，并计算式(a)的积分，可求得

??(u?X?v?Y?w?Z)dS??Dk?Ak (c)

Suk?1n式中Dk为常数，由下式计算

kkkkkkkk Dk???u?xl??xym??xzn?v?yxl??ym??yzn?w?zxl??zyn??zk?dS (d)

Su????n???另一方面，有

?U' ?U???Ak (e)

k?1?Ak' 215

第八章 能量原理及其应用

将式(c)，式(e)代入式(a)，并考虑到?Ak的任意性，得

?U' ?Dk,?Ak(k?1,2,?,n) (8.5-4)

式(8.5-4)仍是待定常数的线性代数方程式。

由以上分析可知，对于所选定的应力分量同时满足平衡方程和应力边界条件往往是十分难办到的。但在巳经讨论过的问题中，如平面问题，柱体的扭转，应力分量是以应力函数表示，此时，用应力函数表示应力分量已经满足了平衡方程，余下的问题就是应力边界条件了。对于这类问题，求解时困难就少了，从而扩大了应力变分原理的应用范围。 5.2 应力变分法在平面问题中的应用

在平面问题中，应力分量为?x,?y,?xy，且各分量仅仅是x,y的函数，并不随坐标z变化。对于平面应力问题，如果在z力向取单位长度，则弹性体的应变余能表达式为

1222?x??y?2??x?y?2(1??)?xydxdy (8.5-5) ??2EAE?E对于平面应变问题，以代替，以代替?，可得 21??1??1??222(1??)(???)?2????2?dxdy (8.5-6) U'?xyxyxy2E??A U'????? 如果弹性体是单连体，体力为常数，且是应力边界问题，则应力分布与材料的弹性常数无关。此时，为了计算方便，可在式(8.5-5)和(8.5-6)中取??0，于是对于平面应力和平面应变两种情况下的弹性体的应变余能，可统一写成

1222????2?dxdy (f) U'?xyxy??A2E??当体力为常数时，根据式(6.2-4)，应力分量用应力函数?可表达为

??2??x?2?Xx??y?2???? ?y?2?Yy? (g)

?x?2????xy????x?y??将式(g)代入式(f)，则有

2222???????2???1????'????dxdy (8.5-7) U??Xx????Yy??2?22????????A2E???x???y???x?y???? 216

第八章 能量原理及其应用

设应力函数为

?(x,y)??0(x,y)??Ak?k(x,y),k?1n(k?1,2,?,n) (8.5-8)

式中：?0给出的应力分量满足实际的应力边界条件；?k给出的应力分量满足面力为零时的应力边界条件；Ak为互相独立的n待定常数。

如用线性代数方程组(8.5-4)求解，则可将式(8.5-8)代入(8.5-7)后，对Ak求偏导，并使其为零，即得

???2?????2????2?????????Xx???2?Yy?22???A?????A?A?y?y?x?????kk??

?2????2??????2??dxdy?0?x?y?Ak??x?y???解上述方程，则可决定待定常数Ak。 例8.5 矩形薄板在x??a的边界 上受到抛物线分布的拉力作用，其最 大集度为q，如图8.5所示。不计体 力，试用应力变分法确定板内的应力 分量。

??2?????x2???? (8.5-9)

解：边界条件为 图8.5 受抛物线分布拉力作用矩形薄板

x??a,y??b,?y2?x?(1?2)q，?xy?0?b? (1)

??y?0,?yz?0?由式(8.5-8)和式(1)，并考虑到结构与载荷的对称性，选应力函数?(x,y)为

12y2x22y222?(x,y)??0(x,y)??Ak?k(x,y)?qy(1?2)?qb(1?2)(1?2)26babk?1n

??x2y2x4x2y2y4???A?A?A?A?A?A??2345622424?1?abaabb?? (2a)

12y2显然，?0(x,y)?qy(1?2)满足应力边界条件式(1)。

26b 现进行一次近似计算，即取应力函数为

12y2x22y222 ?(x,y)?qy(1?2)?A1qb(1?2)(1?2) (2b)

26bab 注意到?为x,y的偶函数，于是式(8.5-9)化简为

217

第八章 能量原理及其应用

4?a0?b0??2????2???2????2???2????2??????2???2???2?dxdy?0 2?2??????x?y?A1??x?y????y?A1??y??x?A1??x?将(2b)式代入上式，积分并整理后得

?64256b264b4?A1??7?49a2?7a4???1 ??对于a?2b的矩形板，由上式得

A1?0.09074

将A1代入式(2)，则应力函数为

12?y2?(x,y)?qy??1?6b22??x22??qb???0.09074?1?a2??????2?y2??1?b2???? ?2相应的应力分量为

?y2?x?q??1?b2???x2?q???0.36296?1?a2??????22?3y2??1?b2??3x2??y2??y??0.36296q??1?a2????1?b2???????x2??y2?xy?xy??1.45184q??1?a2????1?b2??a2?????????????? ?????在板小心处x?y?0，得到应力为

??如果所选应力函数的项数适当增加，则精度也会相应提高。

?x?0.63704q???y??0.36296q?

?xy?05.3 应力变分法在柱体扭转问题中的应用

对于实心等截面直杆，在两端受到等值反向的扭矩作用时，每一横截面上将产生相同的剪应力?zx,?zy，而其他的应力分量?x??y??z??xy?0，故应变余能的表达式可写为 U'?1??E?????V2zx2??zydxdydz (8.5-10)

?由式(7.1-9)知，式中?zx,?zy可用应力函数表示为 ?zx???，?y?zy???? (h) ?x 218

第八章 能量原理及其应用

由于各个横截面具有相同的剪应力分量，令柱体长度为l，则上式的积分只须在横截面内进行，因此应变余能可改写成

22????(1??)l??????'? U???????dxdy (i) ????AE?x?y????????于是，应变余能的变分为

22???(1??)l???????'? ?U??????????dxdy (j) ??AE?x???y??????对于虚面力在位移上所做的功，由于柱体的侧面没有面力作用，不存在面力的变分，因此只须计算端部虚面力所作的功。端部上的面力不管它们分布如何，

只要其合成后等于扭矩MT，就满足了圣维南原理的条件。因此，可以认为它们不是给定的，可以允许变分。令柱体单位长度的相对扭转角为?，则两端面的相对扭转角万l?。因此，虚面力在实际位移上所做的功为l??MT。利用式(7.1-13)，并注意到G?E于是有

2(1??)A ??u?X?v?Y?w?Zdxdy?2l?????dxdy (k)

A??将式(j)和式(k)代入应力变分方程(8.4-5a)，则可得

22???1??????????? ???????????2G????dxdy?0 (8.5-11) ??y?A2?x????????????式(8.5-11)即为应用于柱体扭转时的应力变分方程。 在求解柱体扭转时，设应力函数为

?(x,y)??Ak?k(x,y) (8.5-12)

k?1n式中Ak为互相独立的n个待定常数。为使应力函数??x,y?在横截面的周边上均等于零，就必须使设定的函数?k(x,y)在截面的周边上为零。现令式(8.5-11)中的积分为

22??????1????????' ?p??????????2G?????dxdy (8.5-13) ??A2?x?y????????????将式(8.5-12)代入上式，并经变分后，可得

????'pk?1n??'p?AK219

?Ak?0

第八章 能量原理及其应用

注意到?Ak的任意性，于是可得

??'p?Ak?0，(k?1,2,?,n)

将式(8.5-13)代入上式，并求导后，可得

?????????????????? ???????2G????dxdy?0 (8.5-14) ??A?x?A?y?Ak??y??Ak?k??x??于是由上式即可求得Ak。

例8.6 横截面尺寸为2a?2b的矩形截面 棱体如图8.6所示，受自由扭转，试用应力变 分法计算单位扭转角和最大剪应力。

解：矩形截面的边界x??a,y??b处，扭 转应力函数?为零，并考虑到应力函数应对称 于ox轴和oy轴，因此可选取应力函数为

?(x,y)?(x2?a2)(y2?b2)(A1?A2x2?A3y2??) 图8.6 矩形截面棱柱体

(1) 作为第一次近似，取应力函数为

?(x,y)?A1(x2?a2)(y2?b2) (2) 将式(1)代入式(8.5-14)，得

???4Axab?a?b12(y2?b2)2?4A1y2(x2?a2)2?2G?(x2?a2)(y2?b2)dxdy?0

?将上式积分后，解得

A1?5G? 224(a?b)将它代入式(2)，则一次近似的应力函数为

?(x,y)?5G?2222(x?a)(y?b) 224(a?b)3于是，根据式(7.1-13)和上式，则有

?b???ab40?a?4 MT?2???dxdy?aG? (3) 2?a?b9?b?1????a?由式(3)求得单位长度扭转角为

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第八章 能量原理及其应用

??b?2?9MT?1?????a????? ?? (4) 240abG根据式(h)可求得剪应力分量，而最大剪应力发生在长边(b?a)中点处，其值为 ?max??zy?9MT (5)

16a2bx??a,y?0当受扭棱柱体为正方形(a?b)时，有 A1?5G?,8a2MT?20G?a4?2.222G?a4，9?max?9MTMT?0.563 (6) 16a3a3MT，与式(6)比较，3a正方形截面棱柱体的精确值为：MT?2.25G?a4,?max?0.601误差分列为-1.2%，和-6.3%。

如在式(1)所示应力函数取待定系A1,A2,A3，对正砂截面柱体扭转作二次近似计算，则经类似运算，可得

1295G????2216a2?

525G??A2?A3?4432a4??A1?求得扭矩和最大剪应力分别为

MT?2.246G?a4,?max?0.626MT 3a与精确值相比较，误差分别为-0.18%和4.2%。由此可见，其精度有所提高，但计算量也增大很多。

8.7 最大耗散能原理

塑性变形的重要特征是它的不可恢复性。当物体的应变状态发生变化时，其应变能也要改变。其中，弹性应变能增量储存在物体内部，而塑性应变能增量将全部耗散掉。将与应力在塑性应变增量上所做的功相对应的那部分应变能称之为耗散能。对于刚塑性材料而言，当有塑性政变增量时，单位体积的耗散能增量为 ?W?s1d?1?s2d?2?s3d?3?sid?i (8.6-1) 其中si(i?1,2,3)为主应力偏量，对应的应力状态?ij满足屈服条件，d?i为主应变增

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第八章 能量原理及其应用

量，且有d?i?d?ip。上式表示耗散能增量为应力偏量矢量OP与塑性应变增量矢量PQ标量积(图8.7)。故?W为一标量。

*现在考虑满足屈服条件的另一种应力状态?ij。对应于屈服曲线上的点P*。此

时．耗散能增量为

?W*?si*d?i (8.7-2) 或写为

*?W*?sijd?ij

于是两种应力状态耗散能之差为

?W??W*?(si?si*)d?i 在体积V内应有

*)d?ijdV ?W??W*??(?ij??ijV (8.7-3) 图8.7 塑性变形体的耗散能 根据德鲁克公设：对于处于某一应力状态的物体，缓慢加载后又卸载，在此加载与卸载循环中，如有塑性变形

**产生，则物体内附加应力所完成的塑性功恒为正。即(?ij??ij)d?ij?0。实际上，

对于对坐标原点为外凸的屈服面(图8.7)，有

*)d?ijdV?0 (8.7-4) ?W??W*??(?ij??ijV这就是最大耗散能原理。可叙述为，理想刚塑性材料的变形总是使耗散能取为最大的方式。

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