线性代数教案（正式打印版）

第（1）次课 授课时间（ ） 教学章节 教材和 参考书 第一章第一、二、三节 学时 2学时 1.《线性代数》(第4版)同济大学编 1. 教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义, 并会计算； 掌握n阶行列式的定义； 2. 教学重点：逆序数的计算； 3.教学难点：逆序数的计算. 1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

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基本内容 备注 第一节 二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ??a11x1?a12x2?b1 ax?ax?b2222?212用消元法,当a11a22?a12a21?0 时,解得 x1?a22b1?a12b2ab?a21b1,x2?112 a11a22?a12a21a11a22?a12a21令 a11a21a12a22?a11a22?a12a21,称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素a11,a21 换成常数项b1,b2 ,则可得到另一个行列式,用字母D1表示,于是有 D1?b1b2a12a22 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：b1a22?b2a21,这就是公式（2）中x1的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母D2表示,于是有 D2?a11b1a21b2 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：a11b2?a21b1,这就是公

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式（2）中x2的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 D1?x???1D ? 其中D?0 D?x?22?D??3x1?2x2?12?. 例1. 解线性方程组 ??2x?x?12?1?a11x1?a12x2?a13x3?b1?同样,在解三元一次方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2时,要用到“三?ax?ax?ax?b3223333?311阶行列式”,这里可采用如下的定义. 二、三阶行列式的定义 ?a11x1?a12x2?a13x3?b1?设三元线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2 ?ax?ax?ax?b3223333?311用消元法解得 定义 设有9个数排成3行3列的数表 a11a31a12a32a13a33 a21a22a23 a11D?a21a31a12a22a32a13记 a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33,a33

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称为三阶行列式,则 三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即 12?4例2. 计算三阶行列式 D??221111.(-14) ?34?2例3. 求解方程23x?0（x?2或x?3） 49x2??2x?y?z??2?例4. 解线性方程组 ?x?y?4z?0. ?3x?7y?5z?5?解 先计算系数行列式

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?2D?131114??10?12?7?3?56?5??69?0 ?75再计算 D1,D2,D3 ?2D1?054??51,D2?1?753111?2?21054?31,D3?135?211?7?250?5 得 x?D117DD531?,y?2??,z?3?? D23D69D69 第二节 全排列及其逆序数 引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？ 一、全排列 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）. 可将n个不同元素按1~n进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列. n个不同元素的全排列共有n!种. 二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序. 通常取从小到大的排列为标准排列,即1~n的全排列中取123?(n?1)n为标准排列.

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逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列. 例1: 讨论1,2,3的全排列. 全排列 逆序数 奇偶性 123 0 231 2 偶 312 2 132 1 213 1 奇 321 3 逆序数的计算：设p1p2?pn为123?(n?1)n的一个全排列,则其逆序数为 t?t1?t2???tn??ti. i?1n其中ti为排在pi 前,且比pi大的数的个数. 例2：求排列54321的逆序数. 解：t?0,t2?1,t3?2,t4?3,t5?4,t??ti?10. i?1n(对于逆序数的计算介绍另一种算法) 第三节 n阶行列式的定义 下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式. 二阶行列式 a11a21a12a22?a11a22?a12a21 a11a21a12?a11a22?a12a21??(?1)ta1pa2p. a2212其中： ① p1p2是1,2 的全排列,②t是p1p2的逆序数,③?是对所有1,2的全排列求和.

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三阶行列式 a11D?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33 其中:①p1p2p3是1,2,3的全排列,②t是p1p2p3的逆序数,③?是对所有1,2,3的全排列求和. a11a21a31a12a22a32a13a23??(?1)ta1pa2pa3'p. a3312n其中:① p1p2?pn是1,2,?,n的全排列,②t是p1p2?pn的逆序数, ③?是对所有1,2,?,n的全排列求和. 0001002003004000 例1.计算对角行列式: (24) 例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是?i,未写出的元素都为0） ?1?2???1?2??n, ?1?2????1?n?n?1?2?1?2??n ?n?n证明: 按定义式 ?1?2???1?2?3??3??1?2?????1?2??n ?n?n?n

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?1?2????1?1?n?2?1?n?3????1?1?n??1?1?n?1?1?2?n?3??n?????1?n?n?1?2?1?2??n 例3.证明下三角行列式 a11D?a21?an1a22??an2?ann0?a11a22?ann. 证明:按定义式得 a22aD?a1132?an2a33??an3?ann0a33?a11a22a43?an3?0???a11a22?ann. an4?ann以上,n阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.

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小结： 回顾和小结 1. 二三阶行列式的定义； 2. 全排列及其逆序数； 3. n阶行列式的定义。 思考题： 1?231.计算三阶行列式 D?7?89 复习思考题或作业题 4?562.求排列54321的逆序数. 作业题： 习题一：第1（1,3）、2（2,4,6） 1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式； 实施情况及分析 2.对其逆序数等方面的应用有待加强.

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第（ 2 ）次课 授课时间（ ） 教学章节 教材和 参考书 1. 第一章第四、五节 《线性代数》(第4版)同济大学编 学时 2学时 教学目的：掌握对换的概念；掌握n阶行列式的性质，会利用n阶行列式

的性质计算n阶行列式的值； 2. 教学重点：行列式的性质； 3. 教学难点：行列式的性质. 1. 教学内容：对换；行列式的性质； 2. 时间安排：2学时； 3. 教学方法：讲授与讨论相结合； 4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

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基本内容 备注 第四节 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：a1?alabb1?b ——a1?albab1?b. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 定理2 ：n阶行列式为： a11a21a12?a13??(?1)tap1ap2?apn. 12na22?a23????an1an2?an1其中t为p1p2?pn的逆序数.

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（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n阶行列式也可定义为 a11a21a12?a13??(?1)tapqapq?apqn. 11212n1a22?a23????an1an2?an1其中p1p2?pn和 q1q2?qn是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 练习：试判断a14a23a31a42a56a65和?a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项. 第五节 行列式的性质 转置行列式的定义 a11a21记 D??an1a21?a1na22?a2n DT=a12a22?an2 (D?) ???????an2?anna1na2n?anna11a21?an1行列式DT称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列） 一、n阶行列式的性质 性质 1： 行列式与它的转置行列式相等. 由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如: D?abcd DT?acbd

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以ri表示第i行，cj表示第j列.交换i,j两行记为ri?rj,交换i,j两列记 作ci?cj. 性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零. 性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k,等于用数k乘以该行列式. 推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外. 性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. 性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和. a11a21即若 D??an1a11a12a22?an2?i)?a1n?(a1i?a1?i??a2n??a2i?a2 ?????ann??ani?ania11a12a22?an2?i?a1?i?a2???ani?a1n?a2n. ??anna12?a1i?a1na21a22?a2i?a2na21则 D?+??????an1an2?ani?annan1性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变. 二、n阶行列式的计算：

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基本内容 第六节 备注 行列式按行（列）展开 定义 在n阶行列式中，把元素aij所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的n?1阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij；而Aij?(?1)i?jMij称为aij的代数余子式. 引理 如果n阶行列式中的第i行除aij外其余元素均为零，即： a11?a1j?a1n?D?0???aij???0??ann. an1?anj则：D?aijAij. a110?0a21?an1a22?a2n??an2?ann证 先证简单情形： D? 再证一般情形： 定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 按行： ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0按列： a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0 ?i?j? ?i?j?

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证： （此定理称为行列式按行（列）展开定理） a11??an1a12??an2????a1n??annD?ai1?0???00?ai2???0?0???0?aina11a12?a1na11a12?a1na11a12?a1n?????????????ai10?0?0ai2?0???00?ain????????an1an2?annan1an2?ann????an1an2?ann?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?n). 31?12例1 ：D??513?4. 201?11?53?3解: 2?1?12????2?1?12例2: Dn?

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2?1?12????2?1?121?r2???rn1?1?001解: Dn?2????2?1?12 Dn?n?1. 从而解得 Dn?n?1. 例3．证明范德蒙行列式 1x1Dn?x12?x1n?11x22x2?n?1x2?1?xn2?xi?xj?xnn?i?j?1??n?1?xn???. 其中，记号“?”表示全体同类因子的乘积. 证 用归纳法 1因为 D2?x11?x2?x1???xi?xj? x22?i?j?1所以，当n?2n=2时，（4）式成立. 现设（4）式对n?1时成立，要证对n时也成立.为此，设法把Dn降阶；从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有 111x3?x10x2?x1x3?x3?x1?Dn?0x2?x2?x1?0n?20x2?x2?x1?x3n?2?x3?x1?1xn?x1xn?xn?x1? n?2xn?xn?x1?（按第一列展开，并提出因子xi?x1）

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1??x2?x1??x3?x1???xn?x1?x2?n?2x21x3????1xn??n?1?阶范德蒙行列式 n?2n?2x3?xn由假设??x2?x1??x3?x1??xn?x1???xi?xj?=??xi?xj? n?i?j?2n?i?j?1定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0?i?j? 按列： a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0结合定理及推论，得 ?i?j? ?1,(i?j)aA?D?,aA?D?, ，其中??. ??ikjkij?kikjijij0(i?j)k?1k?1?nn 53?120235210的值。 17例4. 计算行列式D?0?20?4?14002350

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小结： 行列式按行（列）展开。 回顾和小结 1. 余子式和代数余子式的概念; 2. 行列式按行（列）展开; 1212思考题：设:Dn?10??3?n0?0 3?0,???0?n复习思考题或作业题 10求第一行各元素的代数余子式之和 作业题： 习题一:第7（2，3，5，6） 1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开； 实施情况及分析 2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.

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第（ 4 ）次课 授课时间（ ） 教学章节 教材和 参考书 第一章第七节 《线性代数》(第4版)同济大学编 学时 2学时 1. 教学目的：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解； 2. 3. 教学重点：克拉默法则的应用； 教学难点：克拉默法则的应用. 1. 教学内容：克拉默法则； 2. 时间安排：2学时； 3. 教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

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基本内容 备注 第七节 克拉默法则 含有n个未知数x1,x2,...,xn的n个方程的线性方程组 ?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222n22 （1） ???????????an1x1?an2x2??annxn?bn与二、三元线性方程组相类似 ,它的解可以用n阶行列式表示. 定理1（Cramer法则）如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零 ,即 a11?a1nD?????0 , an1?ann则方程组(1)有且仅有一组解： x1?D1DD ,x2?2 ,… ,xn?n (2) DDD 其中Dj?j?1,2,...,n?是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数列代替 ,而其余列不变所得到的n阶行列式 a11?a1,j?1b1a1,j?1?a1na21?a2,j?1b2a2,j?1?a2n. ???????an1?an,j?1bnan,j?1?annDj?(证明在第二章) 当b1,b2,...,bn全为零时,即 ?a11x1?a12x2??a1nxn?0?ax?ax??ax?0?2112222n2 ???????????an1x1?an2x2??annxn?0

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称之为齐次线性方程组.显然 ,齐次线性方程组必定有解(x1?0,x2?0,...,xn?0）. 根据克拉默法则,有 1．齐次线性方程组的系数行列式D?0时 ,则它只有零解（没有非零解） 2．反之,齐次线性方程组有非零解 ,则它的系数行列式D?0. 例1．求解线性方程组 ?2x1?x2?5x3?x4?x?3x?6x4?12?2x2?x3?2x4???x1?4x2?7x3?6x4?8?9 ??5?0解:系数行列式 2D?02120?50?1?11?6201?3??33?7?2?27?0 同样可以计算 81?324?50?1?71?626?81 D1?9?50 , 2D2?11890?50?1?71?626??108 , 0?52D3?0112489?501?626??27 , D4?201124?50?7890?27,1?31?3 ?1?5所以 x1?DD1DD?3,x2?2??4 ,x3?3??1 ,x4?4?1. DDDD注意： 1. 克莱姆法则的条件：n个未知数 ,n个方程 ,且D?0 2. 用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程

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组。 3. 克莱姆法则具有重要的理论意义。 4. 克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系. 例2. 用克拉默法则解方程组 ?3x1?5x2?2x3?x4?3,?3x?4x?4, ?24??x1?x2?x3?x4?116,??x1?x2?3x3?2x4?56.例3. 已知齐次线性方程组 2y?2z?0?(5??)x? ?2x?(6??)y ?0 ? ? 2x? ?(4??)z?0?有非零解 ,问?应取何值？ 解 系数行列式 D?(5??)(2??)(8??) 由：D?0 ,得??2、??5、??8.

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小结： 回顾和小结 克拉默法则. 1.内容; 2.应用. 思考题：当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解复习思考题或作业题 为何? 作业题： 习题一第8（2）、9（2 ,4） 1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容 ,了解克拉默法则的证明 ,会利用克拉默法实施情况及分析 则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解； 2.对利用克拉默法则等方面的应用有待加强.

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第（5）次课 授课时间（ ） 教学章节 教材 性代数辅导及习题精解》;3.孙建东等编《线性代数知识点与典型和参考书 例题解析》。 1.教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算； 2.教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算； 3.教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算。 第二章第一、二节 学时 2学时 1.《线性代数》(第四版)同济大学编；2. 同济大学 胡一鸣编《线1.教学内容：矩阵；矩阵的运算； 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

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基本内容 备注 第一节 矩阵 一、矩阵的定义 称m行、n列的数表 a11a21?am1a12a22??a1n?a2n?? am2?amn为m?n矩阵，或简称为矩阵；表示为 ?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n? ?????amn??或简记为A?(aij)m?n,或A?(aij)或Am?n；其中aij表示A中第i行，第j列的元素。 a11a12a22??a1n?a2n为按行列式的运算规则所得到??a21?am1 其中行列式D?am2?amn的一个数；而m?n矩阵是 m?n个数的整体,不对这些数作运算。 例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。 设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n都是m?n 矩阵，当 则称矩阵A与B相等,记成A?B。 二、特殊形式

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n阶方阵： n?n 矩阵 行矩阵 ：1?n矩阵（以后又可叫做行向量），记为 A?(a1,a2,,?,an) 列矩阵 ：m?1矩阵（以后又可叫做列向量），记为 ?b1????b?B??2? ????b??m?零矩阵 ：所有元素为0的矩阵,记为O 对角阵 ：对角线元素为?1,?2,...,?n,其余元素为D的方阵，记为 单位阵 ：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为 ?1???1??E?? ?????1???三、线性变换的系数矩阵 线性变换的定义：设变量y1,y2,...,ym能用变量x1,x2,...,xn线性表示，即 ?y1?a11x1?a12x2??a1nxn?y?ax?ax??ax?22112222nn? ??????????????ym?am1x1?am2x2??amnxn这里aij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?为常数。这种从变量x1,x2,...,xn到

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变量y1,y2,...,ym的变换称为线性变换。

线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。

上式的系数可构成一个m?n矩阵

?a11??aA??21???a?m1?a11??aA??21???a?m1a12a22?am2a12a22?am2?a1n???a2n???aij?m?n??aij? ?????amn???a1n???a2n?称之为线性变换的系数矩阵。 ?????amn?? 线性变换和系数矩阵是一一对应的。

如,直角坐标系的旋转变换（变量(x,y)到变量(x?,y?)的变换）

?x'?cos?x?sin?y? y'??sin?x?cos?y?的系数矩阵为 A????sin?cos???. ??恒等变换

?cos?sin??

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?y1?y?2????ym?x1?x2 ??xm的系数矩阵为 ?1???1?例. E?? ??????1????a11x1?a12x2??a1nxn?0?ax?ax??ax?0?2112222nn?同样，齐次线性方程组 ??????????? ???am1x1?am2x2??amnxn?0?a11??a21与系数矩阵 A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，也是一一对应的. ?????amn???a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222nn2 非齐次线性方程组???????????? ???am1x1?am2x2??amnxn?bm?a11?a21与增广矩阵 A??????a?m1a12a22?am2?a1nb1???a2nb2?也是一一对应的。 ??????amnbm?? 第二节 矩阵的运算 一、加法 设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n,都是m?n矩阵,则加法定义为

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?a11?b11??a?b21A?B??21???a?bm1?m1a12?b12a22?b22?am2?bm2a1n?b1n???a2n?b2n? ?????amn?bmn???显然, ①A?B?B?A，② (A?B)?C?A?(B?A) 二、数乘 设?是数,A?(aij)m?n是m?n矩阵,则数乘定义为 ??a11???a?A??21????a?m1?a12?a22??am2??a1n????a2n? ??????amn?? 显然 ① ????A?????A， ②?????A??A??A， ③??A?B???A??B 三、乘法 乘法运算比较复杂,首先看一个例子 设变量 t,t2到变量x1,,x2,x3的线性变换为 ?x1?b11t1?b12t2??x2?b21t1?b22t2 ?x?bt?bt311322?3?y1?a11x1?a12x2?a13x3变量 x1,x2,x3到变量y1,y2的线性变换为? ?y2?a21x1?a22x2?a23x3那么,变量 t1,t2到变量y1,y2的线性变换应为 ?y1?a11?b11t1?b12t2??a12?b21t1?b22t2??a13?b31t1?b32t2? ???????y?abt?bt?abt?bt?abt?bt211111222221122223311322?1即

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?y1??a11b11?a12b21?a13b31?t1??a11b12?a12b22?a13b32?t2 ??????y1?a21b11?a22b21?a23b31t1?a21b12?a22b22?a23b32t2定义矩阵 ?a11??a?21a12a22?b11a13???和?b21a23???b?31b12??b22? b32??的乘积为 ?a11??a?21a12a22?b11a13????b21a23???b?31b12???a11b11?a12b21?a13b31b22????ab?ab?ab22212331?2111b32??a11b12?a12b22?a13b32?? a21b12?a22b22?a23b32??按以上方式定义的乘法具有实际意义.由此推广得到一般定义 设 A?(aij)m?s，B?(bij)s?n,则乘法定义为 AB?C 其中C?(cij)m?n ?i?1,2,?,m?cij?ai1b1j?ai2b2j??aisbsj??aikbkj ??j?1,2,?,n?? k?1??s注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。 ?4??103?1???1B?? 例：设 A??, ?2102??2????1??4?103?1????1?? AB?????2102??2?1?10??13? 01??34??10??13?，则 ?01?34??

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?1?4?0???1??3?2???1??11?1?0?1?3?0???1??31?0?0?3?3?1???1??4? ????2?4?1???1??0?2?2?1?2?1?1?1?0?0?2?32?0?1?3?0?1?2?4???9?2?1????9911?? ????24??24? 例:设A???1?2??，B???-3-6??，求AB及BA。 ????解： AB???1???24??24???16?32?，????????????2???3?6??816?4???24??00??2BA????3?6????1?2?????00?? ??????由此发现：（1）AB?BA，（不满足交换律） （2）A?O，B?O，但却有BA?O。 一个必须注意的问题 ： 1．若Am?s，Bs?n, ,则Am?sBs?n 成立,当m?n 时, Bs?nAm?s不成立； 2．即使Am?n，Bn?m,则Am?nBn?m 是m阶方阵,而Bn?mAm?n是n阶方阵； 4???24??23. 如果 A,B 都是n阶方阵,例如A???1?2??，B????3?6??，则??????16?32??00???? ，而 AB??BA??8???16???00?综上所述,一般 AB?BA（即矩阵乘法不满足交换率）。 下列性质显然成立： ① ?AB?C?A?BC?，②??AB????A?B?A??B?， ② A?B?C??AB?AC,?B?C?A?BA?CA 几个运算结果：

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?b1???b2?1 . ?a1,a2,?,an??????a1b1?a2b2???anbn； ???b??n??b1??a1b1???b?2??a2b12. ???a1,a2,?,an?????????b??ab?n??n1a1b2a2b2?anb2?a1bn???a2bn?； ?????anbn??3 .若A为m?n矩阵,E是m阶单位阵,则EA?A;若E是n阶单位阵,则AE?A； 4.线性变换的矩阵表示： ?y1?a11x1?a12x2??a1nxn?y?ax?ax??ax?22112222nn?设 ???????????, ???ym?am1x1?am2x2??amnxn?a11??aA??21???a?m1a12a22?am2?a1n??x1??y1???????a2n??x2??y2?x?y?,, , ?????????????????y???amn??xn??m?则 y?Ax 5．线性方程组的矩阵表示： ?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222nn2?, ??????????????am1x1?am2x2??amnxn?bm?a11??aA??21???a?m1a12a22?am2?a1n??x1??b1??????x?a2n??2??b2?,x???,b??? ???????????x??b??amn??n??m?? 则 Ax?b

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?，An?AAn?1. 矩阵的幂:A2?AA，A3?AA2，?cos? 例.证明???sin??sin???cosn??????sinn?cos????nsinn??? cosn???证明 用归纳法：n?1时,显然成立,假定n?k时成立,则n?k?1时 ?cos????sin??sin???cos???k?1?cos?????sin??sin???cos????cos?????sin?sin??? cos???k ????sin?cos??????sink?cosk??? ?????cos?cosk??sin?sink? ????sin?cosk??cos?sink??cos?sink??sin?cosk??? ?sin?sink??cos?cosk????cos?sin???cosk?sink?? ????sin(k?1)?cos(k?1)??? ??从而结论成立. 由于 ???cos????sin???cos(k?1)?sin(k?1)???cos???sin?nsin???是直角坐标旋转?角度变换的系数矩阵,故而?cos??sin???是旋转了n?角度变换的系数矩阵. ?cos??四、转置 ?a11?a21 设 A??????a?n1?a1n??a11a21??a22?a2n??a12a22T，记A????????????anaan2?ann?2n?1a12?an1???an2? ?????ann??则称AT是A的转置矩阵。 显然， ① ?AT??A，② ?A?B?T?AT?BT，③ ??A?T??AT，④ ?AB?T?BTAT。 T对称矩阵的定义:若矩阵A满足AT?A（即aij?aji）,则称A是对称阵

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例.设A是m?n矩阵,证明ATA是n阶对称阵,AAT是m阶对称阵. 例.设x??x1,x2,?,xn?T ,且xTx?1,E为n阶单位阵, H?E?2xxT, 证明:① H是对称阵，②H2?E. 证明 HT??E?2xxT??ET?2?xxT??E?2xxT?H ， TT 故H是对称阵。 H2?E?2xxT??2?E?4xxT?4xxTxxT?E?4xxT?4xxTxxT TT?? ?E?4xx?4xx?E 五、方阵的行列式 其元素构成的n阶行列式称为方阵的行列式,记为A为n阶方阵，A或detA。 显然， ① AT?A，② ?AT??nA，③ AB?AB。 例.设 ?a11??a21A?????a?n1?a1n??a22?a2n? ?????an2?ann??a12记 ?A11??AA*??12???A?1nA21?An1??A22?An2?， ?????A2n?Ann??其中Aij是aij的代数余子式,A*称为A的伴随阵. 证明：AA*?A*A?AE. 证明 设AA*?C?(Cij)

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cij?ai1Aj1?ai2Aj2??ainbjn??aikAjk?A?ij k?1nAA*?C?cij??A?ij??A??ij??AE 设A*A?D?(dij) dij?Alia1j?A2ia2j??Anibnj??Akiakj??akjAki?A?ji k?1k?1nnA*A?D?dij??A?ij??A??ij??AE 例.设 A为n(n?2)阶实方阵,且A?O,aij?Aij,求A . 解：注意到 ?A11??AA*??12???A?1nA21?An1??a11??A22?An2??a12??????????A2n?Ann???a1na21?an1??a22?an2?T ?A?????a2n?ann???A*?AT?A 由 AA*?AE，得AAT?AE?A?A?AA由于 A??aikAjk??aik2?0,故Ak?1k?1nn2n2?n?2?1?0， ?n?2?1?A?1. 六、共轭矩阵 A?(aij)为复矩阵, aij 为aij 的共轭复数,则称A?(aij)为A 的共轭矩阵. 显然, ① A?B?A?B,② ?A??A,③AB?AB

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小 结： 矩阵的概念和矩阵的运算： 回顾和小结 1. 矩阵的概念; 2. 矩阵的运算; 思考题： 1.矩阵与行列式的有何区别? 2. 设A与B为n阶方阵，问等式 复习思考题或作业题 A?B??A?B??A?B? 22 成立的充要条件是什么? 作业题： 习题二第2、3、4（2，3，5）、7 1 .通过学习使学员理解矩阵的概念,掌握了矩实施情况及分析 阵的运算； 2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强.

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第（6）次课授课时间（45

）

教学章节 教材 性代数辅导及习题精解》；3.孙建东等编《线性代数知识点与典型和参考书 例题解析》。 1. 教学目的：理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵的性质和计算方法； 2. 教学重点：逆矩阵概念和计算； 3.教学难点：逆矩阵概念和计算。 第二章第三节 学时 2学时 1.《线性代数》(第四版)同济大学编；2. 同济大学 胡一鸣编《线1. 教学内容：逆矩阵； 2. 时间安排：2学时； 3. 教学方法：讲授与讨论相结合； 4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容 备注

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第三节 逆矩阵 一、逆阵的定义 引入：设给定一个线性变换 ?y1?a11x1?a12x2???a1nxn1??y2?a21x1?a22x2???a2nxn?????????yn?an1x1?an2x2???annxnn? 可表示为矩阵方程 Y?AX?a11??a21A?其中 ????a?n1a12a22?an2??? （1） ?y1?a1n??x1??????a2n??y2??x2?，X???，Y???, ??????????????ann??xn??yn? 由克莱姆法则知,若A?0,则(1)有唯一解。 如果存在n阶方阵C,使得CA?E,则(1)的解可用矩阵乘积表出： X?CB （2） 称为矩阵方程(2)的解。 定义 设A为n阶方阵,若存在一个n阶方阵B，使得 AB?BA?E, 则称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆矩阵,记作A?1?B， 若CA?AC?E,则C?A?1 性质1 若A?1存在,则A?1必唯一. 证明 设B、C都是A的逆阵，则有 B?BE?B?AC???BA?C?EC?C（唯一）.

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性质2 若A可逆，则A?1也可逆，且?A?1??A ?1证明 ?A可逆,?AA?1?A?1A?E,从而A?1也可逆,且?A?1??A。 ?1性质3 若A可逆,则A?可逆,且?A???1??A?1?? 证明 ?A?1A?AA?1?E,?(A?1A)??(AA?1)??E? 从而 A?(A?1)??(A?1)?A??E，于是 (A?)?1?(A?1)? 性质4 若同阶方阵A、B都可逆，则AB也可逆，且 ?AB??1?B?1A?1 证明 ??AB??B?1A?1??A?BB?1?A?1?AEA?1?AA?1?E ?B?1A?1??AB??B?1?A?1A?B?B?1EB?B?1B?E 所以AB可逆,且?AB??1?B?1A?1 二、逆阵存在的条件及逆阵的求法 定义3. 由A??aij?n?n的行列式 a11A?a21?an1a12a22??a1n?a2n ??an2?ann中元素aij的代数余子式Aij(i,j?1,2,?,n)构成的n阶方阵,记作A*,即?A11??AA*??12???A?1nA21?An1??A22?An2? 称为A的伴随矩阵. ?????A2n?Ann???321???例1.设 A??122?, 求A* ?343???解: 因为 A11??2，A12?3，A13??2, A21??2，A22?6，A23??6, A31?2，A32??5，A33?4

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??2?22???*6?5? 所以 A??3??2?64???A*定理 方阵A?aijn?n可逆?A?0 且 A? A?1??证明 必要性： A可逆,即有A?1存在,使得AA?1?E， ?1 两边取行列式得AA?E?1?0 故 A?0 充分性：由行列式的性质7和Laplace定理知 ?A,i?jaikAjk??akiAkj?? ?k?1k?1?0,i?jnn?A0?0????0A?0?于是 AA*?A*A???AE ????????00?A???A*A*??A?E 因为 A?0，故有 A?AA*A 从而 A? A?1推论 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得AB?E，(或BA?E)，则B?A?1。 证明：?AB?AB?E?1，?A?0，故A?1存在。 于是 B?EB??A?1A?B?A?1?AB??A?1E?A?1 注：求A?1时，只需要验算AB?E，计算量减半。

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??132??321????? 例2. 判断下列方阵A??122?,B???11151?是否可逆? 若??33?1??343?????可逆，求其逆阵。 解：?A??2?0，B?0，所以B不可逆，A可逆，并且 ??2?22??A1??1A????36?5? A2????2?64?*三、用逆矩阵法解线性方程组 在第一节中，线性方程组(1)可表示为矩阵方程AX?B(2)，若A?0，则X?A?1B(3)，得到(1)的解。 例3． 解线性方程组 ?3x1?2x2?x3?1??x1?2x2?2x3?2 ?3x?4x?3x?323?1?321??x1??1???????解：其矩阵式为 ?122??x2???2? ?343??x??3????3???332413?1因 122??2 , ?x1??321??1???2?22??1??0????????????1?x?1222??36?5 所以?2????????2???0?2??x??343??3???????3???????2?64??3??1? 所以其解为 x1?0,x2?0,x3?1 例4． 求解矩阵方程AXB?C，其中

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