线性代数基本定理

线性代数基本定理 一、矩阵的运算

1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O

?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换

(A+B)=A+AB+BA+Bk222

(AB)=ABABABAB...AB

3.常被忽略的矩阵运算规则

(A+B)T=AT+BT

(lA)=lATT

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算

111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)

a1a2an-11-1(kA)=A

k-1 方法

1. 特殊矩阵的乘法

A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：

B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断

A@B?R(A)=R(B)

任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行计算 加法：分块方法完全相同

矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：

éêêêê?1-13-101000000002-1ùéúêúêúêúê??1-100001200003-114ùúúúú? 如红线所示：

左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间

至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。 求逆：

如果A1,A2,...,Am均可逆，

若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。 求转置：

块转置，每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式

二、行列式的计算

计算一般行列式时需注意： A． 代数余子式的正负

B． 初等变换用等号，行列式的值可能变化 1. 特殊形状行列式

上下三角行列式、反上下三角行列式

det(kA)=kdet(A) det(AB)=det(A)det(B)

块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）

nAnn*OBmmOBmmAnn*=AnnO*Bmm*BmmAnnO=AB==(-1)nmnAB

det(diag(A1,A2,...An))=?det(Ai)i=1

2. 一般行列式的计算原则

A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶 B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式 C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来 其中，B点最容易被忽略掉！！！ 例题：已知abcd=1

1a+2a12b+2bD=12c+2c12d+2d2abcd12a1b21c212d1a1b1c1d1111112aa112bb+11cc2112ddabcd1a1b1c1d1111

a1b1=abcdc1d1不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得0

3. 范德蒙德行列式

=n3i>j31?(x-x)ij

注意：

范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到下或从左到右升幂

不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i和j的用处

4. 几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本

5. 克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。还要了解行列式按某行展开，如果对被展开行的每列来说，代数余子式乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为0，这样，线性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示） 6. 矩阵的秩：可以回到定义，秩为r，就说明至少存在一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式全为0

三、空间解析几何

1. 易忽略的基础知识

点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面

空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。 方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦

投影：

外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积 外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量

混合积的记法，向量共面，混合积为0，a b c，bc

a，c a b这三种顺序结果都相同 2．平面的方程 点法式，一般式：

xyz谁系数为0，就与哪个轴平行，D=0平面过原点,如果平

面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴 截距式

xyz++=1abc

点法式和点向式化为截距式，算截距即可 三点式 一般不用

3. 直线的方程 点向式

m,n,p哪个为0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直（在与那个轴平行的平面上）。直线的方向余弦就是方向向量的方向余弦。 参数式

用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。用在求直线与平面交点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量！还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线

x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

一般式

用两个平面相交的方程组表示 方程的转化

参数式=>点向式

t的系数就是方向向量，加的常数就是定点。

点向式=>一般式

目的是方便表示过这条直线的平面束。三个等号，两两联立，变成两个方程。加括号变为方程组即可

参数式=>一般式

参数式先变为点向式，再变为一般式

点向式=>参数式

令三个比例=t

一般式=>点向式

方法1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为

直线方向向量。

方法2：任取两点，直接求方程

一般式=>参数式

方法1：一般式先变为点向式，再变为参数式

方法2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量=t

4. 位置关系和向量关系的转化 平面与平面的位置关系

A1平面与平面平行（包括重合）——

A2=B1B2=C1C2

A1如果重合，有：

A2=B1B2=C1C2=D1D2

平面与平面相交——

A1:B1:C11A2:B2:C2平面与平面垂直——法向量垂直

平面与平面的夹角余弦（锐二面角）——法向量余弦的绝对值

平面束——过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不包括参数后面的平面本身）

点到平面的距离

d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2 平面与直线的位置关系

直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值

直线与平面相交，平行，过平面——直线的方向向量与平面法向量内积不为0相交，否则如果把直线经过的定点满足平面方程，则线面平行，否则直线过平面

直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行

直线与直线的位置关系

两直线夹角——它们方向向量的夹角

两直线平行（包括重合）——方向向量平行。如果不重合，则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在另一条直线上，呢么两直线不重合 两直线垂直——方向向量垂直 两直线相交——两直线共面，不平行

两直线间距离：先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向

向量上投影

两直线共面，异面——两个定点（

x0,y0,z0）构成的一个向

量，两个方向向量。这三个向量混合积为0，就共面反之异面

点到直线的距离

M为线上一点

M1为线上另一点，

M0到直线的距离为：

,想那个平行四边形

四、n维向量空间

预备知识：AX=b的矩阵表示和向量表示

x1a1+x2a2+...+xnan=b

或者如下表示

定理 1.

?可由?1，?2，?，?m线性表示?向量方程x1?1?x2?2???xm?m??有解.有一个解——唯一一种表示方法，有无数解——无数表示方法

2. 向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示

等价具有自反性，传递性，对称性 3. 线性相关与线性无关

1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关 2．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例

23RR（，中共线）

R3中，三个向量组线性相关，则它们共面

3 .?1, ?2, …, ?n线性相关?AX=0有非0解，当向量个数等

于向量维数时，det(A)=0

4. 向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。（相当于未知量个数大于方程个数）

5. 对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则局部无关

6. 一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多的那个向量系数肯定不是0）

7. 向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组） 8. 再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变 9. 设向量组表示，且

可由向量组线性无关，则

线性（系数矩阵

K为s*r，必须让方程的个数多一些）

10．若向量组I可由向量组II线性表示则R(I)<=R(II)，如果两个向量组等价，则它们的秩相等 11. 方程AX=b有解，则R(A)=R(A) 11.几个关于秩的四个不等式

R(AB)<=min(R(A),R(B))（和定理9的不等式有关） 若

Am*nBn*t=O,则R(A)+R(B)<=n（和基础解系有关）

R(A+B)<=R(A)+R(B)（也和定理9的不等式有关）

TR(AA)=R(A) (方程的同解)

12. AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量 方法

一、判断向量组线性相关性： 1. 向量矩阵其次方程的解

2. 至少有一个向量能用其他向量线性表示，则向量组线性相关，否则线性无关 二、判断向量组等价：

A=KB，同时B=K’A，K为线性表示的系数矩阵，如果K为方阵且唯一（线性表示法唯一），看K是否可逆即可 经典题： 1. 向量组向量组

a1,a2,a3线性无关,问常数

l,m满足什么条件时,

la1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关．

2. A为m*n矩阵，B为n*m矩阵，m>=n，试证det(AB)=0

设A是m′3矩阵,且R(A)=1.如果非齐次线性组AX=b的三个解向量h1,h2,h3满足3. 方程 ?0??1??1????????2??3???1?,???2??2?,?3??1??0? 1?1??3???1???????，求AX=b通解

三、向量组的最大无关组

通过初等变换就可以求出最大无关组

判断最大无关组?向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出

五、特征值与特征向量

定理

1. 如果ai是A在特征值l下的几个特征向量，那么ai的线性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数k（多解） 2. 三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素 3. l0是矩阵A的k重特征值，则l0对应的线性无关的特征向量不超过k，特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差，为n-R(l0I-A)

4. 如果a是A在特征值l下的特征向量，那么a是f(A)在特征值f(l)下的特征向量

5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。（给特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题： A可逆?A的任何一个特征值不为0

6. 相似矩阵具有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式、相同的迹（解决代参数的矩阵相似问题很快）、相同的秩。

7. A与B相似=>Am与Bm相似，多项式f(A)与f(B)相似 8. n阶矩阵A与对角阵相似?A有n个线性无关的特征向量 不同特征值的特征向量线性无关，所有特征值的特征向量构成一个向量组，它们线性无关 9. 两两正交的非零向量组线性无关

TTAA=AA=I?A的行列向量组都是标10. A为正交矩阵?

准正交向量组

11. 实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交

应用这个定理，可以在已知其他两个特征值得特征向量的情况下，求出第三个特征值对应的特征向量

方法：

1.证明某值（向量）是否为特征值（特征向量），可以带入等式Aa=la，也可以带入特征方程。

2.证明矩阵相似（充要）：

1.（具体证明）证明两矩阵特征多项式相同（两矩阵特征值相同，说明他们相似于同一个对角阵，根据相似的传递性） 2.（抽象证明）找可逆的P，P-1AP=L 3.两个矩阵同时相似于第三个矩阵

TT(a,b)=ab=ba 3. 向量的内积表示:

4.判断n阶方阵是否可以对角化：

有n个不同的特征值或n个线性无关的特征向量，则一定能对角化

k重特征值下有k个特征向量，当然，只用验证k>=2的情况，看矩阵A-lI的秩是否等于n-k 4. 线性无关向量组的标准正交化

(a2,b1)b2=a2-b1(b1,b1)

(a3,b1)(a3,b2)b3=a3-b1-b2(b1,b1)(b2,b2)

…

再把b单位化

六、二次型

X=CYTTTf=XAX????Y(CAC)Y 二次型的合同变换：

方法

1. 二次型化为标准型 配方法：

f (x1, x2 ,x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2x3 形如此类二次型 令

x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3

正交变换法（实质是让中间的CTAC变成对角阵）： 配方法为什么一定是可退化？因为方程可反解 合同变换法：

X=CY，因此特征值就是标准型的系数

2. 正定矩阵判断(充要条件

XAXT>0)

1. A的特征值全部为正数 2. n元二次型的正惯性指数为n

3. A与I合同（有了标准型，化为规范性，正定，对角线都是正1）

4. A的各阶顺序主子式为正，即：

判断不正定：

矩阵A对角线上的数有一个不>0

3. 探究曲面的形状 平行截割法、旋转法

柱面——少了一个变量，少哪个变量，母线就与哪个变量平行

4. 求旋转曲面的方程

绕着哪个轴旋转，哪个变量不变，把另一个变量替换为不含

所绕轴的两个变量的平方和的平方根（小心正负）

一般地，求曲线在xoy坐标面上的投影柱面，消去z即可，如果让求投影线的方程，则加上z=0，其他做表面同理

5. 判断二次曲面形状

f=ax2+bx2+cx2123=1

1.若a,b,c均>0 a=b=c 球面

有两个相等旋转椭球面 均不相等椭球面

2.一个为负，另外两个为正单叶双曲面 3. 一个为正，另外两个为负双叶双曲面 4.只有一个为0，柱面 5.两个都为0，一对平行平面

此外，还有类似

z=ax2+bx212。

它是抛物面。a,b同号则为圆或椭圆抛物面，异号则为双曲抛物面

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