2016江西工业贸易职业技术学院数学单招测试题（附答案解析）

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y?2px2(p?0)的焦点F的坐标是（ ） A．(11pp,0) B．(,0) C．(0,) D．(0,)

228p8p2．已知全集U=R，集合A?{x|?2?x?2}，B?{x|x2?2x?0}，则A?(CRB)等

于（ ）

A．??2,0? B．?0,2? C?0,2?D．(?2,0)

3．已知非零实数a、b，满足a?b，则下列不等式恒成立的是（ ） A．a2?b2 B．

11ab? C．a2b?ab2 D．2?2 abba4．已知向量a?(1,1)，b?(2,n)，若|a?b|?a?b，则n为（ ） A．?3 B．?1 C．1 D．3

5．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5?2S4?3，a6?2S5?3，则此数列

的公比q为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

6．设函数f(x)?2?x(x?0)，则其反函数f?1(x)的图象是（ ）

7．已知在矩形ABCD中，AB?4，BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直角二

面角B?AC?D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com A．

500125?125?125?? B． C． D

9633x?1?x?2,?2e,8．设f(x)??则不等式f(x)?2的解集为（ ） 2x?2,log(x?1),??3 A．(1,2)?(3,??) B．(10,??) C．(1,2)?(10,??) D．(1,2)

9．若曲线f(x)?2x?x3在点(?1,f(?1))处的切线为l，则点P(2,3)到直线l的距离为

（ ） A．

9107292112 B． C．D． 1022210．若f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对于任意实数x，都有

f(??x)?f(?x)，则f(x)的解析式可以是（ ） 44? A．f(x)?cosx B．f(x)?cos(2x? C．f(x)?sin(4x??2)

?2) D．f(x)?cos6x

y211．过双曲线x?2?1的右顶点A作斜率为1的直线l，若l与该双曲线的其中一条

b1渐近线相交于点(,y0)，则该双曲线的离心率是（ ）

22 A．2 B．3 C．2D．5 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间

的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） A．234 B．346 C．350 D．363

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com a2713．(x?)的展开式中的x的系数是280，

x则a= ．

14．已知某地教育部门为了解学生在数学答卷中的

有关信息，从上次考试的10000名考生的数学 试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据 这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图 (如图)，则这10000人中数学成绩在[140，150]中 的约有人．

15．在棱长均相等的正三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B与平面A1B1C所成的角的正弦值

为．

?x?3y?6?0?16．若以原点为圆心的圆全部在区域?2x?y?4?0内，则圆面积的最大值为。

?3x?4y?9?0?三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演

算步骤)

17．(本小题满分10分)

在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足

(2a?c)cosB?bcosC．

(1)求角B的大小； (2)已知函数f(A,C)?cos218．(本小题满分12分)

如图，已知AB?平面ACD，DE//AB，?ACD是

正三角形，且AD?DE?2AB．

AC?sin2?1，求f(A,C)的取值范围。 22

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com (1)若M为CD中点，求证：AM//平面BCE； (2)求平面BCE与平面ACD所成二面角的大小． 19．(本小题满分12分)

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位：年)有关。若

T?1，则销售利润为0元；若1?T?3，则销售利润为100元；若T?3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T?1，1?T?3及T?3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，叉知p1，p2是方程25x2?15x?a?0的两个根，且p2?p3 (1)求p1，p2，p3的值；

(2)求销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率． 20．(本小题满分12分)

设f(x)?ax3?bx2?cx的极小值为?8，其导函数y?f?(x)的图象经过点(?2,0)，

2

(,0)，如图所示。 3

（1）求f(x)的解析式；

（2）若对x?[?3,3]都有f(x)?m2?14m

恒成立，求实数m的取值范围。

21．(本小题满分12分)

数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．求： (1)数列{an}的通项an；

(2)数列{nan}的前n项和Tn． 22．(本小题满分12分)

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com x2y2如图，在直角坐标系xoy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率

ab3，左、右两个焦点分别为F1、F2。过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭e?2圆C相交M、N两点，且|MN|?1．

(1)求椭圆C的方程；

????????(2)设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足PA?AB?m?4(m?R)，

试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

参考答案

1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 1 0．C 11．A 12．B 13．?2 14．800 15．提示：

1．D 由y?2px2，得x2?1642 16．?

51411y，所以焦点F(0,) 2p8p2．D 解不等式x2?2x?0，得0?x?2，∴B?{x|0?x?2}，

∴CRB?(??,0)?(2,??)，故A?(CRB)?(?2,0)

3．D （法一）当b?0时，a?b推导不出a2b?ab2，排除C；故选D。

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com （法二）∵a，b为非零实数且满足a?b，∴a3?b3，即

ab?，故选D。 b2a24．D |a?b|?9?(n?1)2，a?b?2?n，∴9?(n?1)2?(2?n)2，∴n?3． 5．B 两式相减得a6?a5?2a5，∴a6?3a5，∴q?3．

6．C 令y?2?x(x?0)，解得x?(y?2)2(y?2)，∴f?1(x)?(x?2)2(x?2)． 7．C 可知四面体ABCD的外接球以AC的中点O为球心，故R?AC5? 22?x?2?x?28．C 由已知有?x?1或?解得1?x?2或x?10 2?2e?2?log3(x?1)?29．B f?(x)?2?3x2，∴k1?2?3??1，又f(?1)??2?1??1，

∴切线l的方程为y?1??(x?1)，即x?y?2?0，∴点P到直线l的距离为期不远

2?3?272 ?2210．C 对于A、D，f(x)?cosx与f(x)?cos6x，x??4不是对称轴；对于B，电

f(x)?cos(2x?)??sin2x不是偶函数；对于C，f(x)?sin(4x?)?cos4x22符合要求．

11．A 由题意知直线l的方程为y?x?1，当x???1111时，y??，即点(,?)是渐2222近线y??bx上一点，∴b?1，即离心率e?2．

12． B 应先求出2人坐进20个座位的排法。排除2人相邻的情况即可。

共有11+12=23个座位，去掉前排中间3个不能入坐的座位，还有20个座位，

2则2人坐入20个座位的排法有A20种，排除①两人坐前排相邻的12种情况；②

两人坐后排相邻的22种情况，∴不同排法的种数有

2A20?(12?22)?380?34?346（种）．

313．?2展开式中的x的系数是C7(a2)3?280，a??2

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com 14．800 由图知成绩在[140,150]中的频率为0.008?10，所以在10000人中成绩在

[140,150]中的人有10000?0.008?10?800人。

15．42 设棱长均为2，由图知C1与B到A1B1C的距离相等，而C1到平面A1B1C142?3221d221142的距离为d?，故所成角的正弦值为。 ????7AB7147221 16．

16? 求圆面积的最大值，即求原点到三条直线x?3y?6?0，2x?y?4?05310459和3x?4y?9?0距离的最小值，由于三个距离分别为、、，最小

5554545216值为，所以圆面积的最大值为?()??。

55517．解：（1）由(2a?c)cosB?bcosC，得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC，…2分

∴2sinAcosB?sin(B?C)?sinA，∵0?A??，∴sinA?0，∴cosB?…………………………………………………………………………4分 ∵0?B??，∴B?（2）∵B?1 2?3………………………………………5分

?3，∴A?C?2?， 3

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com ∴f(A,C)?cos2AC1?cosA1?coscC?sin2?1???1 222212?1333??[cosA?cos(?A)]?(cosA?sinA)?cos(?A)……………8分 2322226∵0?A?2???5?33，∴??A?，∴??f(A,C)?……………10分 36664418．解：（1）证明：延长EB、DA相交于点F，连结CF。

∵AB//DE，且AB?1DE，∴B为EF的中点，A为DF的中点。 2∵M为CD的中点，由三角形中位线定理，有AM//CF

∵AM?平面BCE，CF?平面BCE，∴AM//平面BCE…………………6分 （2）（法一）由（1）知平面BCE?平面ACD?CF。 ∵A为DF的中点，∴取CF的中点G，则有AG//CD。 ∵CF?CD，∴AG?CF

∵AB?平面ACD，∴AG为BG在平面ACD上的射影，∴BG?CF ∴?AGB为平面BCE与平面ACD所成二面角的平面角。……………………10分 ∵在Rt?BAG中，AB?AG，AG?11CD?AD?AB， 22∴?AGB?45?，即平面BCE与平面ACD所成二面角的大小为45?。…………12分

（法二）如图，∵AB?平面ACD，AB//DE， ∴DE?平面ACD，

取CD的中点O为坐标原点，以过O且平行DE的直线为z轴，AO所在的直线为

x 轴，OD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系。

设AB?1，则D(0,1,0)，C(0,?1,0)，A(?3,0,0)，E(0,1,2)，B(?3,0,1)

????????∴CD?(0,2,2)，BC?(3,?1,?1)

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com 设n?(x,y,z)为平面BCE的法向量，

???????n?CE?0?(x,y,z)?(0,2,2)?0则???? ???(x,y,z)?(3,?1,?1)?0????n?BC?0取z??1，可得n?(0,1,?1)

又平面ACD的法向量为m?(0,0,1)，设n与m所成的角为?，………………… 8分 则cos??n?m1??，

|n||m|2由图可知平面BCE与平面ACD所成二面角为锐角。

∴平面BCE与平面ACD所成二面角的大小为45?………………………………12分 19．解：（1）由已知得p1?p2?p3?1，∵p2?p3，∴p1?2p2?1 ∵p1、p2是方程25x2?15x?a?0的两个根，∴p1?p2?∴p1?3 512，p2?p3?…………………………………………6分 55（2）设两台电器无故障使用时间分别为T1、T2，则销售利润总和为200元有三种情况：

T1?1，T2?3；T1?3，T2?1；1?T1?3，1?T2?3，

其概率分别为?122212224?；??；?? 5525552555252248??? 25252525∴销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率为………………………12分

20．解：（1）∵f?(x)?3ax2?2bx?c，且y?f?(x)的图象经过点(?2,0)，(,0)，

23

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com 22b??2???,??33a?b?2a∴?∴?

?c??4a??2?2?c,?33a?∴f(x)?ax3?2ax2?4ax(a?0)

由图象可知函数y?f(x)在(??,?2)上单调递减，在(?2,)上单调递增，在

232(,??) 上单调递减， 3∴f(x)极小值?f(?2)?a(?2)3?2a(?2)2?4a(?2)??8，解得a??1， ∴f(x)??x3?2x2?4x………………………6分

（2）要使对x?[?3,3]都有f(x)?m2?14m恒成立，只需f(x)min?m2?14m即可。

由（1）可知函数y?f(x)在??3,?2?上单调递减，在(?2,)上单调递增， 在?,3?上单调递减，且f(?2)??8，f(3)??32?2?32?4?3??33??8，、

3∴f(x)min?f(3)??33，

23?2???

?33?m2?14m?3?m?11，

故所求的实数m的取值范围为{m|3?m?11}………………………12分 21．解：（1）∵an?1?2Sn，∴Sn?1?Sn?2Sn，∴

Sn?1?3 Sn又∵S1?a1?1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn?3n?1(n?N*)。

当n?2时，an?2Sn?1?2?3n?2?1,n?1（n?2），∴an?? n?2?2?3,n?2（2）Tn?a1?2a2?3a3???nan，

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com 当n?1时，T1?1；

当n?2时，Tn?1?4?30?6?31???2n?3n?2，①

3Tn?3?4?31?6?32???2n?3n?1②

①-②得：?2Tn??2?4?2(31?32???3n?2)?2n?3n?1

3(1?3n?2)?2?2??2n?3n?1??1?(1?2n)?3n?1

1?3∴Tn?11?(n?)?3n?1(n?2) 2211?(n?)?3n?1(n?N*)……………………12分221122．解（1）∵MF2?x轴，∴|MF2|?，由椭圆的定义得：|MF1|??2a

22又∵T1?a1?1也满足上式：∴Tn?∵|MF1|2?(2c)2?111，∴(2a?)2?4c2?……………………2分 424又e?33得c2?a2，∴4a2?2a?3a2，∵a?0，∴a?2，c?3，

42∴b2?a2?c2?1，

x2?y2?1……………………5分 ∴所求椭圆C的方程为4（2）由（1）知点A(?2,0)，点B为(0,?1)，设点P的坐标为(x,y)，

????????则PA?(?2?x,?y)，AB?(2,?1)， ????????由PA?AB?m?4得?4?2x?y?m?4，

∴点P的轨迹方程为y?2x?m……………………7分

设点B关于P的轨迹的对称点为B?(x0,y0)，则由轴对称的性质可得

x?4?4my0?11y?1?2?0?m，解得x0?，??，0225x022m?3y0?……………………9分

5

考单招——上高职单招网 www.danzhaowang.com ∵点B?(x0,y0)在椭圆上，∴(?4?4m22m?32)?4()?4，整理得 553。 22m2?m?3?0，解得m??1或m?∴点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?经检验y?2x?1和y?2x?3，……………………11分 23都符合题设， 23……………………12分 2∴满足条件的点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zfr3.html