2016新疆应用职业技术学院数学单招试题测试版（附答案解析）

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一、选择题

1．已知抛物线y2＝4x, 则过点P(－1,1)与抛物线有且只有一个交点的直线的条数是( )

A．1 B．2 C．3 D．不确定

解析：选C.过抛物线外一点P与抛物线只有1个交点的直线有两种：①与对称轴平行(1条)；②切线(2条)．故选C.

x2y2

2．以椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2∶1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )

2A. 34C.9

B.6 3

3D.2

6

解析：选B.利用圆的性质和椭圆的性质可以求出离心率为3.

x2y2

3．P是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是5→→，且PFPF2＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( ) 1·4

A．4 B．7 C．6 D．5

考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com 解析：选B.设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，故4a2＝(x－y)2＝4c2－c5

36，又a＝4，∴c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7.

→→→→

4．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．6

→→→

解析：选B.因为M(－3,0)，N(3,0)，所以MN＝(6,0)，|MN|＝6，MP＝(x＋3，y)，→

NP＝(x－3，y)．

→→→→由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0得6?x＋3?2＋y2＋6(x－3)＝0，化简整理得y2＝－12x，所以点M是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到点M的距离的最小值就是原点到点M(－3,0)的距离，最小值为3.

x2y2

5．已知点F是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋2) D．(2,1＋2)

b2b2

解析：选B.由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，a)，B(－c，－a)，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，

b2b2→→→→

∴EA·EB>0，即EA·EB＝(－c－a，a)·(－c－a，－a)>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.

二、填空题

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→

6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若OA＝(0，－4)，M在y轴上，→1→→

且AM＝2(AB＋AC), 点C在x轴上移动，则点B的轨迹E的方程为________．

→1→→

解析：∵AM＝2(AB＋AC)， ∴M是BC的中点，

y

设B(x，y)，则M(0，2)，C(－x,0)， →→

CB＝(2x，y)，CA＝(x，－4)， →→

∵∠C＝90°，∴CB⊥CA，CB·CA＝0. 即(2x，y)·(x，－4)＝0， ∴x2＝2y. 答案：x2＝2y

7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.

p

解析：∵F(2，0)，∴设A(x1，y1)、B(x2，y2), p

直线AB：y＝x－2，与y2＝2px联立， p2

得x－3px＋4＝0.

2

∴x1＋x2＝3p.

由弦长公式得，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2. 答案：2

考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com 8．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于

→→

点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

解析：如图，设椭圆C的焦点在x轴上，B(0，b)，F(c,0)， →→

D(xD，yD)，则BF＝(c，－b)，FD＝(xD－c，yD)，

→→∵BF＝2FD，

?c＝2?xD－c?，∴?

－b＝2y，?D

?x＝2，∴?b

y＝－?2.DD

3c

3cb??2?－?22213∴a2＋b2＝1，即e2＝3，∴e＝3. 3答案：3 三、解答题

9．抛物线的顶点在原点，焦点在射线x－y＋1＝0(x≥0)上． (1)求抛物线的标准方程；

(2)过(1)中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交

→→FA·FB

点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．

→2FM

解：(1)∵抛物线的顶点在原点，焦点在射线x－y＋1＝0(x≥0)上， ∴抛物线的焦点为(0,1)． 故抛物线的标准方程为x2＝4y.

考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com x2x212(2)设A(x1，)、B(x2，)．

44

x11

过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝2x－4x21， x2x22y＝x－，

24

x1＋x2x1x2

其交点坐标M(2，4)．

设AB的直线方程为y＝kx＋1, 代入x2＝4y， 得x2－4kx－4＝0，

x1＋x2

∴x1x2＝－4，M(2，－1)， ∴点M的轨迹为y＝－1.

2x1x2→→2∵FA＝(x1，4－1)，FB＝(x2，4－1)，

x2x2→→12∴FA·FB＝x1x2＋(4－1)(4－1) 12＝－(x21＋x2)－2. 4

x1＋x21→2而FM2＝(2－0)2＋(－1－1)2＝4(x21＋x2)＋2， →→FA·FB∴＝－1.

→2FM

x2y2

10．已知过点A(4,6)的双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(4,0)，直线l过点F且与双曲线右支交于点M、N，点B为双曲线右准线与x轴的交点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若△BMN的面积为365，求直线l的方程． 16362??a2－b2＝1，?a＝4，

解：(1)由题意，得???2

b＝12.?22??a＋b＝16，

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