2016辽宁铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．（文）已知命题甲为x＞0；命题乙为，那么（）

A．甲是乙的充分非必要条件

B．甲是乙的必要非充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

（理）已知两条直线∶ax＋by＋c＝0，直线∶mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（文）下列函数中，周期为的奇函数是（）

A． B．

C． D．

（理）方程（t是参数，）表示的曲线的对称轴的方程是（）

A． B．

C． D．

3．在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）．给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；

②；

③；

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④．

其中正确结论的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（文）在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）

A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶

（理）已知数列的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么与的大小关系是（）

A． B．

C． D．与n的取值相关

5．（文）将4互不相同的彩色照片与3互不相同的黑白照片排成一排，任何两黑白照片都不相邻的不同排法的种数是（）

A． B． C． D．

（理）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：

表1 市场供给量

表

（）

A.（2.3，2.6） B．（2.4，2.6）

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C．（2.6，2.8） D．（2.8，2.9）

6．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C．2 D．4

7．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为（）

A．（1，3） B．（-1，3）

C．（1，0） D．（-1，0）

8．已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若

，

则实数a的取值围是（）

A．a≤2 B．a≤-2或a≥2

C．a≥-2 D．-2≤a≤2

9．如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）

A．60° B．45° C．0° D．120°

10．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

11．双曲线的虚轴长为4，离心率，、分别是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且是的等差中项，则等于（）

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A． B． C． D．8．

12．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．若是数列的前n项的和，，则________．

14．若x、y满足则的最大值为________．

15．有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，教师对A说：“你没能得第一名”．又对B说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有________种可能（用数字作答）．

16．若对n个向量，…，存在n个不全为零的实数，，…，，使得成立，则称向量，，…，为“线性相关”．依此规定，能说明（1，2），（1，-1），（2，2）“线性相关”的实数，，依次可以取________（写出一组数值即中，不必考虑所有情况）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知，求的值．

18．（12分）已知等比数列的公比为q，前n项的和为，且，，

成等差数列．

（1）求的值；

（2）求证：，，成等差数列．

19．（12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．

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（1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．

注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．

20甲．（12分）如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）求证点M为边BC的中点；

（2）求点C到平面的距离；

（3）求二面角的大小．

20乙．（12分）如图，直三棱柱中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角

三角形，AC＝2a，＝3a，D为的中点，E为的中点．

（1）求直线BE与所成的角；

（2）在线段上是否存在点F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，说明理由．

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页脚 21．（12分）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0），B 是右顶点，F 是右焦

点，点A 在x 轴正半轴上，且满足、、

成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．

（1）求证：；

（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值围．

22．（14分）设函数

，，且方程

有实根．

（1）证明：-3＜c ≤-1且b ≥0；

（2）若m 是方程

的一个实根，判断的正负并加以证明． 参考答案

1．（文）A （理）C 2．（文）A （理）B 3．C 4．（文）D （理）B

5．（文）D （理）C 6．A 7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C

13．33 14．7 15．18

16．只要写出-4c ，2c ，c （c ≠0）中一组即可，如-4，2，1等

17．解析：

． 18．解析：（1）由

，，成等差数列，得，

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若q＝1，则，，

由≠0 得，与题意不符，所以q≠1．

由，得．

整理，得，由q≠0，1，得．

（2）由（1）知：，

，所以，，成等差数列．

19．解析：（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法种，

其中，两球一白一黑有种．

∴．

（2）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，

∴P（B）＝0.4×0.6＋0.6＋×0.4＝0.48

法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”．

∴

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为．

20．解析：（甲）（1）∵△为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴且．

∵正三棱柱，∴底面ABC．

∴在底面的射影为CM，AM⊥CM．

∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点．

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（2）过点C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，

∴AM⊥平面∵CH在平面，∴CH⊥AM，

∴CH⊥平面，由（1）知，，且．∴．∴．

∴点C到平面的距离为底面边长为．

（3）过点C作CI⊥于I，连HI，∵CH⊥平面，

∴HI为CI在平面的射影，

∴HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

在直角三角形中，，

，

∴∠CIH＝45°，∴二面角的大小为45°

（乙）解：（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

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∵AC＝2a，∠ABC＝90°，

∴．

∴B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0），

（，0，3a），（0，，3a），（0，0，3a）．∴，，，，，，

∴，，，，，．

∴，，∴，

∴．故BE与所成的角为．（2）假设存在点F，要使CF⊥平面，只要且．

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不妨设AF＝b，则F（，0，b），，，，，0，，

，，，∵，∴恒成立．

或，

故当或2a时，平面．

21．解析：（1）法一：l：，

解得，．∵、、成等比数列，

∴，∴，，，，，∴，．∴

法二：同上得，．

∴PA⊥x轴．．∴．

（2）∴．

即，∵，∴，即，．∴，即．

22．解析：（1）．又c＜b＜1，

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故方程f（x）＋1＝0有实根，

即有实根，故△＝

即或

又c＜b＜1，得-3＜c≤-1，由知．

（2），．∴c＜m＜1 ∴．

∴．∴的符号为正．

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