2016黑龙江建筑职业技术学院单招数学模拟试题（附答案）

考单招——上高职单招网 2016黑龙江建筑职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

一、选择题：（每小题5分，共50分）

1．设复数z满足关系式z?z?2?i，那么z等于 A.?3333?i B.?i C.??i D.?i 44442．已知等差数列{an}中，a7?a9?16，a4?1，则a16的值是 A.15 B.22 C.31 D.64 3．若命题p：x?A?B，则?p是

A.x?A且x?B B.x?A或x?B C.x?A?B D.x?A?B

4．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同

的参观路线种数共有

5．已知空间直角坐标系O?xyz中有一点A(?1,?1,2)，点B是xOy平面内的直线

A. 6种

B. 8种 C. 36种 D. 48种

x?y?1上的动点，则A,B两点的最短距离是

A.6B.1734C.3 D.

22n?16．若不等式(?1)(?1)na?2?对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

n55,1) D. (?,1) 22 A. [?2,1) B. (?2,1) C. [?

考单招——上高职单招网 ?x?0?7．点M(a,b)在由不等式组?y?0确定的平面区域内，则点N(a?b,a?b)所在

?x?y?2?平面

区域的面积是

A. 1

B. 2

C. 4

D.8

8．如图，三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC，

PA?AB?1，BC?2，则三棱锥P?ABC的外接球表面积为

A. 4? B.3? C.2? D.?

9．设M是?ABC内任一点，且AB?AC?23,?BAC?300,设

?MBC,?MAC,?MAB的面积分别为x,y,z，且z?1，则在平面直角中坐标系中，2以x,y为坐标的点(x,y)的轨迹图形是

10．对于集合P、Q, 定义P?Q?{x|x?P,且x?Q}，P?Q?(P?Q)?(Q?P)，

设集合A?{y|y?x2?4x,x?R}，B?{y|y??3x,x?R}，则A?B等于 A. ??4,0? B. ??4,0?

y1?2y1yy1?2?1?2oA?12xoB12xoC?12xoD?x1

考单招——上高职单招网 C. ???,?4???0,??? D. ???,?4???0,???

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个

区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域

内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区 域内的概率为 ．

12．函数f(x)?x?2cosx在?0,?上的最大值为.

213．设(x?1)4(x?4)8?a0(x?3)12???a11(x?3)?a12，则

54312109867?????a0?a2?a4???a12?.

x2y214．点P是双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)和圆C2:x2?y2?a2?b2的一个交

ab点，且2?PF1F2??PF2F1,其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离

心率为。

15．函数f(n)?k(其中n?N*)，k是2的小数点后第n位数字，

2?1.41421356237?，

则f?f?f[f(8)]?的值为

???????2005个

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三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??)(x?R,A?0,??0,|?|?（1）试确定f(x)的解析式； （2）若f(

17．(本小题满分12分)

抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列{an}，使

n?1,(当第n次出现奇数时)an??，记?ai?a1?a2???an.

i?1??1,(当第n次出现偶数时)7?2)的图象（部分）如图所示，

a12?)?, 求cos(?a)的值。 2?23（1）求

?ai?1i?3的概率；

（2）若

?ai?12i?0，求?ai?3的概率.

i?17

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18．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，AC?BC，AB?2，O为AB的中点，沿OC将△AOC折

起到

△A?OC的位置，使得直线A?B与平面ABC成30°角.

（1）若点A?到直线BC的距离为1，求二面角A??BC?A的大小； （2）若?A?CB??OCB??，求BC边的长.

19．(本小题满分12分)

2已知函数f(x)?2n1?x?x在?0,???上最小值是an(n?N*).

（1）求数列?an?的通项公式； （2）证明：

1111?????； 22a12a2an2（3）在点列An(2n,an)中是否存在两点Ai,Aj(i,j?N*)，使直线AiAj(i,j?N*)的斜

率为1？若存在，求出所有的数对?i,j?；若不存在，请说明理由.

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20．（本小题满分13分）

某水库年初的存水量为a(a?10000)，其中污染物的含量为P0，该年每月降入水库

的

水量与月份x的关系是f(x)?20?|x?7|（1?x?12,x?N)），且每月流入水库的

污水

量r，其中污染物的含量为P(P?r)，又每月库水的蒸发量也为r（假设水与污染物

能充

分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）. （1）求第x个月水库含污比g(x)的表达式（含污比?污染物含量）；

库容总量（2）当P0?0时，求水质最差的月份及此月份的含污比.

21．（本小题满分14分）

4x2y2如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，左、右焦点分别为F15ab和F2，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），

且∠APB=2?，∠F1PF2?2?.

（1）若??45?，三角形F1PF2的面积为36，求椭圆C的方程；

考单招——上高职单招网 （2）当点P在椭圆C上运动，试证明tan??tan2?为定值.

参考答案

一、选择题：

题号 答案

二、填空题: 11.

三、解答题：

16．解：（1）由图象可知A?2,?分

将点P（,2）代入y?2sin(?x??)，得sin(1 D 2 B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 C 6?; 12. ?3; 13. 128; 14. 3?115. 2; 256T5112????， ∴T=2， ???? …………34632T13?3??)?1，又

|?|??2，所以???6，

故所求解析式为 f(x)?2sin(?x??6),(x?R) ………………………………………6分

考单招——上高职单招网 （2）∵f(∴ cos(分

17. 解：（1）设事件

a1a?1)?， ∴2sin(?)?，即 sin(a??)?1……………………8分 2?226226472??a?a?2a??………12?a)?cos[??2(?)]??cos[2(?)]?2sin(?)?183626226?ai?17i?3为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，

1 2 而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为P? 分

5()5()2?根据独立重复试验概率公式：P(A)?C7121221………………………………6128 （2）若数.

?ai?12i?0,则?ai?2,或?ai??2，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶

i?1i?122若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数， 其概率：P1?1213125C5()()?…………………………………………………………8分 42264若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：

P2?1151()?.…………………………………………………………………………10分 421285111??.…………………………………12分 64128128 ? 所求事件的概率P?P1?P2?18．解：（I）由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC.

过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，

∴∠A′ED=30°，又A′O=BO=1，∴∠A′OD=60°，从而A′D=A′Osin60°=过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC.

3. 2

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∴∠A′ED为二面角A′—BC—A的平面角. 由已知，A′E=1，在Rt△A′DE中sin?A?ED?A?D3?. A?E2∴∠A′ED=60°故二面角A′—BC—A的大小为60°. ………………………………6分

（II）设BC=x，∠A′CB=θ，则A′C=x，∠OCB=π－θ.

在Rt△BOC中，sin?OCB?在△A′DB中，A′B=

OB11,?sin(???)?,即sin??. BCxxA?D?3.

sin30?

在△A′BC中，A′B2=A′C2+BC2－2A′C·BCcos?A?CB.

?3?x2?x2?2x2cos?.即cos??1??sin2??cos2??1.?3. 22x13292?(1?)?1.即?. x22x24x4x2

93232?x2?,x?.故BC?.………………………………………………………12分

844219．解：（1）由f(x)?2n1?x?x得f?(x)?2nx1?x2?1，令

f?(x)?0?x???114n?12，

当x???0,???1?时，f?(x)?0； 当x???时，f?(x)?0， ,?????224n?1??4n?1?∴f(x)在[0,??)上，当x?4分

（2）证明：∵

14n2?1时取得最小值4n2?1，∴an?4n2?1………

11111??(?) 22an4n?122n?12n?1∴

111111111111?????[(1?)?(?)???(?)]?(1?)?. 2223352n?12n?122n?12a12a2an

考单招——上高职单招网 ………………………………………………8分

（3）不存在. 假设存在两点Ai,Aj满足题意，即kAIAJ?1, 令x?2n,y?an，则y?x2?1(x?2)，故点Ai,Aj都在双曲线

x2?y2?1(x?2,y?1)上，

而双曲线的一条渐近线方程为l:y?x，其斜率为1，这显然不可能，所以这样的两点

Ai,Aj不存在。………………………………………………………………………………………………12

分

20．解：（1）第x月水库含污染物P0?P?x，库容总量=

a?f(1)?f(2)???f(x)

当1?x?6(x?N)时,f(x)?13?x,

(14?13?x)?xx2?27x?2a? 此时库容量?a?14?15???(13?x)?a?

22 当7?x?12(x?N)时,f(x)?27?x,

?x2?53x?2a?84 此时，库容总量?a?99?20?19???(27?x)?

2?2P0?2P?x(1?x?6,x?N)??x2?27x?2a ∴ g(x)??…………………………………6分

2P?2P?x0?(7?x?12,x?N)2???x?53x?2a?84 （2）∵P0?0，a?10000，当1?x?6时，g(x)?2P

2ax??27x易证x?2a?27在(0,2a)上是减函数，且恒大于零， x12P

198?2a∴g(x)在区间[1,6]上是增函数 ∴当x?6时，g(x)max?当7?x?12时，g(x)?2P

2a?84?x??53x

考单招——上高职单招网 易证?x?2a?84?53在(0,??)上是减函数，且恒大于零. x12P.

204?a∴g(x)在区间[7,12]上是增函数 ， 当x=12时，g(x)max?∵a?10000， ∴

12P12P?.

204?a198?2a12P ……………………………………13分

204?a22∴水质量最差的是12月份，其含污比为

21．解：（Ⅰ）由于三角形F1PF2为直角三角形，则PF1?PF22即(PF1?PF2)?2PF1PF2?F1F2，

2?F1F2，

2?三角形F1PF2的面积为36，∴

1PF1PF2?36，即PF1PF2?72， 22222?（2a）?2?72?（2c）（2a）?（2c）?2?72， ∴b2?36. ，即

4c216a2?b2162a?100， ?，即， ∴?椭圆C的离心率为，则2?25a25a25x2y2??1．……………………………………………………7分 ∴椭圆C的方程为

10036（Ⅱ）不妨设点P(x,y)在第一象限，则在三角形PF1F2中，

F1F2?PF1?PF2?2PF1PF2cos2?，

2∴F1F2?(PF1?PF2)?2PF1PF2(1?cos2?),

2222即4c2?4a2?2PF1PF2(1?cos2?)，

2b22b2b2∴PF1PF2?. ??221?cos2?2cos?cos??S?F1F2P1b2sin2?b2sin?2??btan?. ?PF1PF2sin2??22cos?2cos?1cy?S?F1F2P??2c?y?cy， ∴b2tan??cy，即tan??2.

2b

考单招——上高职单招网 作PC?x轴，垂足为C.

CBa?xa?x，， ?tan?CPB???tan?APC?PCyPCya?xa?x?2ayyy∴tan2??tan(?APC??CPB)?. ?a2?x2x2?y2?a21?y2x2y2a2y22ay22??2?2?1， ∴x?a?2. ∴tan2??222babx?y?a2a2ab2?2. 2a?cy(1?2)ybAC∴tan??tan2??4522，?离心率e?，∴tan??tan2???. ?c?e52?a∴tan??tan2?是定值, 其值为?

5. ……………………………………………………14分 2

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