正态分布习题与详解(1)

1.若x?N(0,1), 求(I) P2).

解：⑴ P

=-[1- ]==.

(2)Rx>2)=1- P(x<2)=1- (2)==.亍

2利用标准正态分布表，求标准正态总体

(1)在 N(1,4)下，求F(3).

2 ,

(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)

3 1

解：(1) F (3) = (— -)= Q( 1)=

2

(2)F(y+b)= ( ------- ) =0( 1)=

F(y—b) )=0(—1 )=1 —①(1)=1— =

F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)

3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为1

=，求总体落入区

间(一，)之间的概率 40() =, 0()=]

解：正态分布的概率密度函数是f(x) (x )2

2 2

,x

)，它是偶函数,

1

说明”。，f(x)的最大值为f()=石

，所以c= 1,这个正态分布就是标准正态分布+

4.某县农民年平均收入服从 =500 入在500：520元间人数的百分比；

内的概率不少于，则a至少有多大？元，

(2)

[O

=200元的正态分布.(1)求此县农民年平均收如果要使此县农民年平均收入在( a, a )

()=,0()=]

解：设表示此县农民年平均收入, ~N(500,2002).

P(500 520) (520 500200 ) P( a) 500 500

( )(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 )

200

a a

0.95,

查表知: —1.96

200

392

1设随机变量(3,1), 若沪以："昭:-.松”则P(2

(B)l C. l-2p

【答案】C 因为垃3；厂□恳飞签Cf：所以 P(2

——「二 T"；：：；：一丄匸,选 C.

2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了 1 000粒，对于没有发芽

的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为

X,则X 的数学期望为（ ）

［答案］C

［解析］由条件知 3B （n, P ）,

np= 4 np 1 — p = 2

A. 100

B . 200

C. 300

D . 400［答案］B

［解析］记“不发芽的种子数为 了 , 则 严 B(1 000,,所以 E( 3= 1 000X = 100,而 X

=2 3 故 E(X)= E(2 3 = 2E( 3 = 200,故选 B.

3.设随机变量3的分布列如下:

其中a, b, c 成等差数列，若 E （ 3 = 3则D （3 =（

3

B.- 1 ［答案］D

［解析］由条件a, b, c 成等差数列知，2b= a + c, 由分布列的性质知 a+ b+ c= 1,又

1 111 1

E(3 = — a+ c= 3,解得 a=6, b = 3, c= 3,「. D(3 =

—1 —1 2+1

0 —1 2+1

1 —-

3 丁 3 0 3 丁 2 1

3 4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为 7，则口袋中白球的个数为（

)A . 3 B . 4

C. 5

D. 2

［答案］A

［解析］设白球x 个，则黑球7 — x 个，取出的2个球中所含白球个数为 3贝U 3取值0,1,2 , C 7-x? 7— x 6— x P( =0)

= "CTT =

42 x - 7— x x 7— x

P( 3= 1) = C 2~ 21 ,

C x 2

x x — 1

P(3= 2)

=尹,

...7-x 6-x + 1 X x7^ 42

21

+ 2X 红二1

6

42

7'

二 x= 3.

5.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击 n 次，各次是否命中相互独立，已知命 中次数3的期望值为4,方差为2,

则 p( 31)=(

解之得，p = 2, n = 8,

1 1 1

??? P （ = o ）= C80x 2 °x 18= 2 8,

1 1 1

P （ = 1）= C81x 2 1x 2 7= 2 5，

? p（>1）= 1 — P （ = o ）- P （ = 1）

1 8— 1 5= 247

2 2 256.

A . d < d= d, 01= d2> d3

B. d > d=d, o=d < o

C. d= d

D. d < d= d, o= o < 03

［答案］D

［解析］正态分布密度函数 $2（x ）和g （x ）的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均

数相同，故d= d ，又屉（X ）的对称轴的横坐标值比

也（X ）的对称轴的横坐标值大，故有 d < d =d .又d 越大，曲线越“矮胖”，0越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函 数咖（X ）和$2（x ）的图象一样"瘦高”，艇（X ）明显"矮胖”，从而可知01= d < 03.

6①命题"卫匚小:；：：.-I ； ”的否定是:"二丫匚―常.T 二卄”；

②

若:■: ■ ;,则叮:■-;：??的最大值为 4; ③ 定义在R 上的奇函数 满足c ,则

的值为0; ④ 已知随机变量 服从正态分布 ，则:Sr - ” ；■. i> ; 其中真命题的序号是 _________ （请把所有真命题的序号都填上 ）.

【答案】①③④ ①命题"讥■匕迂:”的否定是：“ mm j ” ;所以

① 正确?

② 若；：—.芒*、二加―：:、:,则題:牡=谄幕“专,即 '.心

* ―二.?杠.所以 L.-- —:—厂,即（./ - . J I - ■ ■ I. " /■:,解得b '.4 ,则 L- I ■' 的最小

值为 4；

*2*

所以②错误.③定义在 R 上的奇函数 满足...m,：；； - -： d ,贝U

= 且 2」；C ：,即函数的周期是4.所以「；学二门.?： = = 3 ;所 5已知三个正态分布密度函数

则（） 机X ）= 2n 厂 x — d 2 2^（x

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