控制系统的状态方程求解

第三章 控制系统状态方程求解

3－1 线性连续定常齐次方程求解

所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：

………………………………………………………(3

－1)

上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。

我们知道，标量定常微分方程的解为：

………………（3

－2）

与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：

………………………………(3

－3)

其中为与X（t）同维的矢量。

将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：

上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：

即:

……………………………………………（3－4）

将系统初始条件

代入（3－3），可得

。代入（3－4）式可得：

…………………………………………………………………（3－

5）

代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：

…………………………(3－

6) 我们记：

……………………………（3－

7）

其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为：

……………………………………………………………………（3－

8）

当（3－1）式给

1 John-Cook材料本构模型

pn?y?(A?B?式中，

?*)(1?T*) )(1?Cln?等效塑性应变；

m???p

——

* ——

?p??0?1.0s-1的无量纲塑性比，?????0?*；

T*

A B n C m

——

相对温度，T*?T?TroomTmelt?Troom

—— —— —— —— ——

n屈服应力，Pa； 应变硬化系数，Pa； 应变硬化指数； 应变率相关系数； 温度相关系数。

表达式的第一项(A?B??*?1.0和T*?0（等温状态）时的应力与应变的函数关系；表)表示对于?m?达式的第二项(1?Cln?硬度 (洛氏) F-30 F-67 F-79 F-72 F-83 F-94 B-75 B-76 C-30 C-50 C-47 C-45 *)和第三项(1?T*)分别表示应变和率温度的影响。

表 Johnson和Cook给出的值 密度 g/cm3 8.9 8.52 8.9 7.89 7.89 7.89 2.77 2.77 7.83 7.75 17.0 18.6 比热 J/kg.K 383 385 446 452 452 452 875 875 477 477 134 447 熔温 K 1356 118

1 John-Cook材料本构模型

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——

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——

相对温度，T*?T?TroomTmelt?Troom

—— —— —— —— ——

n屈服应力，Pa； 应变硬化系数，Pa； 应变硬化指数； 应变率相关系数； 温度相关系数。

表达式的第一项(A?B??*?1.0和T*?0（等温状态）时的应力与应变的函数关系；表)表示对于?m?达式的第二项(1?Cln?硬度 (洛氏) F-30 F-67 F-79 F-72 F-83 F-94 B-75 B-76 C-30 C-50 C-47 C-45 *)和第三项(1?T*)分别表示应变和率温度的影响。

表 Johnson和Cook给出的值 密度 g/cm3 8.9 8.52 8.9 7.89 7.89 7.89 2.77 2.77 7.83 7.75 17.0 18.6 比热 J/kg.K 383 385 446 452 452 452 875 875 477 477 134 447 熔温 K 1356 118

第七讲

第七章 分子动理论（复习）

本章基本要求

1. 掌握气体分子运动论的基本观点、掌握理想气体压强公式及平均平动动能与温度的关系式，理解压强和温度的微观本质。 2. 理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能的计算。 3. 理解麦克斯韦速率分布律。

学习本章应注意的问题

1．理想气体是气体的一种理想化模型。由于气体分子运动沦的任务是研究气体宏观现象和宏观规律的本质井确定宏观量与微观量之间的关系，所以要注意从宏观和微观两个角度所定义理想气体概念。

2．要弄清宏观量与微观量的概念。宏观量是表征大量分子集体特性的量，如压强、温度、体积、热容量等；微观量是去征个别分子特性的量，如分子(或原子)的大小、质量、速度、能量等。 3．要特别体会统计假设及由此引出的统计平均方法。

4．对一些重要的微观量的数量级要有一个较全面的了解，如常温常压下分子的大小、分子数密度、分子速率等。

本章内容提要

一、理想气体状态方程 1. 理想气体

理想气体是一个理想模型，它是对实际气体的一种近似的概括，压强越低，这种概括的精确度就越高。我们可以从不同角度对理想气体模型作出定义。

（1

1 John-Cook材料本构模型

pn?y?(A?B?式中，

?*)(1?T*) )(1?Cln?等效塑性应变；

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——

* ——

?p??0?1.0s-1的无量纲塑性比，?????0?*；

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A B n C m

——

相对温度，T*?T?TroomTmelt?Troom

—— —— —— —— ——

n屈服应力，Pa； 应变硬化系数，Pa； 应变硬化指数； 应变率相关系数； 温度相关系数。

表达式的第一项(A?B??*?1.0和T*?0（等温状态）时的应力与应变的函数关系；表)表示对于?m?达式的第二项(1?Cln?硬度 (洛氏) F-30 F-67 F-79 F-72 F-83 F-94 B-75 B-76 C-30 C-50 C-47 C-45 *)和第三项(1?T*)分别表示应变和率温度的影响。

表 Johnson和Cook给出的值 密度 g/cm3 8.9 8.52 8.9 7.89 7.89 7.89 2.77 2.77 7.83 7.75 17.0 18.6 比热 J/kg.K 383 385 446 452 452 452 875 875 477 477 134 447 熔温 K 1356 118

用矩阵指数法解状态方程的MATLAB函数vslove1：

函数vslove1:求解线性定常连续系统状态方程的解 function [Phit,PhitBu]=vsolves1(A,B,ut)

%vsolves1求线性连续系统状态方程X’=AX+Bu的解 %[Phit,phitBu]=vsolves1(A,B,ut) %A,B系数矩阵

%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t %Phit——输出Phi(t)

%PhitBu——输出phi(t-tao)*B*u(tao)在区间（0，t）的积分

syms t tao %定义符号变量t,tao Phit=expm(A*t); %求矩阵指数exp(At) if (B==0)

B=zeros(size(A,l),l); %重构系数矩阵B end

phi=sub(Phit,’t’,’t-tao’); %求exp[A(t-tao)]

PhitBu=int(phi*B*ut,’tao’,’0’,’t’); %求exp[A(t-tao)]*B*u(tao)在0

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理想气体状态方程

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解“理想气体”的概念。

（2）掌握运用玻意耳定律和查理定律推导理想气体状态方程的过程，熟记理想气体状态方程的数学表达式，并能正确运用理想气体状态方程解答有关简单问题。

2、过程与方法

通过推导理想气体状态方程，培养学生严密的逻辑思维能力。 3、情感态度价值观：

培养分析问题、解决问题的能力及综合的所学知识面解决实际问题的能力。

二、重点、难点分析

1、理想气体的状态方程是本节课的重点，因为它不仅是本节课的核心内容，还是

中学阶段解答气体问题所遵循的最重要的规律之一。

2、对“理想气体”这一概念的理解也是本节课的一个难点，如何理解压强不太高、温度不太低时。另外在推导气体状态方程的过程中用状态参量来表示气体状态的变化也很抽象，学生理解上也有一定难度。

三、导学流程

前置复习：复述三个实验定律的内容。并在作出它们在p-v、p-t、v-t中的图象。

0 t 0 0 t

P

P

V

V

(一)理想所体

1.阅读教材，写出理想气体的定义。

§7.1分子动理论 能的转化与守恒定律

一． 选择题 二．填空题： 三．计算题：

§7.2状态参量和气体实验定律

一．选择题

1．一定质量的理想气体，体积一定，0℃时的压强为p0，t1℃的压强为p1，t2℃时的压强为p2，则下列各式中正确的是（ ）

（A）p2＝p1[1＋（t2－t1）/273] （B）p2＝p0[1＋t2/273]

（C）p2＝p1（t2＋273）/（t1＋273） （D）p2＝p0[1＋（t2－t1）/273]

2．关于摄氏温度和热力学温度的关系正确的是（ ） （A）100℃比100K低 （B）－119℃比54K低 （C）－273℃比2K高 （D）升高10℃和升高10K相同

3．如图所示，封闭着理想气体的气缸开口向下竖直挂在弹簧秤下，弹簧秤的示数为F，已知气缸的质量为M，活塞质量为m，横截面积为S，活塞与缸壁间的摩擦不计，大气压强为p0，则缸内气体的压强为（ ） （A）p0－mg/S （B）p0－Mg/S

（C）p0－（F－Mg）/S （D）p0－[（F－（M＋m）g]/S

4．如图所示各图中，p表示气体的压强，V表示体积，T表示热力学温度，t表示摄氏温

理想气体状态方程(2)典型例题解析

理想气体状态方程(2)·典型例题解析

【例1】某房间的容积为20m3，在温度为17℃，大气压强为74 cm Hg时，室内空气质量为25kg，则当温度升高到27℃，大气压强变为76 cm Hg时，室内空气的质量为多少千克？

解析：以房间内的空气为研究对象，是属于变质量问题，应用克拉珀龙方程求解，设原质量为m，变化后的质量为m′，由克拉珀龙方程

pV＝mRT可得： MMp2VMpVm＝……① m′＝……②RT1RT2

pTm p2T176×290②÷①得：＝ ∴m′＝21m＝×25kg＝24.81kg．mp1T2p1T274×300

点拨：对于变质量的问题，应用克拉珀龙方程求解的比较简单．

【例2】向汽车轮胎充气，已知轮胎内原有空气的压强为1.5个大气压，温度为20℃，体积为20L，充气后，轮胎内空气压强增大为7.5个大气压，温度升为25℃，若充入的空气温度为20℃，压强为1个大气压，则需充入多少升这样的空气(设轮胎体积不变)．

解析：以充气后轮胎内的气体为研究对象，这些气体是由原有部分加上充入部分气体所混合构成．

轮胎内原有气体的状态为：p1＝1.5 atm，T1＝293K

7.（2014 海南卷）（2）一竖直放置、缸壁光滑且导热的柱形气缸内盛有一定量的氮气，被活塞分隔成Ⅰ、Ⅱ两部分；达到平衡时，这两部分气体的体积相等，上部气体的压强为PⅠ0，如图（a）所示，若将气缸缓慢倒置，再次达到平衡时，上下两部分气体的体积之比为3:1，如图（b）所示。设外界温度不变，已知活塞面积为S，重力加速度大小为g，求活塞的质量。m?4p10S 5g

12.（2014年 全国卷2）(2) ( 10分）如图，两气缸A、B粗细均匀、等高且内壁光滑。其下部由体积可忽略的细管

连通；A的直径是B的2倍，A上端封闭，B上端与大气连通；两气缸除A顶部导热外，其余部分均绝热。两气缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a、b，活塞下方充由氮气，活塞a上方充有氧气。当大气压为P0，外界和气缸

内气体温度均为7℃且平衡时，活塞a离气缸顶的距离是气缸高度的

1，活塞b在气缸正中间。 4 （i）现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b恰好升至顶部时，求氮气的温度； （ii）继续缓慢加热，使活塞a上升，当活塞a上升的距离是气缸高度的

a b A B 【答案】（i）320K （ii）4P0/3 21.（2014上海卷）30．（10分）如图，一端封闭、粗细均匀的U形玻璃