理想气体状态方程

第七讲

第七章 分子动理论（复习）

本章基本要求

1. 掌握气体分子运动论的基本观点、掌握理想气体压强公式及平均平动动能与温度的关系式，理解压强和温度的微观本质。 2. 理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能的计算。 3. 理解麦克斯韦速率分布律。

学习本章应注意的问题

1．理想气体是气体的一种理想化模型。由于气体分子运动沦的任务是研究气体宏观现象和宏观规律的本质井确定宏观量与微观量之间的关系，所以要注意从宏观和微观两个角度所定义理想气体概念。

2．要弄清宏观量与微观量的概念。宏观量是表征大量分子集体特性的量，如压强、温度、体积、热容量等；微观量是去征个别分子特性的量，如分子(或原子)的大小、质量、速度、能量等。 3．要特别体会统计假设及由此引出的统计平均方法。

4．对一些重要的微观量的数量级要有一个较全面的了解，如常温常压下分子的大小、分子数密度、分子速率等。

本章内容提要

一、理想气体状态方程 1. 理想气体

理想气体是一个理想模型，它是对实际气体的一种近似的概括，压强越低，这种概括的精确度就越高。我们可以从不同角度对理想气体模型作出定义。

（1）理想气体宏观模型：严格遵守状态方程,其内能只是温度的单值函数的气体．叫做理想气体。实验表明，实际气体在压强不太大时，都近似遵守上述规律．因而可近似看作是理想气体。

（2）理想气体微观模型：具有下述特点的气体，就是理想气体。第一，分子的大小与分子间平均距离相比可忽赂不计；第二．除碰撞瞬间外，分子之间和分子与器壁之间无相互作用；第三，分子之间和分子与器壁之间的碰撞都是完全弹性的。 2. 平衡态

热力学系统在不受外界影响的条件下，其所有宏观性质都不随时间变化的状态．称为平衡态。这里所说的不受外界影响，是指外界对系统不做功也不传热．但是不要求系统不受外力作用．只要外力不做

功，对系统的热力学状态就没有影响。要强调以下几点：

（1）不受外界影响和系统的所有宏观性质不随时间变化，这是判别一个系统是否处于平衡态的两个重要依据，二者缺一不可。如果第一个条件不满足，即使系统处于所有宏

观性质不随时间变化的稳定状态，也不是平衡态。反之，即使系统不受外界影响，但第二个条件不满足，也不是平衡态。

（2）在不存在外力或外力作用可以忽略的情况下、一个均匀系统在达到平衡态时，它内部的各种宏观性质处处一样。在外力的作用不可忽略的情况下(例如处在重力场中的大气)．一个系统达到平衡态时，它内部的某些宏观性质就不是均匀的(例如在地面上不同高度处大气的压强和密度不同)。

（3）平衡是相对的。这有两方面的含义，一是指平衡态是一个理想的概念．是在一定条件下对实际情况的抽象与概括，因为一个系统不可能完全不受外界影响．其宏观性质

也不可能绝对不变，只是在某些问题中可以忽略这些影响或变化，而近似当作平衡态来处理。二是指当一个系统处于平衡态时，组成系统的分子仍在不停地运动着，只是分子运动的平均效果不随时间改变，这种微观运动平均效果的不变性即表现为系统宏观性质不变。因此把这种热力学中的平衡叫热动平衡。 二、理想气体压强公式

从理想气体的微观模型出发，并假定单个分子的运动遵守牛顿运动定律，大量分子的无规则运动还同时满足统计规律，推导出压强公

221212p?mnvp?nmv?3323n?t。式中n是单位体积的分式：，

???子数，t2v是分子的平均平动动能，m是分子质量，是所有分子的

v2的平均值。

（1）该公式把描述气体状态的宏观量p和描述分子运动状态的微观量的统计平均值

具有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义，从而揭示了压强这一宏观量的微观本质。

（2）从中可以看到．由于大量分子的无规则运动所遵循的统计规律是与力学规律不同的规律、因而采用的研究方法也不同，采用的是求统计平均值的方法，压强公式中的

?n，t2v、联系起来，表明气体压强这个概念

n、?t都是这样求出的。

（3）压强公式是根据许多假设推导出来的，它是否正确，需要通过实验来验证。但分子的平均平动动能；是无法直接测量的，所以压强公式无法直接用实验验证。但是．从

这个公式出发，能够从微观角度满意地解释气体中的许多现象和规律，并为实验所证实，这就间接地证明了这个公式的正确性。 三、理想气体分子的平均平动动能与温度的关系

3??kT，这个公2 由理想气体状态方程和压强公式可以得到：t式把温度这个宏观量与分子的平动动能这个微观量的统计平均值联

系起来，它也具有统计意义。可以说，温度是气体分子无规则热运动剧烈程度的标志，但只是对系统而百，温度才有意义，对一个分子，只有动能，无所谓温度。

由该公式可得到气体分子的方均根速率

vrms四、能量按自由度均分定理

该定理是指出，处在温度为T的平衡态下的系统．其分子的每个

3kT3RT?v??mM

21kT自由度上都具有相同的平均动能各2。

1. 这是一条统计规律，是对大量分子的统计平均而言，对于个别分子．在任一瞬间其热运动能量完全可能与按均分定理所确定的平均值有很大差别。

2. 所谓自由度，是指确定物体在空间的位置所需的独立坐标数。一个单原于分子有3个自由度．一个刚性双原子分子有5个自由度，其中3个是平动自由度，2个是转动自由度。一个刚性多原子分子有6个自由度，其中3个是平动，3个是转动。对于非刚性的双原子相多原子分子，由于分子内部原子间的相对振动，还有振动自由度。 3. 该定理不仅适用于分子的平动，也适用于分子的转动和振动。 按能量均分定理，对于一个刚性分子(不计振动)．平均总能量为

it?rε＝kT＝kT22，式中t、r分别是分子平动自由度和转动自由

度，i是刚性分子的自由度数。

对于一个非刚性分子，即考虑分子振动时，平均总能量为

it?r?2sε?kT?kT22，式中s是分子的振动自由度数，前面的

因子2是考虑在分子内部原于的微振动可近似看作简谐振动，而谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能相等，因此，对于每一个振动

1kT自由度，分子还具有2的平均势能。

五、理想气体的内能

从微观角度看，系统的内能包括系统内所有分子各种形式的动能、分子内原于间的振动势能以及分子之间相互作用的势能。对于理想气体．由于忽赂分子间的相互作用，所

以系统的内能只是分子各种形式的动能和分子内原于间的振动势能的总和。于是质量为m，摩尔质量为M的理想气体系统的内能为：

iimE?Nε?NkT?RT22M。可见对于一定量的某种理想气体．其

内能只由温度决定，是温度的单值函数。

六、麦克斯韦气体分子速率分布律

当气体处于平衡态时，分布在任一速率区间v~v+dv 内的分子数占总分子数的比率为

dNv?m??mv22kT2?4??vdv?eN?2?kT?

32?m??mv22kT2f?v??4??v?e?2?kT?其中 叫做分子速率分布函

数．表示处于速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。

1. 麦克斯韦速率分布律是个统计规律。只对由大量分子构成的气体这一宏观系统成立。式中dNv/N是一个统计平均值，从统计观点来说，它是指处于平衡态下的气体中速率

在v~v+dv速率间隔中的分子数平均占多大比率。但是．由于分子运动的无规则性，在速率间隔v~v+dv中的分子数是不断交化的。在某一瞬间、在这一速率间隔中的实际分子数的比率可能与按此定律算出的dNv/N值有差别，即出现某瞬时值偏离平均值的涨落现象。

32 2. 定律中所说的速率间隔v~v+dv中实际包含许多不同的速率，具有这些速率约分子数的统计平均值为dNv。但不能问速率恰好为某一确定值v的分子效是多少，因为这 种情况等于说dv=0，但由于气体总分子数N(尽管很大)并不是无穷大，则与dv=0对应的分子数dNv可能为零，所以这个问题是没有意义的。 3. 按麦克斯韦速率分布律，处在0??整个速率区间的分子数

0当然等于分子总数函数的归一化条件。

4. 速率分布曲线的几何意义 5. 三仲速率

N?dNv??f?v?dv?10N，这就是速率分布

?N，因此

2kT2RTvp??mM （1）最可几（最概然）速率

8kT8RTRTv???1.6?m?MM （2）平均速率

vrms （3）方均根速率

3kT3RT?v??m?

2思考题和例题

1. 一定质量的气体，当温度保持恒定时，气体的压强随体积的减小而增大；当体积保持恒定时，压强随温度的升高而增大。从微观角度看，这两种使压强增大的过程有何区别？

2. 在体积为V的容器中装有几种不同种类的气体，各种气体的质量分别为ml、m2、……，摩尔质量分别为Ml、M2、……，试从气体分子运动论出发，写出混合气体在温度为T时的压强。

3. 一容器内贮有一定质量的某种双原于理想气体。设容器以速度v运动．今使容器突然停止，试问：

（1）气体的定向运动机械能将转化成什么形式的能量？ （2）气体分子速率平方平均值的增量是多少? 4.

5.

思考题 1. 答

压强是大量气体分子与器壁碰撞的宏观结果。一定质量的气体，当温度不变时，如果体积减小，则单位体积内的分子数n增大．单位时间内分子碰撞器壁的次数增多，所以压强增大。理想气体状态方程p=nkT定量地反映这一结果。

当体积不变时，如果温度T升高，分子热运动加剧，分子平均平

3??kT增大，则分子每次与器壁碰撞给予器壁的平均冲量2动动能t2212p?nmv?n?t正反映了这一323增大，所以压强增大。压力公式

??结果。

2. 答

3?t?kT2p?n?2， t，n=n1+n2+……，3 由

miNAkTp??nikT??V iiMi可得

mipV??RTiMi即 ，

这就是混合气体在温度为T时的压强。

3. 答

（1）气体定向运动的机械能将转化为气体的内能。 （2）设气体的质量为m．则气体内能的增量为

12?E?mv2。但理想气体的内能只决定于温度，有imMv2?E?R?T?T?2MRi。 ，因此温度增量为：

223R?T3RT3RMv3v?v2?v2??v2??M，M可得MRii， 由因此

对双原子分子，i=5，所以：

23v?v2?5

4. 答

5. 答

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