控制系统状态方程求解 -

第三章 控制系统状态方程求解

3－1 线性连续定常齐次方程求解

所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：

………………………………………………………(3

－1)

上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。

我们知道，标量定常微分方程的解为：

………………（3

－2）

与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：

………………………………(3

－3)

其中为与X（t）同维的矢量。

将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：

上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：

即:

……………………………………………（3－4）

将系统初始条件

代入（3－3），可得

。代入（3－4）式可得：

…………………………………………………………………（3－

5）

代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：

…………………………(3－

6) 我们记：

……………………………（3－

7）

其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为：

……………………………………………………………………（3－

8）

当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明：

………………………………………………………………（3－

9）

从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时

转

间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量移到t时刻的状态矢量

，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们

称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：

……………………………………………………………（3－

10） 所以：

【例3－1】 已知解：根据（3－7）式，

，求

3－2

性质1：

的性质及其求法

【证】 根据的定义式（3－7），

【证毕】 性质2：①

②

③【证】：

①：根据(3－7)式，即有：

②：由性质1及其关系①，

③:由②式两边同时左乘

，所以：

，注意本身是一个n×n的方阵，

即：

从上式可知，矩阵指数函数【证毕】

的逆矩阵始终存在，且等于。

性质3：若矩阵A，B可交换，即AB＝BA，那么立。

【证】 根据（3－7）式的定义，

，否则不成

比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当AB＝BA式，【证毕】

。

性质4：

【证】 因为所以

上式右边多项式中，由于t是标量，所以A可以左提或右提出来。所以：

或

由此可知，方阵A及其矩阵指数函数【证毕】

是可交换的。

性质4可用来从给定的

矩阵中求出系统矩阵A，即：

……………………………………………

（3－11）

【例3－2】 已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵A

解：根据（3－11）式

性质5：若矩阵A为一对角阵，即A=且

，那么

也是对角阵，

【证】 按照（3－7）定义式，并注意所以有：

【证毕】

性质6：若n×n方阵A有n个不相等的特征根矩阵，

，则有：

，M是A的模态

……………………………………………………………………（3

－12）

【证】 考虑齐次方程的解，其解为：

……………………………………………………………………（3

－13）

我们对齐次方程作线性变换X＝MZ，则有：

，即：

，且，所以：

即，两边左乘M得：

…………………………………………………………………（3

－14）

比较（3－13）和（3－14），因此有:

上式经常用来求【证毕】

。

【例3－3】 已知 ，求

解：

所以

的特征向量满足：

求得：

同理，，求得：

所以，模态阵根据（3－12）式，

，

性质7：若

为mi×mi的约当块，即

那么有：

………………………………………

……（3－15） 【证】

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