数学物理方法习题

数学物理方法习题

一、 复变函数

1、 填空题

（1）函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。

（2）ln1=_________. (3)eix?_________。

（4）求积分 ?z?1sinzdz=______ . 2zcoszdz?_________。 (5) 求积分?z?1zzn (6) 设级数为?,求级数的收敛半径_______________。

n?1n?(7).设级数为?（zn?n?1?1 ) ,求级数的收敛区域 _________。nn2z (8) 求积分

(9) 求积分

dz?z?1z =___________.

?z?1dz=____________. z（10）设f (z)=

cosz , 求Resf (0)= _________。 z92、计算题

（1）导出极坐标下的C- R条件：

??u1?v??????????v1?u??????????

(2) 己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：

y a、u?ecosx, b、v??x2?y2

?y?x?xcosy?ysiny? v?ec、

（3）设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f (z) 的模 ∣f (z)∣为常数，证明 f (z) 在D 内为常数。

(4) 设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f *(z)也是区域D 内的解析函数，则f (z)必常数。 (5) 求函数 f (z)=

z?1 在下列区域 ⅰ) 0<∣z∣< 1； ⅱ) 1<

z2(z?1)∣z∣<∞ 的Laurent展开。

(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别

1a、 b 、esinz?cosz(7) 求下列积分

z?1zz2n c 、

1?zn n为正整数.

sinxa、 ?x(x2?1)dx,

0 b、

??sinzz?2????z??2??2dz

cosax?cosbxdx,a?0,b?0,且a?b c、?2x0?d、

??0acosx?xsinxdx 22x?aω

(二) 积分变换

1、填空题

（1）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为F?????????0? ， 求f (t)=____________。

dF???（2）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为F（ω），求对应的

d?原函数为____________。

（3）设Laplace变换L[f(t)]=F(p),求L[-tf(t)]=_________.

?t?Lsinat(4) 求??=____________。 2a??2、计算题

(1) 求函数 f(x)?e???x (β>0 )的 Fourier变换, 证明

co?sx???xd??e22?2???0?

(2) 设

f?x??cos?0x?H?x?,求F?f?x??.

(3) 己知某函数的傅氏变换为F(ω)=sinω/ω,求该函数f(x). (4) 求下列函数的拉氏变换式：

1.f?t??tcosat,2.f?t??e?tsint,3.f?t??(5) 求下列函数的拉氏逆变换式：

e3tt

11p?11、F?p??2,2、F?p??,3、F?p??ln2p?1p?1?p?1?(6) 利用拉氏变换求解下列微分方程：

1、f?t??at??sin?t???f???d?0t

?y''?2y'?y?02、??y?0??0,y?1??2

（7）利用拉氏变换求下列积分 e?t?e?2t1、dt?t0??，

2、?1?cotstedtt0

(三) 数学物理方程

练习题 1、填空题

（1）长为L的均匀细杆,一端绝热, 另一端保持恒度u0 ,试写出此热传导问题

的边界条件 _________ ，_________。

（2）长为L的均匀杆作纵振动时，一端固定 ，另一端受拉力F0 而伸长，试写出杆在撒去力F0后振动时的边界条件_________ ，_________

（3）长为L的均匀细杆, 一端有恒定热流q0 流入, 另一端保持恒温T0 , 试写出此热传导问题满足的边界条件____________, _________ 。

（4）. 长为L的均匀杆, 一端固定, 另一端受拉力F而伸长, 放手后让其自由振动, 试写出杆振动满足的初始条件 =____________ ，_________ 。

（5）对球函数YLm（θφ）, 当m ＞L 时, 为YLm（θφ）______。

dJ0?0??____ , J0（0）=____ 。 （6）对m阶贝塞尔函数Jm（x），

dx（7）无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为Sin(kx), 初始速度为 零, 则弦上任意时刻的波动为______________ 。 (其中a为弦上的波速 , k为波矢的大小)

（8）无限长弦的自由振动, 设弦的初始位移为φ(x), 初始速度为aφ，(x) ，（a为弦上的波速）则弦上任意时刻的波动为______________。

（9）稳定的温度场的温度分布u 满足的数学物理方程为_____________ 。

4x（10）对m阶贝塞尔函数Jm（x），?J1?x?dx?____。

12x（（11）对L阶勒让德多项式P（x）, 积分3x）dx=___________. L?P?1

（12）对L阶连带勒让德多项式PLm(x),当m>L时, PLm(x) =______ .

（13） 半径为R的园形薄膜, 边界固定, 当其振动时的最低本征频

率为___________.

2、计算题

(1) 试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.

2??2u?u2?a?0?22?t?x?u?0,t??0,u?l,t??0,?0?x?l.0?t?? ?u?x,0????x?,u?x,0????x?t??(2) 试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.

2??u2?u?a?0?2?x??t?u?0,t??0,u?l,t??0,?0?x?l.0?t? ?u?x,0????x???

（3）求解下列定解问题

22??u2?u?a?0?22?t?x??u?0,t??0,ux?l,t??sin?t?u?x,0??0,u?x,0??0

t??

( ω为常数,0＜x＜L , 0＜ t ）

（4）求解下列定解问题

Utt —a2Uxx = A Sinωt （A，ω为常数）

U（0 ,t）=0 , U（L, t）=0 U（x, 0）=0, Ut（x, 0）=0

（5）求解下列定解问题

Ut－a Uxx =0 （0≤x≤L, t>0 ）

2

U|x=0 = 0 , U|x=L= ASinωt, （A 、ω, 为常数） U|t=0= 0 （6）求解下列定解问题

Utt－a2 Uxx = 0 U|x=0 =0, U|x=L= ASinωt

U|t=0 = 0 , Ut∣t=0 = 0

( 其中A 、ω为常数, 0＜x＜L , 0＜ t ） （7）求解下列定解问题

Ut－a2Uxx =－ bUx U（0 ,t）=0 , U（L, t）=0 U（x, 0）= φ（x）

( 其中a,b为常数, 0＜x＜L , 0＜ t ）

（6）在x0=0的邻域试用级数解法求微分方程:

y??y?0

（7）在x0=0的邻域试用级数解法求微分方程:

''2y??y?0

''（8）在x=0的邻域上用级数解法求解方程

2dydyx22?2x?l(l?1)y?0dxdx

（9）在x=0的邻域上用级数解法求解方程

d2y?xy?02 dx

（10） 一个半径为R的导体球放入均匀电场中, 原均匀电场的场强为E0, 求空间的电势分布 , 已知定解问题 为,

△U = 0

U∣r=R= 0

r →∞ ,U→ -E0 rcosθ

（11）匀质圆柱半径为R, 高为L .上底有均匀分布的热流q流入 ,

下底保持温度为u0 ,侧面温度分布零,求解柱内的稳定温度分布 . 定解问题 为

ΔU = 0 U|z=0 = u0 ， Uz | z =L= q /k , U|ρ=R = 0

（12）一个半径为R的介质球,球面的电势分布为u0cos2?， 试求球内外的电势分布 ,已知定解问题 为:

?u?0??2u|?ucos??r?R0r??,u?0

（13）匀质圆柱半径为R, 高为L 。上底温度保持u1 , 上底温度保持u2 ,侧面温度分布为f（z） ,求柱内的稳定温度分布 。

定解问题为： u??,H??u

?u?0u??,0??u1u?R,z??f?z?（14）半径为R的半球的球面保持恒温u1 , 另一半球保持0度 , 求解球内的温度分布 ,已知定解问题 为： △U = 0

U∣r=R =u1 （ 0≤θ＜π/2） U∣r=R =0 （π/2＜θ≤ π）

2

U│r=0有限

（15）匀质圆柱半径为R, 高为L .上底保持温度为u 1 ,下底

保持温度为u2 ,侧面温度分布为u2 ， 求解柱内的稳定温度分布 .

定解问题 为

??u?0??u|z?0?u2,u|z?L?u1? ?u|??R?u2 ???0,? u有限

(16)用积分变换求解下列定解问题

??2u?xy,??x?y??u|x?0?y?1,?0?y??? ?u|???1,0?x??y?0??（17）利用Fourier变换求解下列定解问题

?2u?2u?2?02?x?yu(x,0)?f(x)limu?0x2?y2??（ －∞< x <∞, y >0 ）

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