山东省高中数学第一章 解三角形章末质量评估 新人教A版必修5

高中新课程数学（新课标人教A版）必修五《第一章 解三角形章末

质量评估

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC中，a＝4，b＝43，角A＝30°，则角B等于 A．30° C．60°

B．30°或150° D．60°或120°

( )．

解析 根据正弦定理得，sin B＝bsin A43sin 30°3

＝＝. a42

∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°. 答案 D

2．(2011·福州高二检测)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于 ( )． A.3

2

1

B. 2

C.3

D．2

ab1b解析 由正弦定理知＝，故＝，解之得b＝3，故选C.

sin Asin Bsin 30°sin 60°

答案 C

3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为 2

A. 3

21

B．－ C.

34

1

D．－ 4

( )．

解析 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，

a2＋b2－c2

则b＝2x，c＝4x(x>0)，根据余弦定理得，cos C＝＝2ab1＝－.

4答案 D

4．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是

cos Acos Bcos CA．直角三角形 C．钝角三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

x2

＋x－2×3x×2x2

x2

abc ( )．

sin Asin Bsin C解析 由正弦定理，原式可化为＝＝，

cos Acos Bcos C∴tan A＝tan B＝tan C.

1

又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C. ∴△ABC是等边三角形． 答案 B

5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是 A．1

2

( )．

B.5

2

2

??2＋4－x>0，解析 由题意，x应满足条件?222

?2＋x－4>0，?

解得：23

6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x＋3x－2＝0的根，则第三边长是

( )．

2

A.20 B.21 C.22 D.61

12

解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x＋3x－2＝0得：x＝，或x＝－2(舍)．

21

∴cos θ＝，

2∴第三边长为 答案 B

sin B7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为

sin C8A. 5

55

B. C. 83

2

2

2

122

4＋5－2×4×5×＝21.

2

( )．

3

D. 5

解析 由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos A， 即7＝5＋AC－10AC·cos 120°， sin BAC3

∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.

sin CAB5答案 D

8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为

( )．

2

2

2

A．43 B．5 C．52 D．62

1

解析 ∵S△ABC＝acsin B，∴c＝42，

2

2

由余弦定理b＝a＋c－2accos B＝25，∴b＝5.

由正弦定理2R＝＝52(R为△ABC外接圆的半径)，故选C.

sin B答案 C

9．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是 3

A.2 2

3

B.3 2

3

C. 23. 2

D．33

( )．

222

b解析 ∵A＝60°，∴sin A＝

113

∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝×3×4×＝33.

222设边AC上的高为h，

113

则S△ABC＝AC·h＝×4×h＝33，∴h＝3.

222答案 B

10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )． π

A. 6

π

B. 3

C.π

2

2

D.

2π 3

2

2

a2＋b2－c21

解析 p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c－a－b＋ab＝0?＝＝cos C，

2ab2

π

∴C＝. 3答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝

3c，则＝________. 2sin C1

解析 把已知条件代入面积公式S△ABC＝acsin B得c＝2.

2由余弦定理b＝a＋c－2accos B＝3，∴b＝3. 由正弦定理＝＝2.

sin Csin B答案 2

9

12．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.

10解析 设BC＝x，则根据余弦定理得，

3

2

2

2

cbAB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos C，

92

即5＝25＋x－2×5·x·，

10∴x－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5. 答案 4或5

13．(2011·洛阳高二检测)在△ABC中，若b＝2a，B＝2A，则△ABC为________三角形． 解析 由正弦定理知sin B＝2sin A， 又∵B＝2A，∴sin 2A＝2sin A， ∴2sin Acos A＝2sin A， ∴cos A＝

2

，∴A＝45°，B＝90°. 2

2

故△ABC为等腰直角三角形． 答案 等腰直角

14．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km. 解析 如图，由已知条件， 得AC＝60 km，∠BAC＝30°， ∠ACB＝105°，∠ABC＝45°. 由正弦定理BC＝答案 302

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB＋sinC＝sinA＋sin

2

2

2

ACsin ∠BAC＝302 (km)

sin BB sin C，且AC·AB＝4，求△ABC的面积S. 解 由已知得b＋c＝a＋bc， ∴bc＝b＋c－a＝2bccos A， 13

∴cos A＝，sin A＝. 22

由AC·AB＝4，得bccos A＝4，∴bc＝8， 1

∴S＝bcsin A＝23.

2

16．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1

2

2

22

2

2

→→→→ 4

千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？

解 如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D 两点到考点的距离为1千米．

在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝ 30°，

由正弦定理sin∠ACB＝sin 30°AC·AB＝3

2，

∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)， 在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．

∵BC12

×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．

所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．17．(10分)在△ABC中，若8·sin2

B＋C2

－2cos 2A＝7.

(1)求角A的大小；

(2)如果a＝3，b＋c＝3，求b，c的值． 解 (1)∵B＋CA2＝π

2－2

， ∴sin B＋CA2＝cos 2

， ∴原式可化为8cos2

A2－2cos 2A＝7，

∴4cos A＋4－2(2cos2

A－1)＝7，

∴4cos2

A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝12，∴A＝60°.

(2)由余弦定理a2

＝b2

＋c2－2bccos A， ∴b2

＋c2

－bc＝3.

又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，

代入b2

＋c2

－bc＝3，并整理得c2

－3c＋2＝0， 解之得c＝1或c＝2，

5

??b＝1，∴?

?c＝2，?

??b＝2，

或?

?c＝1.?

1

18．(12分)在△ABC中，若sin(C－A)＝1，sin B＝. 3(1)求sin A的值；

(2)设AC＝6，求△ABC的面积． 解 (1)由sin(C－A)＝1知，

C－A＝，且C＋A＝π－B，

πB∴A＝－，

42

π2

BB?2??πB?∴sin A＝sin?－?＝?cos －sin ?， 22??42?2?

112

∴sinA＝(1－sin B)＝，

23又sin A>0，∴sin A＝3

. 3

(2)由正弦定理得＝，

sin Bsin A6·1333

ACBC∴BC＝ACsin A＝sin B＝32，

由(1)知sin A＝

36，∴cos A＝. 33

122

又sin B＝，∴cos B＝.

33又sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝

322616×＋×＝， 33333

116

∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×6×32×＝32.

223

19．(12分)在△ABC中，已知sin B＝cos Asin C，AB·AC＝9，又△ABC的面积等于6. (1)求C；

(2)求△ABC的三边之长．

解 (1)设三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，

6

→→∵sin B＝cos Asin C，

∴cos A＝sin Bsin C，由正弦定理有cos A＝bc，

又由余弦定理有cos A＝b2＋c2－a2

2bc，

∴bc＝b2＋c2－a22bc，即a2＋b2＝c2， 所以△ABC为Rt△ABC，且C＝90°.

?AB→·→AC＝|→→(2)又

?A B|| AC|cos A＝9，?S△ABC＝12

| AB→||→AC|sin A＝6，

①②

②÷①，得tan A＝43＝ab，令a＝4k，b＝3k(k>0)，

则S1

△ABC＝2

ab＝6?k＝1，

∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0bz7.html