目标规划在生产管理中的应用研究

目标规划在生产管理中的应用研究

摘要：线性规划是运筹学的一个重要分支，也是决策支持系统最优化数学规划

方法之一，它作为经营管理决策中的数学手段，在当代决策中的应用是非常广泛的。因为实际决策问题大多是具有多个目标函数的问题，所以在线性规划中多目标线性规划方法的应用更为广泛。本论文就是基于多目标线性规划方法，构建了一个处理经济管理中多目标决策问题的模型，探讨了处理参数选择以及目标改进的方法，并通过两个案例，具体说明了在特定战略约束条件下，应用多目标线性规划模型，实行企业具体决策的过程。

决策者的参与对于多目标线性规划问题的求解是非常重要的，尤其是表现在决策者的偏好信息的表述上。那么，面对实际决策问题的时候，决策者和分析人员应该选择哪一种多目标线性规划算法呢?是交互式的还是非交互式的呢?因为不同的算法具有不同的特点，所以不同的算法应该适合于不同的决策问题。在众多的多目标线性规划算法中，单纯形法求解应用是最广泛的。本论文就是用单纯形法求解的方法来研究问题的。

关键词：多目标线性规划，模型，参数选择

I

Goal Programming Application in Production

Management Research

Abstract:Programming (LP) is not only an important branch of operational research,

but also one of the optimization mathematical programming methods in DSS. As a mathematical measure, LP is applied to management decision making widely. The application of Multiple Objective Linear Programming (MOLP) is wider; because there are much more problems involved multiple objective functions. This thesis base on the multiple ob jective linear programming ,amodelwas established in this paper for deal-ing with the problems of multiple objective decisions making and the method of parameter selection and objective improcement was discussed. At last by an case,specified enterprises’decided process with applying the multiple objective linear programming decisions-making model.

DM\\'s participation is important to solving the MOLP problems, especially

some preference information given from the DM. The DM and analyst have to select one from many MOLP methods when they solve some MOLP problems. So, which kind of methods should be chosen and how to select one from so many methods? Because different methods have different characteristics, different methods should apply to different practical problems. Among the many multi-objective linear programming algorithm, the simplex method is the most widely used applications. This paper is to use simplex method approach to research questions.

Key words: multiple objective linear programming， model， parameter selection

II

目录

摘要................................................................ I ABSTRACT:.......................................................... II 1绪论 .............................................................. 1 1.1论文选题背景 .................................................. 1 1.2研究意义及必要性 .............................................. 2 2 目标规划问题的数学模型............................................ 5 2.1目标规划问题数学模型的相关概念 ................................ 5 2.1.1 优先因子和权系数.......................................... 5 2.1.2 目标值与偏差变量.......................................... 5 2.1.3 绝对约束和目标约束....................................... 5 2.1.4 达成函数................................................. 6 2.2 目标规划的一般模型及求解 ...................................... 6 3 目标规划在生产管理中的应用........................................ 9 3.1 应用步骤 ...................................................... 9 3.2 目标规划的应用实例 ............................................ 9 例1 ............................................................ 9 例2 ........................................................... 12 4 结论............................................................. 17 附录............................................................... 19 附录1：中文译文 ................................................... 19 附录2：英文原文 ................................................... 22 致谢............................................................... 26

III

1绪论

1.1论文选题背景

管理的现代化和决策的科学化是企业生存和发展的关键因素，如何搞好生产管理和如何进行科学决策是关系到企业生死存亡的大问题，科学的现代化生产管理应该在运筹学理论和观点的基础上，统筹安排人力、物力等生产资料和供产销等各环节，合理配置和充分利用资源，以尽可能低的成本获取最佳的经济效益、完成预定的经济目标。

决策分析是在系统规划、设计和制造等阶段，为解决当前或未来可能发生的问题，在若干可选方案中选择和决定最佳方案的一种分析过程。在社会经济系统的研究控制过程中，经常要面临多目标的系统决策问题。如在研究生产过程的组织决策时，既要考虑生产系统的产量最大，又要使产品质量最高，生产成本最低等。这些目标之间相互作用和矛盾，从而使决策过程变得更为复杂，并使决策者很难轻易作出决策。一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需 要用多个目标来比较，而 这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题 ，之后，J.冯·诺伊曼 、H.W.库恩 、A.W.塔克尔 、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法 ， 即把多目标 化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优 解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹 学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用[12]。

美国学者A.查纳斯和W.W.库珀在把线性规划应用于企业时，认识到企业经营具有多目标的特点，因而在1961年首先提出了目标规划的概念和数学模型。目标规划的基本概念是，当规定的目标与求得的实际目标值之间的

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差值为未知时，可用偏差量 d来表示。d?表示实际目标值超过规定目标值的数量，称为正偏差量，d?表示实际目标值未达到规定目标值的数量，称为负偏差量。如果企业决策者将利润量、材料消耗量、能源消耗量等可控指标作为目标时，则可根据各项指标的完成对企业经营活动作出贡献的重要程度，分别给这些目标以不同的优先级别Pk，k＝1，2，?，K。如果规定利润最重要，则确定为P1；材料消耗量次之,则确定为P2等等。P1优先于P2，

P2优先于P3等等。在同一优先级别中也可以同时有几个目标。在进行目标规划时凡是给予优先级别P应首先实现，在此基础上再相继实现 P2、1的目标，

P3等级别的相应目标。最后使未能达到目标值的偏差量总和为最小。

目标规划（Goal programming）是运筹学中非常重要的一个分支，最早由美国管理学家彼特德鲁克（Peter F. Drucker）于1954 年正式提出，经过40 多年的发展，由对管理人员进行的目标管理发展成为对企业各项任务的目标管理，现已成为一种广泛适用的目标管理方法。虽然其理论和方法形成的时间比较短，但由于它能全面地解决企业生产中生产资源和目标（成果）的矛盾，所以在工业、农业、商业及交通运输等各行业的生产经营管理中得到了广泛的应用。

应用多目标线性规划方法建立的决策模型可以为进行多目标选择提供一个比较好的途径。但是多目标线性规划问题的求解结果并不是唯一的，任何有效边界的解都可以接受。选择哪个解取决于模型中的参数选择，如何从决策模型中获得参数选择的信息，是多目标线性规划决策模型研究的主要问题[11]。

1.2研究意义及必要性

在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题.又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题.一般来说,多目标决策问题有两类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使

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多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序。

在线性规划模型中，目标函数只有一个，说明在解决实际问题中，决策者的期望目标只有一个。然而随着社会的发展，企业规模的不断扩大，决策者在生产和经营管理中所遇到的问题也越来越复杂，他们在制定计划的时候往往需要满足多方面的需求。如在指定产品生产计划时，可能要考虑利润指标要求、不同品种比例要求、库存要求等。这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。也就是说，他们面临的是一个多目标决策问题，很难用传统的线性规划方法予以解决。我们的目标规划就应运而生了，本文就目标规划在生产管理中的应用做一下研究。

不同于单目标规划问题，多目标规划的最有解一般是不存在的，也就是说往往不能找到一个解，同时使所有的目标同时达到最优。比如，在证券投资组合中，往往同时达到收益最大风险最小的投资方案使不存在的。解决多目标规划问题的方法主要有线性加权和法，其基本思想就是通过对目标函数进行加权求和，变成单目标函数在进行求解，当然，权系数的确定是一个值得研究的问题。而本讲的方法是另外的一个处理方法[3]。

多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解。

目标规划最重要的特点是强调系统性，采用多目标的统筹安排来替代单目标的制定，通过寻求各目标与成果之间最小差距来达到生产过程中的多目标成果；用“令人满意”的概念来替代“最优”的传统概念，这些都与线性规划有很大的不同。线性规划的主要思想是在限制条件下，追求目标函数的最大值或最小

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值，当其达到此项数值时，寻优的目的才得以满足。但企业的经济是一个多变量、 多目标的主体网络系统，其生产过程中包含了许多非确定性的因素和特征，企业的行为也往往是多目标的体现，而线性规划模型中的约束条件僵硬、目标单一且订得过死，缺乏弹性，没有充分考虑到企业生产中的许多变数和企业目标的多元化，因此很难对企业的生产作出客观的描述，无论是寻求其最优解的过程，还是这种“最优解”的客观效益，都缺乏实用价值。相比而言，目标规划中的寻求“令人满意的解”和实现多个目标比它显得更为客观，具有更大的实际意义。

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2 目标规划问题的数学模型

2.1目标规划问题数学模型的相关概念

2.1.1 优先因子和权系数

虽然在决策者心中的目标有若干个，但是这些目标的主次轻重是不尽相同的，因此需要把这些目标的重要程度进行排序，把这些目标分出轻重缓急，决定哪个目标是第一位的，必须首先满足；哪个是第二位的，在一个目标满足的条件下尽量满足?.这就引入了优先因子Pl的概念.按其重要程度,我们确定各个目标的优先因子P1，P2，P3?这里Pk>>Pk?1,即Pk对应的目标比Pk?1对应的目标有绝对的优先性。在决策时，只有较高的优先因子对应的目标满足的前提下，才能考虑较低因子对应的目标。对于优先因子相同的目标，如果他们的重要程度仍有一定的差别，就用权系数W来表示他们的重要程度。

2.1.2 目标值与偏差变量

对于每一个决策目标，都预先给定一个期望值，称为目标值。目标的决策值与目标值之间会存在一定偏差，这个偏差就用偏差变量d?和d?来表示，其中

d?表示决策值超目标值的部分，d?表示决策值不足目标值的部分。显然，d?

?0，d??0，且d?*d?=0。

2.1.3 绝对约束和目标约束

在约束条件中，必须绝对满足的约束条件称为绝对约束。对于某些条件，我们提出其目标值，希望他们尽量满足这些目标值，但允许他们能够偏离这个目标值，这样的约束称为目标约束，比绝对约束柔性更强些。

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2.1.4 达成函数

目标规划的目标函数称为达成函数，有个目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。因为目标规划追求的是个目标尽量达到其目标值，也就是期望有关偏差变量尽量小，具体而言，通常有以下三种形式： min{f（d?）}：表示希望某个目标不超过其期望值； min{f（d?）} 表示希望某个目标不少于其期望值； min{f（d?+d?）表示希望某个目标刚好达到其期望值。

[4]

2.2 目标规划的一般模型及求解

目标规划法是线性规划的发展和推广，是综合考虑多目标评价值，在满足限制条件下使其偏差最小化的一种方法，在模型上与线性规划的模型有很大的差别：

一般地，线性规划的模型如下：

maxZ?a1x1?a2x2?a3x3???anxn

?aijxj?(?,?)bj (i?1,2,?,m) 1-1

j?1n xj?0 (j?1,2,?n)

显然，从上述模型我们可看出，线性规划模型存在着下面的局限性： 第一，所求问题的解必须满足全部初始条件； 第二，只能处理单目标的优化问题； 第三，各个约束条件都处于同等重要的地位；

第四，寻求最优解，但很多实际问题中只要求出满意解就可以了。

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而一般的目标规划的模型如下：

minz??Pk(?wkldl?wkldl) (a)

????k?1l?1KL ?aijxj?(?,?)bj (i?1,2,?,m) （b）

j?1nn ?c(l)xj?dl?dl?gl (l?1,2,?L) （c） 1-2

??j?1 xj?0 (j?1,2,?n) （d） dl,dl?0 (l?1,2,?L) (e)

其中，Pk为第k级优先因子（k?1,2,?,K），且P1?P2?P3??

d? ——超出目标的差值，正偏差变量； d?——未达到目标的差值，负偏差变量；

??当实际值超出目标值时：d? ???0, d?????0； 当实际值未达到目标值时：d? ????0, d?????0；

当实际值等于目标值时：d? ???0, d? ????0，因此：d?*d?=0；

wkl,wkl 赋予第l 个目标约束的正负偏差变量权系数； g ：第l个目标的预期值，l ?1,2,…., L； （b）为系统约束，（c）为目标约束

对比而言，模型1-1和1-2无论在目标函数、约束条件等方面都存在很大的差异，显然，目标规划通过下面几个方面来解决上述线性规划模型中的局限性： 1、设置偏差变量d?和d?，用来表明实际值同目标值之间的差异。

2、统一处理系统约束和目标约束，对资源使用上有严格限制的建立系统约束，数学形式上为严格的等式或不等式（式（b）），对不严格限定的约束，连同原线性规划模型的目标，通过目标约束表达[4]。

3、增加了目标的优先级与权系数。在模型中，对属于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数，权系数越大，表示目标越重要。

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??目标规划求解的方法有图解法、序贯式算法、单纯形法等，一般的操作是：建立模型后，先输入数据进行计算，看目标的满足程度如何，在所有预定目标都能满足的情况下，所求的解即为最优解，如果目标不能全部满足，调整目标，继续代入数据寻优，直到所有目标都能满足为止。

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3 目标规划在生产管理中的应用

3.1 应用步骤

在实际应用中，建立目标规划模型分以下四个步骤：

第一，确定要达到的目标；即企业根据实际情况，制定自己的目标或所要取得的成果。

第二，根据生产要素（生产资料、人力等资源）确定决策变量；一般做法是：根据实际问题，把决策系统中的可控因素作为决策变量，通常用带有不同下标的英文字母表示，例如用1 x ， 2 x ，?，n x 表示年终计划中不同种产品的产量。这些变量应为正值，因为在实际问题中变量所代表的均为实物，不能为负。

第三，确定目标函数；用数学形式表示出来的实际系统的期望目标称为目标函数。目标规划的目标函数与线性规划的目标函数有所不同，它一般由优先因子、与目标的偏差和偏差权值所组成。

第四，确定约束条件。约束条件是指实现系统目标的限制因素，从整体上看，它可分为系统约束和目标约束，对于具体的问题它可以是生产力约束，原材料、能源约束，库存水平约束等[7]。

3.2 目标规划的应用实例

例1 下面是某工厂生产管理的例子，其阐明了目标规划在生产管理中的具体应

用。光明机械厂利用原材料和现有设备可以生产甲、乙两种型号的推土机。生产一辆甲型推土机需要消耗2单位原材料，乙需要消耗 1单位原材料.生产甲乙两种型号推土机占用设备分别为1台时和2台时；原材料库存为11个单位。根据订单合同有两种价格标准，甲乙两种机械价格分别为8、10万元和9、4万元.试问怎样确定生产方案?

现在工厂根据订单和工厂实际情况制定如下工作目标： (1) (2)

根据订单要求，甲型推土机不应低于乙型的数量

超过计划供应的原材料，需用特别高的价格采购，会使成本大幅度提高，需注意避免超标；

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(3) (4) (5) (6)

为了保证产品的质量，设备工作的应不低于10台时； 甲型和乙型数量应不低于4台；

当甲型和乙型价格为8、10万元时，总价值不应多于56万元； 当甲型和乙型价格为9、4万元时，总价值应不低于36万元。 这些目标可以表示为如下不等式:

x1-x2?0 2x1?x2?11

x1?2x2?10 2-1 x1?x2?4 8x1?10x2?56 9x1?4x2?36

这是一个过目标决策问题，可以通过建立目标规划模型来解决此类问题。 对于上例的六个目标，经过讨论得出各个目标的主次轻重意见：原材料的消耗不得突破限额，乙型推土机的数量必须优先考虑，其次质量须严格把关，再次是产值指标，最后是甲乙两种推土机的数量。原材料的使用是刚性目标，必须满足。其他几个目标的有限因子分别是：P1，P2，P4，P3 ，P5。 2x1?x2?11 P1 x1-x2?0 P2 x1?2x2?10

P3 8x1?10x2?56 2-2 P4 9x1?4x2?36 P5 x1?x2?4

目标2x1?x2?11是必须满足的，是硬性约束；而另外几个目标，我们分别给它设定目标值。d? ， d?分别表示不足和超过的部分。

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我们可以得到如下目标规划模型：

minZ?P1d1?P2d2?P3d3?P4d4?P5d5

2x1?x2?11

x1?x2?d1?d1?0 x1?2x2?d2?d2?10

8x1?10x2?d3?d3?56 2-3 9x1?4x2?d4?d4?36 x1?x2?d5?d5?4

x1,x2,x3?0,dk,dk?0(k?1,2,3,4,5)

有目标规划的数学模型的标准型可看出，它实质上是线性规划模型，因此可用单纯形法求解。因目标规划问题的达成函数都是求最小化，所以当所有检验数都满足最优性条件（cj?zj?0）时，即可得出目标规划的解。值得注意的是，在判别检验数 cj?zj时，应该把目标优先因子P理解为一个特殊的正常数，且他们的关系是P1??P2?????PL。

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?????????????????

用单纯形法解上例

解 引入松弛变量x3 ，化为如下标准式

minZ?P1d1?P2d2?P3d3?P4d4?P5d5

2x1?x2?x3?11

x1?x2?d1?d1?0

x1?2x2?d2?d2?10 2-4 8x1?10x2?d3?d3?56 9x1?4x2?d4?d4?36 x1?x2?d5?d5?4

x1,x2,x3?0,dk,dk?0(k?1,2,3,4,5)

1. 以x3，d1，d2，d3，d4，d5为基变量，建立初始单纯形表，求出检验数 cj?zj。将检验数中的优先因子Pl 按从高到低的顺序分离出来，表中另外列出各优先因子的系数。

2.若检验数都为非负，则得到满意解，停止。若存在检验数小于0，则选择最小的检验数，对应的变量为换入变量。与线性规划的单纯形法相同，按最小非负比值规则确定换出变量。

3.当所有检验数都为非负，且不存在检验数为0的非基变量，因此得到唯一满意解：x=2,x=4。此时，d1 ，d2，d3都为0，因此该满意解满足了前3级目标；

?d4=2 ? 0，所以该解没有满足第四级目标，而d5=0，可见该解满足了第5级

??????????????????????????目标。

例2 设有一个工厂，安排Ａ、Ｂ二组人员来生产P1、P2 二种产品，这二种产品

Ａ、Ｂ二组人员皆可制造，但Ａ组人员熟练工人比较多，工作效率高，和Ａ组相反，Ｂ组人员新手比较多且工作效率比较低。Ａ组人员每小时可以生产P1 产品10 kg、P2 产品8 kg，而Ｂ组人员每小时只能生产P1 产品8 kg、P2 产品5 kg。不论Ａ组还是Ｂ组，他们每天劳动的时间都是8 h，在这个时间内生产出产品的

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利润是：P1 产品20 元／kg，P2 产品是10 元／kg。如果每天规定的时间不够的话，每组尚可有四个小时为限的加班时间，由加班时间内制造的产品，P1 的利润是15 元／kg，P2 是7 元／kg,并且各组每天最少工作四小时以上，生产出来的产品必需全部卖出去。

现在工厂制定了如下的工作目标： (1)一天的利润要3500 元；

(2)将来市场很有希望的P2 产品最低限度每天要生产75 kg 以上； (3)尽可能不加班，如必须加班则由Ａ组优先加班。

现在根据工厂的这个初始工作目标，我们用目标规划法来建立起数学模型，并利用单纯形法求

出该数学模型的最优解[3]。 第一，设定决策变量

X11 ： Ａ组在正规时间内生产P1 产品的时间；

X12： Ａ组在正规时间内生产P2 产品的时间； X13 ： Ａ组在加班时间内生产P1 产品的时间；

X14 ： Ａ组在加班时间内生产P2 产品的时间； X21： Ｂ组在正规时间内生产P1 产品的时间； X22： Ｂ组在正规时间内生产P2 产品的时间； X23： Ｂ组在加班时间内生产P1 产品的时间； X24 ： Ｂ组在加班时间内生产P2 产品的时间；

?d1： 一天的利润目标超过值；

d1： 一天的利润目标不足值；

d2?： P2 产品一天的生产量超过75 kg 的超过值； d2? ： P2 产品一天的生产量不够75 kg 的不足值； P ： 一天的利润；

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P = 20(10X11 + 8X21) +10(8X12 + 5X22) + 15(10X13 + 8X23) + 7(8X14 + 5X24)

第二，建立数学模型 1 目标函数

Z1 = d1 ＋ d2? → 最小化 Z2 = d2?→ 最小化 Z3 = X23＋ X24 → 最小化 Z4 = X13＋ X14 → 最小化 2 约束条件

P : P ＋ (d1) － (d1) ＝ 3500

P2 : 8(X12＋ X14) ＋ 5(X22 ＋ X24) ＋ (d2?) － (d2?) ＝75 T1 : 4 ≤ X11＋ X12 ≤ 8 T2 : 4 ≤ X21 ＋ X22 ≤ 8 T1 : 0 ≤ X13 ＋ X14 ≤ 4 T1 : 0 ≤ X23 ＋ X24 ≤ 4 全部变量 ≥ 0

输入所用数据,经第一次计算后，得到如下结果： （1）生产时间的分配 X11= 7.3 X12= 0.7

???X21 = 8 X22= 0 X23= 4 X24= 0 （2）目标分析

第一目标 利润 P = 3500 元目标达到了；

第二目标 d2? = 37.4 d2? = 0 P2 产品只生产37.4 kg 不够75 kg；

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第三目标 Ｂ组人员加班了４h 未达到不加班的目标； 第四目标 Ａ组人员也加班４h 未达到目标。 （3）计算结果的评价及数学模型的修改

计算的结果虽然利润目标达到了3500 元，但是P2 产品根据社会的需要，无论怎样都要增加生产到75 kg 以上才行。而且Ａ、Ｂ二组人员每天都加班４h 也不合理。这很显然，利润目标要求每天3500 元是不合理的，必须降低利润目标，以期保证期它目标能够同时实现。

我们先把第二目标的P2 产品每天要生产75 kg 以上的目标改成第一目标，先保证P2 产品生产75 kg 以上后，再考虑利润。 实际修改数学模型的操作如下（带（*）是修改部分） ROWS N Z2 （*） N Z1 （*） N Z3 N Z4

输入数据重新计算，得到第二次计算后的结果如下： （1）生产时间的分配 X11= 2.625 X12 = 5.375

X13 = 0 X14= 4

X21 = 8 X22 = 0 X23= 4 X24 = 0 （2）目标分析

第一目标 P2 = 75 kg 目标达到了；

第二目标 利润 P = 2939 元，比上次降低561 元；

第1 期李春霞等：目标规划在企业生产管理中的应用研究 111 第三目标 Ｂ组人员加班了４h，未达到目标； 第四目标 Ａ组人员也加班了４h，未达到目标。 （3）计算结果的评价及数学模型的再修改

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由第二次计算结果我们得到如果P2 产品要达到75 kg 以上，利润最多只能有2939 元的结论。但这还不理想，因为二组人员每天都要加班４h，这种情况需要再改善。因此利润的要求还得考虑降低，首先以每天2000 元的利润，再求解一次。

实际修改数学模型的操作如下：（带（*）是修改部分） RHS

P 2000（*） P2 75 T1 8 T2 8 T3 4 T4 4

输入数据重新计算，得到第三次计算后的结果如下： （1）生产时间的分配

X11 = 0.017 X12= 7.983 X13= 0 X14= 1.392

X21= 8 X22 = 0 X23 = 0 X24 = 0 （2）目标分析

第一目标 P2 = 75 kg 目标达到了； 第二目标 利润 P = 2000 元目标达到了； 第三目标 Ｂ组人员没有加班达到目标； 第四目标 Ａ组人员只加班了1.392 h。 （3）计算结果的评价

除了第四目标以外，所有目标都达到了，且Ａ组也只有加班1.392 h 而已，所以综合比较来看，此方案是可行的。

从以上例子我们可以看出，目标规划是多目标寻优的方法，实际上是目标之间相互平衡的结果。目标规划几乎不可能一次求出最优解，往往需多次的重复求解才能得出。

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4 结论

1、决策问题模型可以通过线性规划、模糊线性规划或多目标线性规划等方法来解决。每个这样的模型所需要的基础数据常常很容易得到，而对于约束条件、目标值等的处理相对较难，在许多问题中，结果和决策变量之间的关系常常是未知的。本文主要探讨了多目标线性规划方法在多目标选择中的应用，论述了多目标线性规划的一个决策模型的构建，讨论了参数选择，处理以及目标改进的方法，最后用两个案例来说明企业在具体战略约束条件下，如何应用这一模型进行决策，以及数学模型的单纯型法求解。

2、在企业的生产管理和决策中，制定的预期目标往往不是唯一的，此时利用线性规划来确定生产中要素的配置和资源的使用显然是不适用的，而目标规划法是解决这类难题的行之有效的方法。目标规划利用多目标寻优代替了线性规划中的单目标寻优，用“令人满意的解”代替了普通线性规划的“最优的解”，更符合实际，更具有应用价值。

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参考文献

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附录

附录1：中文译文

多目标规划是数学规划 的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化 。通常记为 VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需 要用多个目标来比较，不同于单目标规划问题，多目标规划的最有解一般是不存在的，也就是说往往不能找到一个解，同时使所有的目标同时达到最优。比如，在证券投资组合中，往往同时达到收益最大风险最小的投资方案使不存在的。这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题 ，之后，J.冯·诺伊曼 、H.W.库恩 、A.W.塔克尔 、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法 ， 即把多目标 化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优 解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹 学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目 标的最 优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下 的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,

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引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面 提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代 以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

化多为少的求解方法是把多目标规划问题归为单目标的数学规划(线性规划或非线 性规划)问题进行求解 。分层求解法是对于问题（VMP），假若目标函数多目标规划 的各个分目标可以按其在问题中的重 要程度排出先后次序，并设这个次序为：?1(x),?2(x),?，?m(x)。先对第一个目标进行极小化：多目标规 划，设得到的最优解为x。然后,按下述格式依次分层对各目标进行极小化：式中多目标规划。设k=m时得到问题(3)的最优解x，则在每一多目标规 划规划, x是多目标规划(VMP)的有效解。为了保证每一多目标规划，常把上述Xk中的等式约束作适当的宽容，即给出一组所谓宽容量 δi(i=1,2,?，m- 1),并以多目标规划代替 (3)中的Xk。在δi>0 的条件下，由多目标规划k代替Xk所得到的x是多目标规划 (VMP)的弱有效解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结 合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。在一般情况下，最常用的方法是在目标规划求解之前，先用线性规划求出主要目标的最优解，作为最优平衡的大致界限，再用目标规划进行调整，可用单纯形法通过电子计算机求解模型，根据求解结果分析目标值和实际值产生差距的原因，并提出相应的措施，最终求得满意解为止。

多目标规划最重要的特点是强调系统性，采用多目标的统筹安排来替代单目标的制定，通过寻求各目标与成果之间最小差距来达到生产过程中的多目标成果；用“令人满意”的概念来替代“最优”的传统概念，这些都与线性规划有很大的不同。线性规划的主要思想是在限制条件下，追求目标函数的最大值或最小值，当其达到此项数值时，寻优的目的才得以满足。但企业的经济是一个多变量、

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多目标的主体网络系统，其生产过程中包含了许多非确定性的因素和特征，企业的行为也往往是多目标的体现，而线性规划模型中的约束条件僵硬、目标单一且订得过死，缺乏弹性，没有充分考虑到企业生产中的许多变数和企业目标的多元化，因此很难对企业的生产作出客观的描述，无论是寻求其最优解的过程，还是这种“最优解”的客观效益，都缺乏实用价值。相比而言，目标规划中的寻求“令人满意的解”和实现多个目标比它显得更为客观，具有更大的实际意义。

多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小）而不顾其它目标。 对于多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合 选择： 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？而对于方案之间无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

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附录2：英文原文

Multi-objective planning is a branch of mathematical programming. Of more than one objective function in a given area on the optimization. Also known as multi-objective optimization. Usually recorded as VMP. In many practical problems, such as economic, administrative, military, science and engineering and other fields, to measure a program's quality is often difficult to determine with a target, but need to compare multiple targets, unlike the single objective programmimy

problem .Multiobjective most solvable generally does not exist, that often can not find a solution, while making optimal for all objectives simultaneously. For example, in the securities portfolio, while often the greatest risk to the minimum yield investment program that does not exist. These objectives are sometimes not very coordinated, and even contradictory. Therefore, many scholars dedicated to research in this area. French economist V. Pareto in 1896, the first goal of the optimization problem can not be compared, then, J. von ? Neumann, HW Kuhn, AW Tucker, AM Day and other mathematician husband Rion-depth discussion, but not yet a fully satisfactory definition. Multi-objective planning method in general are the following: one is much less of the method, that is relatively easy to solve multi-objective into a single target or two targets, such as the main objective, linear weighting method, the ideal point of law; another method called hierarchical sequence, that is the target given a sequence according to their importance, each optimal solution set of the previous goal of seeking the next target in the optimal solution, until find the common optimal solution. Multi-objective linear programming for addition to the above methods but can also be appropriate to solve the revised simplex method; There is also a known level of analysis, operations research by the U.S. House of sand once made in the 70s, which is a qualitative and quantitative analysis of multi-objective decision making and methods of the target structure complex and the lack of necessary data is even more useful.

Multi-objective optimization ideas, was first in 1896 by the French

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economist V. Pareto Thoth out. From his point of view of political economy is essentially not comparable to many of the goals into a single objective optimization problem, which involves a multi-objective programming problems and multi-purpose concept. 1947, J. von Neumann and O. Morgenstern ? From the perspective of game theory put forward a number of policy makers in contradiction to each other in case of multi-objective problem. In 1951, TC Koopmans activities from the production and distribution of proposed multi-objective optimization problem, the introduction of the concept of effective solutions, and get some basic results. In the same year, HW Kuhn and AW Tucker of mathematical programming from the angle of vector extremum problem, the Kuhn - Tucker concept of effective solutions and to study its necessary and sufficient condition. In 1963, LA Zadeh put forward from the control theory, optimization and more indicators, but also gives some basic results. In 1968, AM at Cardiff in order to exclude abnormal Rion efficient solution, the introduction of the concept of efficient solution and get relevant results. Since 70 years, multi-objective planning of more and more attention. So far there is no optimal solution on the multi-objective definition of a completely satisfactory, so in theory, multi-objective planning is still in development stage.

Of multi-solution method is less multi-objective programming problem is to go for the single-objective mathematical programming (linear programming or nonlinear programming) problem is solved. Hierarchical problem solving method is to (VMP), if the objective function of the various multi-objective planning targets for their importance in the question of the discharge order, and set the order of: ?1 (x), ?2 (x), ..., ?m (x). The first minimum on the first target: the multi-objective planning, design the optimal solution obtained for the x. Then, the following format, in turn layered on the minimization of the target: where multi-objective planning. Let be the problem when k = m (3) the optimal solution x, each multi-objective planning in the planning, x is a multi-objective programming (VMP) and effective solution. In order to ensure that every multi-objective programming, often in the above equality constraint Xk appropriate tolerance, given that a group of so-called wide capacity δi (i = 1,2, ..., m-1), and to multi-objective planning instead of (3) of the Xk. In δi> 0

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under the condition k replaced by the multi-objective planning obtained Xk x is a multi-objective programming (VMP) in the weak efficient solution. Multi-objective linear programming for addition to the above methods but can also be appropriate to solve the revised simplex method; There is also a known level of analysis, operations research by the U.S. House of sand once made in the 70s, which is a qualitative and quantitative analysis of multi-objective decision making and methods of the target structure complex and the lack of necessary data is even more useful. Under normal circumstances, the most common method is to solve the goal programming before the main objective of linear programming optimal solution obtained as the approximate boundaries of the optimal balance, then adjust the goal programming, simplex method can be used by computer to solve the model, according to the results of solving the target and actual values of the reasons for the gap, and the corresponding measures to obtain the final satisfactory solution so far

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.

Multiobjective most important feature is the emphasis on systematic, co-ordinating arrangements for multi-target to replace the single objective of the development, by seeking to minimize the gap between goals and outcomes to achieve the production process more objective results; with \the\The main idea of linear programming is limited conditions, the pursuit of the objective function of the maximum or minimum, when it reaches this value, the purpose of searching was able to meet. But the economics of the business is a multi-variable,The main network of multi-target system, its production process contains a number of factors and characteristics of non-deterministic, the behavior of enterprises are often the embodiment of multi-objective, and linear programming model of the rigid constraints of the target set too a single, death, lack of flexibility, not fully take into account the many variables in production and business goals of diversity, making it difficult for companies to make an objective description of the production, whether it is the process of seeking the optimal solution, or this \solution, \for \

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appears to have greater practical significance.

Solving multi-objective programming problem is not only the pursuit of a goal optimization (maximum or minimum) at the expense of other goals. For the multi-objective programming problem, solving it means that the compound needs to make the following choices: take what each of the objective function value, the original problem can be the most satisfactory solution? What to take each decision variable value, the original problem can be the most satisfactory solution? As for the program can not be determined between the pros and cons, and there is no better than their other options, so they are called multi-objective programming problem with Pareto or efficient solutions, and the remaining programs are called the inferior solution. Consisting of all non-dominated solutions called Pareto set. When the objective function in conflict, they will not exist at the same time all the objective function maximum or minimum value of the optimal solution, so we can only find non-dominated solutions (also called non-dominated solutions or Pareto solution).

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致谢

这次毕业论文能够顺利完成，还必须要感谢指导老师和身边同学们给我提供了很多帮助。在这里要向他们表示诚挚的谢意

首先，要特别感谢我的指导老师—郭洁老师在我毕业论文撰写过程中，给我提供了很大的帮助和指导，从开始选题到中期修正，再到后期定稿，给我提供了很多宝贵的意见，这使我能够顺利的完成毕业论文的写作。

其次，要感谢我同组和同班的同学，他们为我解决了不少难题，也提供了一些有用的建议。

在大学的最后阶段，我要感谢学校给我提供了一个学习的平台，让我在这里收获了知识，收获了友谊，使我变得更加成熟，也感谢给我们知识的老师们，是你们教我们知识，让我们成长，谢谢你们为我们付出。

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