《误差理论与数据处理（第6版）》费业泰 - 习题及答案

《误差理论与数据处理》(第六版)

习题及参考答案

1

第一章 绪论

1－5 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于：180 o00?02???180o?2??相对误差等于：

2??2??2???＝?0.00000308641?0.000031%

180o180?60?60??648000??

1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20其最大相对误差。

o

?m，试求

相对误差max?绝对误差max?100%测得值

20?10-6 ??100%2.31 ?8.66?10-4%1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？

最大引用误差?

某量程最大示值误差?100%测量范围上限?2?100%?2%?2.50

该电压表合格

1-12用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差

50.004?50?100%?0.008%

5080.006?80?100%?0.0075% L2:80mm I2?80L1:50mm I1?I1?I2 所以L2=80mm方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射

2

击精度高? 解：

多级火箭的相对误差为： 0.1?0.00001?0.001%

10000

射手的相对误差为： 1cm0.01m??0.0002?0.002%

50m50m

多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为

?11?m和?9?m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。

其测量误差为?12?m，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差

11?m??0.01%

110mm9?m??0.0082 % I2??110mm12?m??0.008% I3??150mmI1??I3?I2?I1第三种方法的测量精度最高

3

第二章 误差的基本性质与处理

2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

x?168.41?168.54?168.59?168.40?168.50

5 ?168.488(mA)

???vii?1525?1?0.082(mA)

?x??n?0.082?0.037(mA) 5或然误差：R?0.6745?x?0.6745?0.037?0.025(mA) 平均误差：T?0.7979?x?0.7979?0.037?0.030(mA)

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

x?20.0015?20.0016?20.0018?20.0015?20.0011

5 ?20.0015(mm)

5???vi?12i5?1?0.00025

正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?x

4

??2.58?0.00025 5 ??0.0003(mm)

测量结果：X?x??limx?(20.0015?0.0003)mm

2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差

??0.004mm，若要求测量结果的置信限为?0.005mm，当置信概率为

99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?n

n?

2.58?0.004?2.0640.005

n?4.26取n?52－9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

?t?x??t根据题目给定得已知条件，有

?n?0.0015

tn?0.0015?1.5

0.001查教材附录表3有

若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，

tn?2.785?2.78?1.24 2.236若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，

5

tn

?3.184?3.18?1.59 2即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

x??pxi?188ii?102028.34(Pa)

?pi?1i ?x??pivxii?18i?182?86.95(Pa)

(8?1)?pi

???????241336??2413'24''，其2-13测量某角度共两次，测得值为1，2????标准差分别为?1?3.1,?2?13.8，试求加权算术平均值及其标准差。

p1:p2??1?12:1?22?19044:961

x?2413'20''? ?x??x19044?16''?961?4''?24?13'35''

19044?961pii?pi?12?3.1''?i19044?3.0''

19044?961

2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角?各重复测量5次，测得值如下：

?甲:7?2?20??,7?3?0??,7?2?35??,7?2?20??,7?2?15??;

6

?乙:7?2?25??,7?2?25??,7?2?20??,7?2?50??,7?2?45??;

试求其测量结果。 甲：x甲?72'??20\?60\?35\?20\?15\?7?2'30\

5 ??甲?vi?1522222（-10\）?（30\）?5\2?（-10\）?（-15\） ?5?14i ?18.4\ ?x甲??甲5??18.4\?8.23\ 525\?25\?20\?50\?45\?7?2'33\

5乙：x乙?72'? ?乙??vi?15222222（-8\）?（-8\）?（?13\）?（17\）?（12\） ?5?14i?13.5\

?x乙???乙5?13.5\?6.04\ 5p甲:p乙?1?x甲2?x:12乙11:?3648:6773 228.236.04x?p甲x甲?p乙x乙3648?30\?6773?33\???72'?7?2'32\

p甲?p乙3648?6773?x??x甲p甲p甲?p乙?8.23???3648?4.87??

3648?6773X?x?3?x?7?2'32''?15''

m/s、标准差为2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.8110.014m/s2。另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为

7

20.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均

值和标准差。 p1:p2?12122?x?x:122?1?0.014????20?2:1?0.022????30?2?242:147

x?242?9.811?147?9.802?9.808(m/s2)

242?147?x?0.014242 ??0.0025（m/s2）242?14720

2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

x?14.96

按贝塞尔公式

?1?0.2633

按别捷尔斯法?2?1.253??vi?110i10(10?1)?0.2642

由

?2??1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?12?0.67 所以测量列中无系差存在。 n?1u?

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）： 50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：

排序：

8

序号 第一组 第二组 序号 第一组 第二组 1 2 3 4 5 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 6 7 8 50.85 9 10 50.82 50.83 50.87 50.89 T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T??14 T??30 T?T? 所以两组间存在系差

2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：

xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解：

按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表： T xi yi T xi yi T xi yi 1 0.62 11 1.21 21 1.41 2 0.86 12 1.22 22 1.48 3 0.99 13 1.25 23 1.57 4 1.12 14 1.30 24 1.59 5 1.13 15 1.31 25 1.60 6 1.13 16 1.31 26 1.60 7 1.16 17 1.34 27 1.84 8 1.18 18 1.38 28 1.95 9 1.20 19 1.39 10 1.21 20 1.41 现nx＝14，ny＝14，取xi的数据计算T，得T＝154。由 a?(n1(n1?n2?1)nn(n?n2?1))?203；??(121)?474求出：

212t?T?a???0.1

9

现取概率2?(t)?0.95，即?(t)?0.475，查教材附表1有t??1.96。由于t?t?，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

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第三章 误差的合成与分配

3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合

l?1.25mm，而成，它们的基本尺寸为l1?40mm，l2?12mm，3l4?1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为?l1??0.7?m,?l2??0.5?m,?l3??0.3?m,

?l4??0.1?m,?liml1??0.35?m,?liml2??0.25?m,?liml3??0.20?m,?liml4??0.20?m。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量

带来的测量误差。

修正值=?(?l1??l2??l3??l4) =?(?0.7?0.5?0.3?0.1) =0.4(?m) 测量误差:

?l=??2liml??2liml??2liml??2liml

1234 =?(0.35)2?(0.25)2?(0.20)2?(0.20)2

=?0.51(?m)

3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为a?161.6mm，

b?44.5mm,c?11.2mm,已知测量的系统误差为?a?1.2mm，

?b??0.8mm，?c?0.5mm，测量的极限误差为?a??0.8mm，

?b??0.5mm，?c??0.5mm， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

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V?abc V?f(a,b,c)

V0?abc?161.6?44.5?11.2

?80541.44(mm3)

体积V系统误差?V为：

?V?bc?a?ac?b?ab?c

?2745.744(mm3)?2745.74(mm3)

立方体体积实际大小为：V?V0??V?77795.70(mm3)

?limV??(?f22?f22?f22)?a?()?b?()?c ?a?b?c222??(bc)2?a?(ac)2?b?(ab)2?c

??3729.11(mm3)

测量体积最后结果表示为:

V?V0??V??limV?(77795.70?3729.11)mm3

3-4 测量某电路的电流I?22.5mA，电压U?12.6V，测量的标准差分

??0.1V，求所耗功率P?UI及其标准差?P。

别为?I?0.5mA，UP?UI?12.6?22.5?283.5(mw)

P?f(U,I)?U、I成线性关系 ??UI?1

?P?(?f22?f?f?f2)?U?()2?I?2()()?u?I ?U?I?U?I ?

?f?f?U??I?I?U?U?I?22.5?0.1?12.6?0.5 ?U?I12

?8.55(mw)

3—12 按公式V=πr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少? 解：

若不考虑测量误差，圆柱体积为

V???r2?h?3.14?22?20?251.2cm3

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

?1% V即??V?1%?251.2?1%?2.51

现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：

??r??12.511??0.007cm

?V/?r1.412?hr2测定h的误差应为：

?h?

?12.511??0.142cm 22?V/?h1.41??r3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差???2.6g,测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

极限误差／g 序号 随机误差 1 2 3 2.1 － － 未定系统误差 － 1.5 1.0 1 1 1 误差传递系数 13

4 5 6 7 8 x?－ 4.5 － 1.0 － 0.5 － 2.2 － 1.8 1 1 1.4 2.2 1 428.6?429.2?426.5?430.8

4 ?428.775(g)?428.8(g)

最可信赖值 x?x???428.8?2.6?431.4(g)

?f13?f222)ei??()?i ?x???(4i?1?xii?1?xi ??4.9(g)

测量结果表示为:x?x????x?(431.4?4.9)g

52 14

第四章 测量不确定度

4—1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr =(3.132±0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：D?2??r 其标准不确定度应为：

??D?2u????r??r??2?2??2?r22?4?3.14159?0.0052

＝0.0314cm

确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：V?4???r3 3其标准不确定度应为：

??V?2u????r???r?

2?4???r??222r2?16?3.14159?3.1324?0.0052?0.616确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25

最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002

4-4某校准证书说明，标称值10?的标准电阻器的电阻R在20C时为

?10.000742??129??（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属

于哪一类评定的不确定度。

?由校准证书说明给定

?属于B类评定的不确定度

?R在[10.000742?-129??，10.000742?+129??]范围内概率为

15

99%，不为100%

?不属于均匀分布，属于正态分布 a?129当p=99%时，Kp?2.58 ?UR?a129??50(??) Kp2.58

4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：

l1?40mm， l2?10mm，

l3?2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过

?0.45?m、?0.30?m、?0.25?m（取置信概率P=99.73%的正态分布），

求该量块组引起的测量不确定度。 L?52.5mm l1?40mm l2?10mm l3?2.5mm ?L?l1?l2?l3 ?p?99.73% ?Kp?3 Ul1?a0.45a0.30??0.15(?m) Ul2???0.10(?m) kp3kp3a0.25??0.08(?m) kp3 Ul3?UL?Ul1?Ul2?Ul3 ?0.152?0.102?0.082 ?0.20(?m)

16

第五章 线性参数的最小二乘法处理

?3x?y?2.9?5-1测量方程为?x?2y?0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

?2x?3y?1.9??v1?2.9?(3x?y)?误差方程为?v2?0.9?(x?2y)

?v?1.9?(2x?3y)?3nn?n??ai1ai1x??ai1ai2y??ai1li?i?1i?1i?1列正规方程?代入数据得

nnn?aax?aay?al???i2i1i2i2i2i?i?1i?1?i?1?x?0.962?14x?5y?13.4解得 ????5x?14y??4.6?y?0.015?v1?2.9?(3?0.962?0.015)??0.001?将x、y代入误差方程式?v2?0.9?(0.962?2?0.015)??0.032

?v?1.9?(2?0.962?3?0.015)?0.021?3测量数据的标准差为???vi?1n2in?t??vi?132i3?2?0.038

求解不定乘数 ??d11?d21?14d11?5d12?1?d12???5d11?14d12?0 ?d22??14d21?5d22?0???5d21?14d22?1解得 d11?d22?0.082

x、y的精度分别为?x??d11?0.01 ?y??d22?0.01

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?x?3y??5.6,p1?1?5-7不等精度测量的方程组如下：?4x?y?8.1,p2?2

?2x?y?0.5,p?33?试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

?v1??5.6?(x?3y),p1?1?列误差方程?v2?8.1?(4x?y),p2?2

?v?0.5?(2x?y),p?33?333?3??piai1ai1x??piai1ai2y??piai1li?i?1i?1i?1正规方程为?

333?paax?paay?pal???ii2i1ii2i2ii2i?i?1i?1?i?1代入数据得

?x?1.434?45x?y?62.2解得 ????x?14y?31.5?y?2.352?v1?0.022?将x、y代入误差方程可得?v2?0.012

?v??0.016?3则测量数据单位权标准差为???pivii?1323?2?0.039

求解不定乘数 ??d11?d21?45d11?d12?1?d12???d11?14d12?0 ?d22??45d21?d22?0???d21?14d22?1?d11?0.022解得 ?

d?0.072?22x、y的精度分别为?x??d11?0.006 ?y??d22?0.010

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第六章 回归分析

6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：

正应力 x/Pa 抗剪强度 y/Pa 正应力 x/Pa 抗剪强度 y/Pa 26.8 26.5 24.7 26.3 25.4 27.3 28.1 22.5 28.9 24.2 26.9 21.7 23.6 27.1 27.4 21.4 27.7 23.6 22.6 25.8 23.9 25.9 25.6 24.9 假设正应力的数值是正确的，求

（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少？ （1）设一元线形回归方程 y?b0?bx N?12

?lxy??b?lxx???lxx?43.047lxy??29.533 ?b?y?bx?0?x?1?311.6?25.9712b?lxylxx1?29.533y??297.2?24.77 ???0.691243.047?b0?24.77???0.69??25.97?42.69??42.69?0.69xy（2）当X=24.5Pa

??42.69?0.69?24.5?25.79(Pa) y

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6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线y?abx表示。 x y 30 -0.4786 35 -2.188 40 -11.22 45 -45.71 50 -208.9 55 -870.9 60 -3802 y?abx?log(?y)?log(?a)??logb?x

Z1?log?(y) Z2?x

取点做下表

Z2 Z1 以Z1与Z2画图

30 -0.32 40 1.05 50 2.32 60 3.58

所得到图形为一条直线，故选用函数类型y?ab合适

x 20

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