误差理论费业泰课后答案

《误差理论与数据处理》

第一章 绪论

1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答： 研究误差的意义为：

(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；

(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；

随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；

粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；

绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定

o

1－5 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于：180 o00?02???180o?2??相对误差等于：

2??2??2???＝?0.00000308641?0.000031% o

180180?60?60??648000??1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对

误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？

解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L＝L－L0 已知：L＝50，△L＝1

1

μm＝0.001mm，

测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）

1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？

解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即：

100.2－100.5＝－0.3（ Pa）

1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20?m，试求其最大相对误差。

相对误差max?绝对误差max?100%测得值

20?10-6 ??100%2.31 ?8.66?10-4%1-9、解：

4?2(h1?h2)由g?，得

T24?2?1.04230g??9.81053m/s2

2.04804?2(h1?h2)?h，对g?进行全微分，令h?h1?h2，并令?g，?T代替dg，dh，

T2dT得

4?2?h8?2h?T ?g??T2T3从而

?g?h?T??2的最大相对误差为： ghT?gmax?hmax?T??2max ghT =

0.00005?0.0005 ?2?1.042302.0480=5.3625?10?4%

2

4?2h4?2(h1?h2)由g?，得T?，所以

gT2T?4?3.141592?1.04220?2.04790

9.81053?gmax?hmax?T??2maxghTABS?gT?hma?ma2hgxaABSx由

?Tm?m，

??gx{g有

[mT?hi2h

n(m

1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？

最大引用误差?

某量程最大示值误差?100%测量范围上限?2?100%?2%?2.50

该电压表合格

1-11 为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的2/3 范围内使用？

答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差:

△xmaxxm ?s%即:

A0A0?max?xms?所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上．

1-12用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差

50.004?50?100%?0.008%

5080.006?80?100%?0.0075% L2:80mm I2?80L1:50mm I1?

3

I1?I2 所以L2=80mm方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：

多级火箭的相对误差为： 0.1?0.00001?0.001%

10000

射手的相对误差为： 1cm0.01m??0.0002?0.002%

50m50m

多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为

?11?m和?9?m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。

其测量误差为?12?m，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差

11?m??0.01%

110mm9?m??0.0082 % I2??110mm12?m??0.008% I3??150mmI1??I3?I2?I1第三种方法的测量精度是最高的

第二章 误差的基本性质与处理

2-1．试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。

答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；

从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N条线段的平均长度；

2-2．试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。

4

2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率 2-4．测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。

x?236.4??236.430.05?(?0.03)?0.11?(?0.06)?(?0.01)?0.08?0.07?0 8???vi?1n2in?1?0.0599

?x??n?0.0212

2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较

2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，

168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

x?168.41?168.54?168.59?168.40?168.50

5 ?168.488(mA)

???vii?1525?1?0.082(mA)

?x??n?0.082?0.037(mA) 5或然误差：R?0.6745?x?0.6745?0.037?0.025(mA)

平均误差：T?0.7979?x?0.7979?0.037?0.030(mA)

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

x?

20.0015?20.0016?20.0018?20.0015?20.0011

55

?20.0015(mm)

5???vi?12i5?1?0.00025

正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?x ??2.58?0.00025 5 ??0.0003(mm)

测量结果：X?x??limx?(20.0015?0.0003)mm

2—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解：

n求算术平均值

li

x?i?1?20.0015mm nn求单次测量的标准差

vi2 26?10?8i?1????2.55?10?4mm n?14求算术平均值的标准差 ?2.55?10?4?x??＝1.14?10?4mm n5确定测量的极限误差

因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta＝4.60 极限误差为

?limx??t??x??4.60?1.14?10?4?5.24?10?4mm

写出最后测量结果

L?x??limx?20.0015?5.24?10?4mm

???? 6

2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差

??0.004mm，若要求测量结果的置信限为?0.005mm，当置信概率为

99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?n

n?

2.58?0.004?2.0640.005

n?4.26取n?52－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？

解：根据极限误差的意义，有

?t?x??t根据题目给定得已知条件，有

?n?0.0015

tn?0.0015?1.5

0.001查教材附录表3有

若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，

tn?2.785?2.78?1.24 2.236若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，

tn?3.184?3.18?1.59 2即要达题意要求，必须至少测量5次。 2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

7

x??pxi?188ii?102028.34(Pa)

?pi?1i ?x??pivxii?18i?182?86.95(Pa)

(8?1)?pi???????2413'24''，其??241336212-13测量某角度共两次，测得值为，

????标准差分别为?1?3.1,?2?13.8，试求加权算术平均值及其标准差。

p1:p2??1?12:1?22?19044:961

x?2413'20''? ?x??x19044?16''?961?4''?24?13'35''

19044?961pii?pi?12?3.1''?i19044?3.0''

19044?9612-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角?各重复测量5次，测得值如下：

?甲:7?2?20??,7?3?0??,7?2?35??,7?2?20??,7?2?15??;

?乙:7?2?25??,7?2?25??,7?2?20??,7?2?50??,7?2?45??;

试求其测量结果。 甲：x甲?72'??20\?60\?35\?20\?15\?7?2'30\

5 ??甲?vi?1522222（-10\）?（30\）?5\2?（-10\）?（-15\） ?5?14i ?18.4\

8

?x甲??甲5??18.4\?8.23\ 525\?25\?20\?50\?45\?7?2'33\

5乙：x乙?72'? ?乙??v5222222（-8\）?（-8\）?（?13\）?（17\）?（12\）i?1 ?5?14i?13.5\

?x乙???乙5?13.5\?6.04\ 5p甲:p乙?1?x甲2?x:12乙11:?3648:6773 8.2326.042x?p甲x甲?p乙x乙3648?30\?6773?33\???72'?7?2'32\

p甲?p乙3648?6773p甲p甲?p乙?8.23???3648?4.87??

3648?6773?x??x甲X?x?3?x?7?2'32''?15''

2-15．试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。 证明：

解：因为n个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差： n个测量值算术平均值的标准偏差为：

????x n已知权与方差成反比，设单次测量的权为P1，算术平均值的权为P2，则

P1:P2?1?2:1?2x??1:n? P2?nP1m/s2、标准差为2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.8110.014m/s2。另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为

9

0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测

量的平均值和标准差。 p1:p2?12122?x?x:122?1?0.014????20?2:1?0.022????30?2?242:147

x?242?9.811?147?9.802?9.808(m/s2)

242?147?x?0.014242 ??0.0025（m/s2）242?147202-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，

15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 x?14.96

按贝塞尔公式 ?1?0.2633

按别捷尔斯法?2?1.253??vi?110i10(10?1)?0.2642

由

?2??1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?12?0.67 所以测量列中无系差存在。 n?1u?

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）： 50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：

排序：

10

序号 第一组 第二组 序号 第一组 第二组 1 2 3 4 5 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 6 7 8 50.85 9 10 50.82 50.83 50.87 50.89 T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T??14 T??30 T?T? 所以两组间存在系差

2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

x?14.96

按贝塞尔公式

?1?0.2633

按别捷尔斯法?2?1.253??vi?110i10(10?1)?0.2642

由

?2??1?u 得 u?2?1?0.0034 ?1?12?0.67 所以测量列中无系差存在。 n?1u?2-20．对某量进行12次测量，测的数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。 解：

(1)残余误差校核法 x?20.125

??(?0.065?0.055?0.065?0.045?0.025?0.005)?(?0.015?0.015?0.055?0.055?0.085?0.0??0.54

11

因为?显著不为0，存在系统误差。 （2）残余误差观察法

残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。

（3） ?1??vi?1122i11?0.05

?2?1.253?vi?112in(n?1)?0.06

?2?1?u?1

?2u??1?0.19?1u?2n?1?0.603

所以不存在系统误差。 2-22

12

第三章 误差的合成与分配

3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合

l?1.25mm，而成，它们的基本尺寸为l1?40mm，l2?12mm，3l4?1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为

13

?l1??0.7?m,?l2??0.5?m,?l3??0.3?m,

?l4??0.1?m,?liml1??0.35?m,?liml2??0.25?m,?liml3??0.20?m,?liml4??0.20?m。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量

带来的测量误差。

修正值=?(?l1??l2??l3??l4) =?(?0.7?0.5?0.3?0.1) =0.4(?m) 测量误差:

?l=??2liml??2liml??2liml??2liml

1234 =?(0.35)2?(0.25)2?(0.20)2?(0.20)2

=?0.51(?m)

3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为a?161.6mm，

b?44.5mm,c?11.2mm,已知测量的系统误差为?a?1.2mm，

?b??0.8mm，?c?0.5mm，测量的极限误差为?a??0.8mm，

?b??0.5mm，?c??0.5mm， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

V?abc V?f(a,b,c)

V0?abc?161.6?44.5?11.2

?80541.44(mm)

体积V系统误差?V为：

3?V?bc?a?ac?b?ab?c

14

?2745.744(mm3)?2745.74(mm3)

立方体体积实际大小为：V?V0??V?77795.70(mm3)

?limV??(?f22?f22?f22)?a?()?b?()?c ?a?b?c222??(bc)2?a?(ac)2?b?(ab)2?c

??3729.11(mm3)

测量体积最后结果表示为:

V?V0??V??limV?(77795.70?3729.11)mm3

3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准

差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。 解：

长方体的体积计算公式为：V?a1?a2?a3 体积的标准差应为：?V?(?V22?V22?V22)?1?()?2?()?3 ?a1?a2?a3现可求出：

?V?V?V?a2?a3；?a1?a3；?a1?a2 ?a1?a2?a3若：?1??2??3?? 则

有

：

?V?(?V22?V22?V22?V2?V2?V2)?1?()?2?()?3??()?()?()?a1?a2?a3?a1?a2?a3??(a2a3)2?(a1a3)2?(a1a2)2

若：?1??2??3 则有：?V?22(a2a3)2?12?(a1a3)2?2?(a1a2)2?3

15

3-4 测量某电路的电流I?22.5mA，电压U?12.6V，测量的标准差分

??0.1V，求所耗功率P?UI及其标准差?P。

别为?I?0.5mA，UP?UI?12.6?22.5?283.5(mw)

P?f(U,I)?U、I成线性关系 ??UI?1

?P?(?f22?f?f?f2)?U?()2?I?2()()?u?I ?U?I?U?I ??f?f?U??I?I?U?U?I?22.5?0.1?12.6?0.5 ?U?I?8.55(mw)

3-9．测量某电路电阻R两端的电压U，按式I=U/R计算出电路电流，若需

保证电流的误差为0.04A，试求电阻R和电压U的测量误差为多少？ 解：在 I=U/R 式中，电流 I 与电压 U 是线性关系，若需要保证电流误差不大于0.04A，则要保

证电压的误差也不大于0.04×R。

3—12 按公式V=πr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少? 解：

若不考虑测量误差，圆柱体积为

V???r2?h?3.14?22?20?251.2cm3

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

?1% V即??V?1%?251.2?1%?2.51

现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：

??r??12.511??0.007cm

2?V/?r1.412?hr测定h的误差应为：

?h?

?12.511??0.142cm 2?V/?h1.41??r216

3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差???2.6g,测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 极限误差／g 序号 随机误差 1 2 3 4 5 6 7 8 x?2.1 － － － 4.5 － 1.0 － 未定系统误差 － 1.5 1.0 0.5 － 2.2 － 1.8 1 1 1 1 1 1.4 2.2 1 误差传递系数 428.6?429.2?426.5?430.8

4 ?428.775(g)?428.8(g)

最可信赖值 x?x???428.8?2.6?431.4(g)

?f13?f222)ei??()?i ?x???(?x4i?1?xii?1i ??4.9(g)

测量结果表示为:x?x????x?(431.4?4.9)g

52第四章 测量不确定度

4—1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr =(3.132±0.005)cm，

试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率

17

P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：D?2??r 其标准不确定度

应为：

??D?2u????r???r?2?2??2?r22?4?3.14159?0.0052

＝0.0314cm

确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：V?4???r3 3其标准不确定度应为：

??V?2u????r??r??

2?4???r??222r2?16?3.14159?3.1324?0.0052?0.616确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25

最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002

4-2．望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距f1±σ1=（19.8±0.10）cm，目镜的主焦距f2±σ2=（0.800±0.005）cm，求放大率测量中由f1、f2引起的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。

4-3．测量某电路电阻R两端的电压U，由公式I=U/R计算出电路电流I，若测得U±σu=（16.50±0.05）V，R±σR=（4.26±0.02）Ω、相关系数ρUR=-0.36,试求电流I的标准不确定度。

4-4某校准证书说明，标称值10?的标准电阻器的电阻R在20C时为

?10.000742??129??（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属

于哪一类评定的不确定度。

?由校准证书说明给定

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?属于B类评定的不确定度

?R在[10.000742?-129??，10.000742?+129??]范围内概率为

99%，不为100%

?不属于均匀分布，属于正态分布 a?129当p=99%时，Kp?2.58 ?UR?a129??50(??) Kp2.58

4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：

l1?40mm， l2?10mm，

l3?2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过

?0.45?m、?0.30?m、?0.25?m（取置信概率P=99.73%的正态分布），

求该量块组引起的测量不确定度。 L?52.5mm l1?40mm l2?10mm l3?2.5mm ?L?l1?l2?l3 ?p?99.73% ?Kp?3 Ul1?a0.45a0.30??0.15(?m) Ul2???0.10(?m) kp3kp3a0.25??0.08(?m) kp3 Ul3?UL?Ul1?Ul2?Ul3 ?0.152?0.102?0.082 ?0.20(?m)

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