函数与数列的极限的强化练习题答案（含详细分析）

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y??x?2 B.y?x2 C.y?elnx D.y?lnex

解：

y?lnex?xlne?x，且定义域

???,???， ∴选D

2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）

A.y?12??x? B.y?2??x?

C.y?12??2x? D.y?2??2x?

解:令y?f?2x?,反解出x：x?12??y?,互

换x，y位置得反函数y?12??x?，选A

3．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）

A.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? C.y?x3f?x2?

D.y?f??x??f?x?

解：

y?x3f?x2?的定义域???,???且

y??x????x?3f?x2???x3f?x2???y?x?∴选C

4．下列函数在???,???内无界的是（ ）

A.y?11?x2 B.y?arctanx C.y?sinx?cosx D.y?xsinx

解: 排除法：A

xx1?x2?2x?12有界，Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2 故选D 5．数列?xn?有界是limn??xn存在的（ ）

A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：

?xn?收敛时，数列xn有界（即

x?1n?M）

，反之不成立，（如???1?n?有界，

但不收敛，

选A 6．当n??时，sin21n与1nk为等价无穷小，则k= （ ）

A

12 B 1 C 2 D -2 sin211解：limnn??1?limn2n??1?1，k?2 选C nknk二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??11?x，则f??f?x???的定义域为

解： ∵f??f?x????111?f?x??

1?11?xx??1?1?x2?x ∴f??f?x???定义域为

(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)

8．设f(x?2)?x2?1, 则f(x?1)?

解：（1）令x?2?t,f?t??t2?4t?5

f?x??x2?4x?5

（2）f?x?1??(x?1)2?4(x?1)?5?x2?6x?109．函数y?log4x?log42的反函数是 解：（1）y?log2y?14(2x)，反解出x：x?4（2）互换x,y位置，得反函数y?42x?1 10．limn??n?n?1?n?2?? 解：原式

有理化lim3n3n??n?1?n?2?2 ?kn11．若lim?5?n????1?n???e?10,

则k? 解：左式=

enlim5??n(?kn)?e?5k?e?10

故

k?2

12．lim3n2?5n??5n?3sin2n= 解：当n??时，sin2n～2n ∴原式3n2=lim?5n??5n?3?2n= 65 三、计算题（每小题8分，共64分）

arcsin2x?113．求函数y?7的定义域 x?1?解：

??1?2x?1?1??x?1?07??x3??1x?4或x??1 ??

∴函数的定义域为??3,?1)??1,4? 14．设f??x??sin2???1?cosx 求f?x? 解： f ?? sin x ?? ? 2cos2x?2?

?2?1?sin2x2???2?? ?f???2?1?2?????

故f?x??2?1?x2?

15．设f?x??lnx，g?x?的反函数

g?1?x??2?x?1?x?1，求f?g?x??

解: （1） 求g(x):y?2xx??12 ∴反

解出x：xy?y?2x?2x?y?2y?2 互换x,y位置得g(x)?xx??22 (2)f??g?x????lng?x??lnxx??22

16．判别f?x??ln?x?1?x2?的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称

f??x??ln??x?1?x2?

?ln1 1?x2?x?ln?x?1?x2??1??ln(x?1?x2)

??f?x?

?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数

解法（2）：

f?x??f??x?

?ln(x?1?x2)?ln??x?1?x2?

?ln???(x?1?x2)?1?x2?x?????ln1?0

?f??x???f?x? 故f?x?为奇函数

17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，且f?x??g?x??1x?1，求f?x?及g?x? 解： 已知f(x)?g(x)?1x?1???? f(?x)?g(?x)?1?x?1即有 f(x)?g(x)??1x?1??2? ??????2?得2f?x??1x?1?1x?1 故 f(x)?1x2?1

?????2?得2g?x??11x?1?x?1

故g(x)?xx2?1

n18．设lim3??n?2a?n???n?a???8，求a的值。 3n解：

lim?n3n???n?2a??n?a???lim?n????1?3a?n?a???enlimna??n?a?ea,?ea?8

故a?ln8?3ln2

n19．求lim?111?n?????1?2?2?3???n?n?1??? ?解：（1）拆项，

1k(k?1)?k?1?k(k?1)k

?1k?1k?1k?1,2,?,n 11?2?12?3???1n?n?1? ????1?1?2?????1?2?1?3??????1?n?1?n?1??

?1?1n?1

n（2）原式=lim?n???1?nlim?n??n?1?1?1?n?1???e?e 20．设f?x??ax?a?0,a?1?, 求lim1n??n2ln??f?1??f?2??f?n??? 解： 原式=lim112nn??n2ln?a?a?a?

?lim1n??n2?lna?2lna???nlna?

?lna?lim1?2???nn??n2 ?lna?lim(n?1)nn??n2?2

?12lna?a?0,a?1? 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=x1?x2，求f3?x?=

f?f??f?x????并讨论f3?x?的奇偶性与有

界性。

解：（1）求f3?x?

f?x??x1?f?f?x??x22?x?1?f2?x??x1?2x2ff3?x??f??f2?x?2?x????1?f22?x??x1?3x2（2）讨论f3?x?的奇偶性

f?x3??x??1?3x2??f3?x?

?f3?x?为奇函数

（3）讨论f3?x?的有界性

f3?x??x1?3x2?x3x?13

?f3?x?有界

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=1?r23h

h?R2?r2,2?r?R? r2?R2??R2???24?2h?R?4?2 ?R2??故V?4?2???34?2?R2? ?R3???24?34?2??? （2）函数的定义域

4?2??2?0,?2??2??2

??0??????

R3故V???24?24?2????0?????? 五、证明题（每小题9分，共18分）

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