03第三章 钢筋混凝土受弯钩件正截面承载力计算

第三章 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

钢筋混凝土受弯构件的基本形式是板和梁，它们是组成工程结构的基本构件，在桥梁工程中应用很广。例如：人行道板、行车道板、小跨径板梁桥，T形梁桥的主梁、横隔梁以及墩柱式墩(台)中的盖梁等都属于受弯构件。

由材料力学分析得知，在外力作用下，受弯构件将承受弯矩M和剪力V的作用。因此，设计受弯构件时，一般应满足下列两方面的要求：

(1)由于弯矩M的作用，构件可能沿某个正截面发生破坏，故需进行正截面承载力计算； (2)由于弯矩M和剪力V的共同作用，构件可能沿某个斜截面发生破坏，故还需进行斜截面承载力计算。

本章主要讨论正截面承载力计算问题。

§3-1 钢筋混凝土受弯构件构造要点 (一) 钢筋混凝土板的构造 小跨径钢筋混凝土板，一般为实心矩形截面；跨径较大时，为减轻自重和节省混凝土常做成空心板。 hh受拉钢筋b受拉钢筋b受拉钢筋bh a) 整体式板 b) 装配式实心板 c) 装配式空心板 图3.1-1 钢筋混凝土板梁的截面形式 钢筋混凝土板的厚度系根据跨径内最大弯矩和构造要求确定。为了保证施工质量，对板的最小厚度加以控制：行车道板的跨间厚度不应小于120mm，悬臂端厚度不应小于100mm；人行道板的厚度，就地浇筑的混凝土板不应小于80mm，预制的混凝土板不应小于60mm；空心板梁的底板和顶板厚度，均不应小于80mm。

板的钢筋由主钢筋(即受力钢筋)和分布钢筋组成(图3.1-2)。主钢筋布置在板的受拉区，行车道板内的主钢筋直径不应小于10mm，人行道板内的主钢筋直径不应小于8mm。板内主钢筋的间距应不大于200mm。分布钢筋垂直于主钢筋方向布置，在交叉处用铁丝绑扎或点焊，以固定相互位置。分布钢筋的作用是将荷载均匀分布到主钢筋上，同时还能防止因混凝土收缩和温度变化而出现的裂缝。分布钢筋应设在主钢筋的内侧，其直径不应小于8mm，间距不应大于200mm，其截面面积不宜小于板截面面积的0.1%。在所有主钢筋弯折处，均

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应设置分布钢筋。

受力钢筋分布钢筋l分布钢筋受力钢筋 图3.1-2 板的钢筋

为了防止钢筋外露锈蚀，钢筋边缘到构件边缘的混凝土保护层厚度，应符合《桥规JTG D62》规定的最小保护层厚度要求(见附表8)。

行车道板的主钢筋最小保护层厚度，Ⅰ类环境条件为30mm，Ⅱ类环境条件为40mm，Ⅲ、Ⅳ类环境条件为45mm；分布钢筋的最小保护层厚度，Ⅰ类环境条件为15mm，Ⅱ类环境条件为20mm，Ⅲ、Ⅳ类环境条件为25mm；

在桥梁结构中，行车道板通常是与支承梁浇筑成一个整体。

单边固接的板称为悬臂板，主钢筋应布置在截面的上部。周边支承的板，视其长短边的比例，可分为两种情况： 受力钢筋分布钢筋受力钢筋受力钢筋受力钢筋l2l1l2 / l1<2l1l2l2 / l1≥2 （a） （b） 图3.1-3 周边支承板的配筋

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当长边与短边之比大于或等于2时，弯矩主要沿短边方向分配，长边方向受力很小，其受力情况与两边支承板基本相同，故称单向板。在单向板中，主钢筋沿短边方向布置，在长边方向只布置分布钢筋〔图3.1-3(a)〕。

当长边与短边之比小于2时，两个方向同时承受弯矩，故称双向板。在双向板中，两个方向均需设置受力主钢筋〔3.1-3(b)〕。

(二) 钢筋混凝土梁的构造

小跨径钢筋混凝土梁一般采用矩形截面；当跨径较大时，采用T形、工形和箱形截面(图3.1-4)。考虑到施工制模的方便，截面尺寸应模数化。矩形梁的截面宽度，一般取150、180、 200、220、250mm，以后按50mm为一级增加。当梁高超过800mm时，以100mm为一级。矩形梁的高宽比一般为2.5～3。T形截面梁的高度与梁的跨度、间距及荷载大小有关。公路桥梁中大量采用的T形简支梁桥，其梁高与跨径之比约为1/10～1/20。T形梁的上翼缘尺寸，应根据行车道板的受力和构造要求确定。T形梁的腹板(梁肋)宽度与配筋形式有关：当采用焊接骨架配筋时，腹板宽度不应小于140mm，一般取160～220mm；当采用单根钢筋配筋时，腹板宽度较大，具体尺寸应根据布置钢筋的要求确定。 hh受拉钢筋受拉钢筋受拉钢筋h a) b) c) 图3.1-4 钢筋混凝土梁的截面形式 图3.1-5 钢筋混凝土简支梁的钢筋骨架 梁内的钢筋骨架由纵向受力钢筋、弯起钢筋、箍筋、架立钢筋和水平纵向钢筋构成(图3.1-5)。 (1) 纵向受力钢筋 布置在梁受拉区的纵向受拉钢筋，是梁的主要受力钢筋，一般又称为主筋。当梁的高度受限制时，亦可在受压区布置纵向受压钢筋，用以协助混凝土承担压力。纵向受力钢筋的直径一般为14～32mm，同一梁内宜采用相同直径的钢筋，以简化施工。有时为了节省钢筋，也可采用两种直径，但直径相差应不小于2mm，以便于辨认。

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梁内的纵向受力钢筋可以采用单根钢筋，也可采用束筋，还可采用竖向不留空隙的焊接钢筋骨架。采用单根配筋时，钢筋层数不宜多于三层，上、下层钢筋的排列应注意对齐，以便于混凝土的浇筑；采用束筋时，组成束筋的单根钢筋直径不应大于28mm，根数不应多于三根，当其直径大于28mm时应为两根；采用焊接钢筋骨架时，焊接骨架的钢筋层数不应多于六层，单根钢筋直径不应大于32mm。纵向钢筋与弯起钢筋之间的焊缝，宜采用双面焊缝，其长度为5d，纵向钢筋之间的短焊缝，其长度为2.5d，此处d为纵向钢筋的直径(图3.1-6)。

为了防护钢筋免于锈蚀，主钢筋至构件边缘的净距，应符合《桥规JTG D62》规定的钢筋最小混凝土保护厚度要求(见附表8)。主钢筋的最小混凝土保护层厚度，Ⅰ类环境条件为30mm，Ⅱ类环境条件为40mm，Ⅲ、Ⅳ类环境条件为45mm。

为了便于浇筑混凝土，使振捣器能顺利插入，保证混凝土质量和增加混凝土与钢筋之间的粘着力，梁内主钢筋间或层与层间应有一定的距离。各主钢筋间横向净距和层与层之间的竖向净距，当钢筋为三层及以下时，不应小于30mm，并不小于钢筋直径；当钢筋为三层以上时，不应小于40mm，并不小于钢筋直径的1.25倍。对于束筋，此处采用等代直径(de?nd，其中n为组成束筋的钢筋根数，d为单根钢筋直径)。 5d5d弯起钢筋5d架立钢筋5d斜筋5d斜筋5d纵向钢筋5d5d2.5d2.5d2.5d 图3.1-6 焊接钢筋骨架示意图 架立筋箍筋 ≥15mm(≥20mm)水平纵向钢筋箍筋≥15mm(>20mm)≥40mm≥1.25d主钢筋 >30mm(>40mm)(>50mm)净距Sn主钢筋Sn净距Sn≥30mm≥d(三层及三层以下)≥40mm(三层以上)≥1.25d>20mm(>25mm)(>30mm)>30mm(>40mm)(>50mm) 图3.1-7 梁主钢筋净距和混凝土保护层 - 58 - (2) 弯起钢筋 弯起钢筋大多由纵向受力钢筋弯起而成，主要用以承担主拉应力，并增加钢筋骨架的稳定性。当将多余的纵向钢筋全部弯起仍不能满足受力和构造要求时，可以采用专设的斜短钢筋焊接，但不得采用不与主钢筋焊接的浮筋。弯起钢筋与梁的纵轴线宜成45°角，在特殊情况下，可取不小于30°或不大于60°角弯起。弯起钢筋以圆弧弯折，圆弧直径不宜小于20倍钢筋直径。 (3) 箍筋 箍筋除了承受主拉应力外，在构造上还起固定纵向钢筋位置的作用。因此，无论计算上是否需要，梁内均应设置箍筋。梁内采用的箍筋形式如图3.1-8所示。 a)双肢、开口式 b)双肢、封闭式 c)四肢、封闭式 图3.1-8 箍筋的形式 梁内只配置纵向受拉钢筋时，可采用开口箍筋；梁内除纵向受拉钢筋外，还配有纵向受压钢筋的双筋截面或同时承受弯矩和扭矩作用的梁，应采用封闭式箍筋。 箍筋直径应不小于8mm或主钢筋直径的1/4。固定受拉钢筋的箍筋的间距不应大于梁高的1/2和不大于400mm；固定受压钢筋的箍筋，其间距还不应大于受压钢筋直径的15倍，且不应大于400mm。 (4) 架立钢筋 架立钢筋根据构造要求设置，其作用是架立箍筋、固定箍筋位置，把钢筋绑扎(或焊接)成骨架。架立钢筋的直径一般取10～14mm。采用焊接骨架时，为保证骨架具有一定的刚度，架立钢筋的直径应适当加大。 (5) 水平纵向钢筋 T形截面梁及箱形截面的腹板两侧应设置水平纵向钢筋，以防止因混凝土收缩及温度变化而产生的裂缝。水平纵向钢筋的直径为6～8mm，每个腹板内水平纵向钢筋截面面积为(0.0010～0.0020)bh，此处b为腹板厚度，h为梁的高度。水平纵向钢筋的间距，在受拉区应不大于腹板厚度，且不大于200mm；在受压区应不大于300mm；在支点附近剪力较大区段，水平纵向钢筋截面面积应予增加，其间距宜为100~150mm。 以上五种钢筋通过绑扎或焊接构成梁的钢筋骨架。 §3-2 钢筋混凝土梁正截面破坏状态分析 - 59 -

为了研究钢筋混凝土梁的弯曲性能，探讨正截面的应力和应变分布规律，通常是采用图3.2-1所示的试验方案，进行钢筋混凝土梁试验研究。 P应变测点PA C D B 应变测点abcde100100550百分表E70020002φ105501002φ10梁跨中剖面图弯矩M图剪力V图尺寸单位:mm160 图3.2-1 钢筋混凝土试验梁 试验采用两点对称加载，在梁的CD段剪力为零(忽略梁的自重影响)，弯矩为常数，称为纯弯曲段。在梁的纯弯曲段，布置应变测点，测量各点的应变。在跨中截面布置百分表，量测挠度值。 试验测得的跨中截面的荷载—挠度关系曲线示于图3.2-2。 20破坏纵向钢筋屈服15P (kN)10裂缝即将出现5Ⅰ0 5 10 15 20 25 30f (mm)ⅡⅢ 图3.2-2 试验梁荷载—挠度关系曲线 从图3.2-2可以看出，试验梁的荷载—挠度关系曲线有两个明显的转折点，把梁的受力过程划分为三个阶段。各受力阶段的截面应力发展情况示于图3.2-3。 - 60 - 阶段Ⅰ—当荷载较小时，挠度随荷载的增加而不断增长，梁处于弹性工作阶段。此时，混凝土压应力和拉应力均很小，按三角形应力图分布。混凝土下缘拉应力小于其抗拉强度极限值，截面未出现裂缝。 Ⅰc < ckfⅠax1ac < ckfⅡx2c < ckfⅢx3c = ckfx1MIs < skMⅠafs < skMⅡfs < skMⅢfs = fskt < f t kt = f t k图3.2-3钢筋混凝土梁各受力阶段截面应力分布情况

阶段Ⅰa —当荷载增加时，混凝土的塑性变形发展，变形的增长速度大于应力的增长速度，此现象在受拉部位更为显著。因此，应力图形在受拉区呈曲线形，在受压区接近三角形。此时受拉区下缘应力达到混凝土抗拉强度极限值，应变达到混凝土抗拉应变极限值，即达到将要出现裂缝的临界阶段。计算钢筋混凝土构件裂缝出现(即开裂弯矩)时，以此阶段应力图为基础。

40破坏(超筋梁)30P ( kN )20纵向钢筋屈服破坏(适筋梁)10开裂破坏(少筋梁)0 10 20 30 40f ( m m) 图3.2-4 不同配筋率的试验梁荷载—挠度关系曲线

阶段Ⅱ—当荷载继续增加时，受拉区混凝土出现裂缝，并向上不断发展，混凝土受压区的塑性变形加大，其应力图略呈曲线形。此时，受拉区混凝土作用甚小，可以不考虑其参加工作，全部拉力由钢筋承受，但其应力尚未达到屈服强度。按允许应力法计算钢筋混凝土构件的弹性分析理论以此阶段为基础。

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阶段Ⅲ—当荷载继续增加时，钢筋的应力增长较快，并达到屈服强度。其后由于钢筋的塑性变形，使裂缝进一步扩展，中性轴上升，混凝土受压区面积减少，混凝土的应力随之达到抗压强度极限值，上缘混凝土压碎，导致全梁破坏。这一阶段是按承载能力极限状态计算钢筋混凝土构件的基本出发点。

必须指出，上述钢筋混凝土梁正截面破坏特征，是指在实际中广为采用的正常配筋的适筋梁而言的。试验研究表明，梁的正截面的破坏形式与配筋率的多少及钢筋和混凝土种类有关。图3.2-4给出了不同配筋率的试验梁的荷载—挠度关系曲线。

从图3.2-4可以看出，对于常用的钢筋和混凝土等级而言，梁的正截面破坏形式主要受配筋率影响。按照钢筋混凝土梁的配筋情况，正截面破坏形式可归纳为下列三种情况：

(1) 适筋梁塑性破坏—配筋适当的梁(适筋梁)的破坏情况已如上述，其主要特点是受拉钢筋的应力首先达到屈服强度，受压区混凝土应力随之增大而达到抗压强度极限值，梁即告破坏。这种梁在完全破坏之前，钢筋要经历较大的塑性伸长，随之引起裂缝急剧开展和挠度的急剧增加，它将给人以明显的破坏征兆，破坏过程比较缓慢，通常称这种破坏为塑性破坏。

(2) 超筋梁脆性破坏—如果梁内配筋过多(超筋梁)，其破坏特点是受拉钢筋应力尚未达到屈服强度之前，受压区混凝土边缘纤维的应力已达到抗压强度极限值(即压应变达到混凝土抗压应变极限值)，由于混凝土局部压碎而导致梁的破坏。这种梁破坏前变形(挠度)不大，裂缝开展也不明显，是在没有明显破坏征兆的情况下突然发生的脆性破坏。超筋梁配置钢筋过多，并没有充分发挥钢筋的作用，既不经济又不安全，在设计中一般是不准采用的。

(3) 少筋梁脆性破坏—对于配筋过少的梁(少筋梁)，其破坏特点是受拉区混凝土一旦出现裂缝，受拉钢筋的应力立即达到屈服强度，并迅速经历整个流幅，进入强化工作阶段，这时裂缝迅速向上延伸，开展宽度很大，即使受压区混凝土尚未压碎，由于裂缝宽度过大，已标志着梁的“破坏”。少筋梁截面尺寸大，承载能力相对较低，破坏过程发展迅速，即使有破坏征兆，也来不及挽救，是不安全的，在结构设计中也是不准采用的。

在设计规范中，通常是规定最大配筋率和最小配筋率的限制来防止梁发生后两种脆性破坏，保证梁的配筋处于适筋梁的范围，发生正常的塑性破坏。以后我们所研究的钢筋混凝土梁都是指适筋梁而言，所有的计算公式都是针对适筋梁的塑性破坏状态导出的。

§3-3 钢筋混凝土受弯构件正截面承载能力极限状态

计算的一般问题

(一) 基本假设

钢筋混凝土受弯构件正截面承载能力极限状态计算采用第Ⅲ阶段应力图，以混凝土压应变达到极限值?c??cu控制设计，并引入下列基本假设作为计算的基础。

(1) 构件变形符合平截面假设。

在弯曲变形后构件的截面仍保持平面，即混凝土和钢筋的应变沿截面高度符合线性分布。试验研究表明，钢筋混凝土受弯构件在裂缝出现前，截面应变分布接近直线，较好地符

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合平截面假设。在裂缝出现以后直至构件破坏时，就裂缝截面而言，平截面假设已不再成立，但是就包括裂缝在内的截面平均应变而言，基本上仍符合平截面假设。

(2) 裂缝出现后，不考虑受拉区混凝土的抗拉作用，拉力全部由钢筋承担。

(3) 受压区混凝土应力图形可通过混凝土应力—应变关系曲线来描述。我国采用较多的是<建混规GB50010－2002>推荐的混凝土应力—应变曲线(见图1.1-11和公式1.1-18和1.1-19)。

(4) 钢筋的应力原则上按其应变确定。对钢筋混凝土采用的R235、HRB335、HRB400及KL400钢筋，其应力—应变关系采用完全弹塑性模型，即取双直线形式(见图1.2-2)（a）和公式1.2-2.a)，图中受拉钢筋的极限拉应变εsu=εsh=0.01。

(二) 正截面承载能力计算图式及基本方程式

按照上述基本假设，给出的受弯构件正截面抗弯承载力计算通用图式示于图3.3-1。

cufcdyccx0Acx0C0MdAsh0sTh0- yc (a) 断面图 (b) 应变图 (c)应力图 图3.3-1 正截面承载力计算通用图式

基本方程式为

由?X?0得:C?T,??cdAc??sAs由?M?0得:?0Md?Mdu0x??? (3.3-1)

??sAs(h0?yc)??式中yc——受压区混凝土合力作用点至截面受压边缘的距离。

运用上述方程式进行正截面承载力计算时，受压区混凝土合力C及其作用位置yc的计算，都需要进行积分运算，特别是对于受压区混凝土形状比较复杂的情况，这种积分运算是很麻烦的。为了计算方便，可以设想在保持混凝土压应力合力C的大小和作用位置yc不变的条件下，用等效矩形应力图来代替实际的曲线形应力图。显然这样处理，对承载力的计算结果是没有影响的。

经过大量的等效换算，《桥规JTG D62》推荐采用的受压区混凝土等效矩形应力图宽度(即应力值)取抗压强度设计值fcd，矩形应力图的高度(即受压区高度)取x=βx0，式中x0为曲线形应力图的高度，β为矩形应力图高度系数，对C50以及以下混凝土取β＝0.8。

此外，上述第(4)项关于钢筋应力取值的规定，是针对不同配筋的通用情况而言的。对适筋梁来说，构件破坏时受拉钢筋的应力均能达到其抗拉强度设计值fsd，换句话说，如果满足适筋梁的限制条件，受拉钢筋的应力取抗拉强度设计值fsd。

这样，我们就可以给出针对适筋梁而言的，受压区混凝土应力采用等效矩形应力图表示

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的正截面承载力计算图式(图3.3-2)。 cufcdx=x0x0Acx=x0yCcho0MdAsTs≥fsd/Esho-yc a) 断面图 b) 应变图 c) 应力图 图3.3-2 适筋梁正截面承载力计算图式 相应的基本方程式为

由?X?0得:C?T,fcdAc?fsdAs由?M?0得:?0Md?Mdu?? (3.3-2)

?fsdAs(h0?yc)?式中 Ac——等效矩形应力图对应的受压区混凝土面积；

yc——等效矩形应力图合力作用至截面受压边缘的距离。 (三) 最小配筋率和最大配筋率限制

必须指出，公式(3.3-2)是针对正常配筋的适筋梁的破坏状态导出的。因而，截面配筋率必须满足下列要求：

ρmin≤ρ≤ρmax (3.3-3)

(1) 最小配筋率的限制，规定了少筋梁和适筋梁的界限。《桥规JTG D62》规定，钢筋混凝土受弯构件的受拉钢筋配筋百分率应不小于45ftd / fsd，同时不应小于0.20，此处ftd为混凝土抗拉强度设计值，fsd为钢筋的抗拉强度设计值。受弯构件受拉钢筋的配筋率应按扣除受压翼缘后的有效面积计算。这样，矩形和T形截面受弯构件的最小配筋率限制可写为下列形式： ρ＝As / bh0≥ρmin＝0.45ftd / fsd，且不小于0.2% （3.3-4）

式中 b－矩形截面的梁宽，T形截面的腹板宽度；

h0－截面的有效高度，即纵向受拉钢筋合力作用点至受压边缘的距离。

《桥规JTG D62》给出的最小配筋率限值，是根据钢筋混凝土构件破坏时，截面所能承受的弯矩(按Ⅲ阶段应力图计算)，不小于同一截面的素混凝土构件所承担的弯矩(按Ⅰa阶段应力图计算)的原则确定的，其目的是保证混凝土受拉边缘出现裂缝时，梁不致因配筋过少而发生脆性破坏。

注：<建混规GB50010－2002>给出的最小配筋率限值，与<桥规JTJ023>规定相同，但是配筋率的定义不同。<建混规GB50010－2002>规定受弯构件受拉钢筋配筋率按全面积计算。这样，最小配筋率限制应写为下列形式：

ρ＝As / bh≥ρ 式中： - 64 -

min＝0.45ftd / fsd，且不小于

0.2% （3.3-5）

h－梁的高度。

(2) 最大配筋率限制，规定了适筋梁和超筋梁的界限。对于钢筋和混凝土强度都已确定了的梁来说，总会有一个特定的配筋率，使得钢筋应力达到屈服强度(应变达到屈服应变)的同时，受压区混凝土边缘纤维的应变也恰好达到混凝土的抗压极限应变值，通常将这种破坏称为“界限破坏”。相应于这种破坏的配筋率就是适筋梁的最大配筋率。 cux0>x0bx0=x0bx0 图3.3-3 适筋梁和超筋梁“界限破坏”的截面应变

最大配筋率的限制，一般是通过混凝土受压区高度来加以控制。

从图3.3-3可以看出，限制配筋率ρ≤ρmax，可以转换为限制应变图变形零点至截面受压边缘的距离(即混凝土受压区曲线形应力图的高度) x0≤x0b，进一步转化为限制混凝土受压区等效矩形应力图的高度(一般简称为混凝土受压区高度)：

x≤xb=?bh0 (3.3-5) 式中：xb——相对于“界限破坏”时的混凝土受压区高度；

ξb——相对界限受压高度，又称为混凝土受压区高度界限系数，其数值按表3.3-2采用。

表3.3-1 相对界限受压区高度

混凝土强度等级 钢筋种类 普通 钢筋 R235 HRB335 HRB400、KL400 预应力钢筋 钢绞线、钢丝 精轧螺纹钢筋 C50及以下 0.62 0.56 0.53 0.40 0.40 相对界限受压区高度? b C55、C60 0.60 0.54 0.51 0.38 0.38 C65、C70 0.58 0.52 0.49 0.36 0.36 C75、C80 — — — 0.35 — 注：1 截面受拉区配置不同种类钢筋的受弯构件，其ξ

b值应选用相应于各种钢筋的较小者；

2 ξb= xb / h0，xb为纵向受拉钢筋和受压区混凝土同时达到其强度设计值时的受压区高度。

表3.3-1给出的不同钢种配筋的混凝土受压区高度界限系数ξ

是根据“界限破b的数值，

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坏”时的变形条件求得的(见图3.3-3)。按照平截面假设，界限破坏时应变图变形零点到截面上边缘的距离x0b，可由应变图比例关系求得：

x0b??cufsd/Es??cu?h0 (3.3-6)

将x0b＝xb /β＝ξbh0 /β代入上式，则得

?b?xbx?cu??0b?? (3.3-7) h0h0fsd/Es??cu式中 εcu——混凝土极限压应变，其数值与混凝土强度等级有关，按表3.3-3采用；

β——混凝土受压区矩形应力图高度系数，其数值与混凝土强度等级有关，按表3.3-3

采用。

表3.3-2 混凝土矩形应力图高度系数及极限压应变

混凝土强度等级 β C50及以下 0.80 C55 0.79 C60 0.78 C65 0.77 C70 0.76 C75 0.75 C80 0.74 ?cu 0.0033 0.00325 0.0032 0.00315 0.0031 0.00305 0.003 例如：对R235钢筋，fsd=195MPa，Es=2.1?105MPa，C50及以下混凝土εβ＝0.8，代入公式(3.3-7)

cu＝0.0033，?b???cufsd/Es??cu?0.8?0.0033?0.6243，取ξb＝0.62 5195/2.1?10?0.0033cu＝0.0033，β

对HRB335钢筋，fsd＝280MPa，Es=2.1?105MPa，C50及以下混凝土ε0.8，代入公式(3.3-7)

＝

?b???cufsd/Es??cu?0.8?0.0033?0.5617，取ξb＝0.56。 5280/2.1?10?0.0033

§3-4 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算

只在受拉区配置受力钢筋的截面称为单筋截面。单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算是其他形式复杂截面计算的基础。

(一) 计算图式和基本方程式

根据钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算的基本假定，给出单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式(图3.4-1)。

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cufcdhohAsb0Mdx=x0C=fcdbxx0T=fsdAsassas 图3.4-1 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式

单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算公式，可由内力平衡条件求得： 由水平力平衡条件，即∑X=0得

fcd b x = fsd As (3.4-1)

由所有的力对受拉钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MAs=0得

x2由所有的力对受压区混凝土合力作用点取矩的平衡条件，即∑Mc=0得

?0Md?fcdbx(h0?) (3.4-2)

?0Md?fsdAs(h0?) (3.4-3)

式中 Md——弯矩组合设计值；

x2?0——桥梁结构的重要性系数；

fcd——混凝土轴心抗压强度设计值，按附表1采用； fsd——纵向受拉钢筋抗拉强度设计值，按附表3采用； As——纵向受拉钢筋的截面面积； x——混凝土受压区高度； b——矩形截面宽度；

h0——截面有效高度，h0= h - as； h——截面高度；

as——纵向受拉钢筋合力作用点至截面受拉边缘的距离。 公式的适用条件：

(1) ??Asf??min?0.45td，且不小于0.2％。 bh0fsd(2) x≤ξb h0

(二) 实用计算方法

在实际设计中，受弯构件正截面承载力计算可分为截面设计和承载能力复核两类问题。 1、截面设计

根据已知的弯矩组合设计值进行截面设计，常遇到下列两种情况：

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(1) 截面尺寸已定，根据已知的弯矩组合设计值，选择钢筋截面面积。 已知：弯矩组合设计值?0Md；截面尺寸b·h0；材料性能参数fcd、fsd、ξb。

求：钢筋截面面积As

解：运用基本方程式(3.4-1)、(3.4-2)或(3.4-3)求解此类问题，只有两个未知数As和x，问题是可解的。

首先，由公式(3.4-2)解二次方程，求得混凝土受压区高度x，若x≤ξbh0，则将其代入(3.4-3)或(3.4-1)，求得所需钢筋截面面积：

As??0Mdxfsd(h0?)2或As?fcdbx fsd根据所求得的钢筋截面面积，参照构造要求，选择钢筋直径和根数，布置钢筋，并验算实际配筋率ρ＝As / bh0＞ρmin。

若x＞ξbh0，应加大截面尺寸或提高混凝土强度等级，或改为双筋截面。 (2) 截面尺寸未知，根据已知的弯矩组合设计值，选择截面尺寸和配置钢筋。

已知：弯矩组合设计值?0Md；材料性能参数fcd、fsd、ξb

求：截面尺寸b、h0和钢筋截面面积As。

解：前面给出的基本公式(3.4-1)、(3.4-2)和(3.4-3)中，只有两个独立方程式，而这类问题实际上存在四个未知数(b、h0、As和x)，问题的解答有无数个。为了求得一个比较合理的解答，通常是按配筋形式和构造要求，先假定梁宽b和配筋率ρ(对矩形梁，可取ρ＝0.006～0.015，对板取ρ＝0.003～0.008)，或直接选取一个?值（一般可取（0.3～0.7）?b）。这样就只剩下两个未知数(h0和As)，问题是可解的。

将x=ξh0代入公式(3.4-2)，求得梁的有效高度

h0??0Md

?(1?0.5?)fcdb式中，ξ值根据假设的配筋率由公式（3.4-1）计算，???fsdf，亦可按直接假定

cd值代入。

梁的高度h = h0+as (式中as为钢筋合力作用点至截面下边缘的距离，布置一排钢筋时，取as≈40～50mm，布置二排钢筋时，取as≈65～75mm)，梁高应取整数。

所需钢筋截面面积可由公式(3.4-3)近似求得：

As??0Mdxfsd(h0?)2

式中，h0应以截面尺寸调整后的实际有效梁高度代入。

应该指出，从理论上讲，截面尺寸调整后，混凝土受压区高度x值亦发生了变化，因而按上式求得的钢筋截面面积是近似的。对于这种情况，梁高调整后截面尺寸即为已知，钢筋

- 68 -

截面面积的精确确定，应按前面介绍的情况(1)的步骤进行。

2、承载能力复核

承载能力复核是对初步设计好的截面进行承载力计算，判断其安全程度。

已知：截面尺寸b、h0；钢筋截面面积As；材料性能参数fcd、fsd、ξb；弯矩组合设计值γ0Md。

求：截面所能承受的弯矩设计值Mdu，并判断安全程度。

解：首先验算配筋率，若ρ＝As / bh0＞ρmin，再由公式(3.4-1)求混凝土受压区高度

x = fsd As / fcd b

若x≤ξbh0，则将其代入公式(3.4-2)或(3.4-3)求得截面所能承受的弯矩设计值

xMdu?fcdbx(h0?)

2x 或Mdu?fsdAs(h0?)

2若截面所能承受的弯矩设计值大于截面应承受的弯矩组合设计值，即Mdu＞?0Md，则说明该截面的承载力是足够的，结构是安全的。

若按公式(3.4-1)求得的x＞ξbh0，说明该截面配筋已超出适筋梁的范围，应修改设计，适当增加梁高或提高混凝土强度等级，或改为双筋截面。

在实际设计中，当出现x＞ξbh0的个别情况需按超筋梁进行强度复核时，该截面所能承受的弯矩设计值Mdu，应按公式(3.3-1)给出的正截面承载力计算通用公式计算。

例题3.4-1

已知：矩形截面尺寸b?h为250×500mm，承受的弯矩组合设计值Md＝136kN?m，结构重要性系数?0=1；拟采用C25混凝土，HRB335钢筋。

求：所需钢筋截面面积As

解：根据拟采用的材料查得：fcd=11.5MPa，ftd=1.23MPa，fsd=280MPa，ξb＝0.56。梁的有效高度h0＝500 - 40＝460mm (按布置一排钢筋估算)。

首先由公式(3.4-2)求解受压区高度x

?0Md?fcdbx(h0?)

x136?106?11.5?250x(460?)

2x2展开为x2－920x + 94608.7＝0

解得 x＝117.96mm＜ξbh0＝0.56?460＝257.6mm。将所得x值，代入公式(3.4-1)，求得所需钢筋截面面积

As?fcdbx117.96?11.5?250??1211.2mm2 fsd280- 69 -

选取4?20（外径22.7mm）提供的钢筋截面面积As＝1256mm2，钢筋按一排布置，所需截面最小宽度bmin=2?30+4?22.7+3?30＝240.8mm＜b=250mm，梁的实际有效高度h0＝500－ (30 +22.7 / 2) ＝ 458.7mm，实际配筋率ρ=As / bh0＝1256 / 250?458.7＝0.01095＞ρmin＝0.45ftd/fsd?0.45?1.23/280?0.00197?0.002。

例题3.4-2 有一计算跨径为2.15m的人行道板，承受的人群荷载为3.5kN/m2，板厚为80mm，下缘配置?8的R235钢筋，间距为130mm，混凝土强度等级为C20。试复核正截面抗弯承载能力，验算构件是否安全。 解：取板宽b=1000mm的板条做为计算单元，板的重力密度取25kN/m3，自重荷载集度g=25?103?0.08＝2000N/m。由自重荷载和人群荷载标准值产生的跨中截面的弯矩为： q=3.5kN/mL=2.15mS=250mmφ6φ8S=130mm80mm 图3.4-2 人行道板配筋示意图 11MGK?gL2??2000?2.152?1155.6N?m 8811MQK?qL2??3500?2.152?2022.3N?m 88考虑荷载分项系数后的弯矩组合设计值为

Md＝1.2MGK + 1.4MQK＝1.2?1155.6+1.4?2022.3＝4218.02 N?m

取结构重要性系数?0＝0.9，则得

?0Md= 0.9 ? 4218.02＝3796.2 N?m

按给定的材料查得：fcd= 9.2Mpa， ftd=1.06MPa，fsd=195MPa，ξb＝0.62；受拉钢筋为?8，间距S＝130mm，每米宽度范围内提供的钢筋截面面积As＝387mm2，板宽b=1000mm，板的有效高度h0＝80 - (20 + 8 / 2)＝56mm。

截面的配筋率ρ=As / bh0 =387/1000?56 = 0.0069＞ρ

- 70 -

min= 0.45×

1.06＝0.00245，满足最195小配筋率要求。

由公式(3.4-1)求受压区高度

x?fsdAs195?387??8.2mm??bh0?0.62?56?34.7mm fcdb9.2?1000xMdu?fcdbx(h0?)28.2?9.2?1000?8.2?(56?)?31915336N?mm2=3915.3 N?m＞?0Md＝3796.2N?m

将所得x值代入公式(3.4-2)，求得截面所能承受的弯矩组合设计值为

计算结果表明，该构件正截面承载力是足够的。

例题3.4-3

已知：截面承受的弯矩组合设计值Md＝215kN?m(其中自重弯矩MGK按假定截面尺寸250?650计算)，结构重要性系数?0＝1.0。拟采用C25混凝土和HRB335钢筋，fcd＝11.5MPa，ftd＝1.23MPa，fsd＝280MPa,ξb＝0.56。

求：梁的截面尺寸b?h和钢筋截面面积As

解：对于截面尺寸未知的情况，必须预先假设两个未知数，假设梁宽b=250mm，配筋率ρ＝0.01(或直接选取一个?值)

将x=ξh0，As＝ρbh0，代入公式(3.4-1)则得：

???fsd280?0.01??0.2434??b?0.56 fcd11.5将所得ξ值代入公式(3.4-2)，求得梁的有效高度

?0Md215?106h0???591.4mm

?(1?0.5?)fcdb0.2434?(1?0.5?0.2434)?11.5?250梁的高度h = h0 + as＝591.4 + 42＝633.4mm，为便于施工取h＝650mm，b=250mm，高

宽比h/b=650/250=2.6。

梁的实际有效高度为h0 = h - as = 650 - 42=608mm(式中as按布置一排钢筋估算)。

某人按下列公式，分别以由公式(3.4-2)求得的h0＝591.4mm和修改截面后的实际h0＝608mm代入，求得受拉钢筋截面面积为：

215?106??1478.3mm2 (1) As?fsd(1?0.5?)h0280?(1?0.5?0.2434)?591.4?0Md- 71 -

215?106(2) As???1437.9mm2

fsd(1?0.5?)h0280?(1?0.5?0.2434)?608?0Md(3) As＝ρbh0＝0.01?250?591.4＝1478.5mm2 (4) As＝ρbh0＝0.01?250?608＝1520mm2 试问这四种计算结果到底哪个对?

严格讲这四种计算结果都是近似的，截面尺寸确定后，应按截面尺寸已知的情况，参照例题3.4-1的计算步骤，由公式(3.4-2)重新计算x(或ξ)。

?0Md = fcd b x ?(h0 – x / 2)

215?106＝11.5?250 x (608 – x / 2)

展开整理为 x2 - 1216x + 149565.2＝0

解得 x=138.85mm＜ξbh0＝0.56?608＝340.5mm

将x值代入公式(3.4-1)求得

As?fcdbx138.85?11.5?250??1425.7mm2 fsd280将精确计算结果与上面四种近似计算结果加以比较可以看出，计算结果(2)是比较接近实

际的，而计算结果(4)是明显错误的。

最后，选取3?25，供给钢筋截面面积As＝1473mm2，钢筋按一排布置，所需截面最小宽度bmin＝2?30+3?28.4+2?30＝205mm＜b=250mm。梁的实际有效高度h0=h - as＝650－(30+28.4/2)＝605.8mm。实际配筋率ρ＝As/bh0＝1473/250?605.8=0.0097，在经济配筋范围之内。

应该指出，就实际设计工作来说，按上述第(2)项简化设计结果是可以满足要求。但是，对上述四种计算结果的分析，对理解正截面承载力计算基本方程的意义，启发我们根据已知条件和设计要求，正确的选择和确定未知数，灵活运用基本方程式，解决承载力计算问题是十分有帮助的。

§3-5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算

(一) 概述

双筋截面系指除受拉钢筋外，在截面受压区亦布置受压钢筋的截面。当构件的截面尺寸受到限制，采用单筋截面出现x＞ξbh0时，则应设置一定的受压钢筋来协助混凝土承担部分压力，这样就构成双筋截面。此外某些构件截面需要承受正、负号弯矩时，也需采用双筋截面。

必须指出，从理论上分析采用受压钢筋协助混凝土承担压力是不经济的。在实际工程中，

- 72 -

由于梁高过矮需要设置受压钢筋的情况也不多。但是从使用性能上看，双筋截面梁能增强截面的延性，提高结构的抗震性能，有利于防止结构的脆性破坏。此外，由于受压钢筋的存在，可以减少长期荷载效应作用下的变形。从这种意义上讲，采用双筋截面还是适宜的。

设计双筋截面在构造上应注意的是必须设置闭合箍筋，其间距一般不超过受压钢筋直径的15倍，以防止受压钢筋压屈，引起保护层混凝土剥落。

(二) 计算图式和基本方程式 双筋截面梁破坏时的受力特点与单筋截面梁相似，其计算图式如图3.5-1所示，其中除受压钢筋的应力取钢筋抗压强度设计值f ?sd以外，其余各项均与单筋截面梁相同。 a'sA's0cufcd f'sdA's fcdbxx=x'sa'sγoMdhAsbh0x0x fsdAsassas 图3.5-1 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算公式，可由内力平衡条件求得： 由水平力平衡条件，即∑X=0得

fcd b x + f?sd A?s = fsd As (3.5-1)

由所有的力对受拉钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MAs=0得

x2由所有的力对受压钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MA?s＝0得

''?0Md?fcdbx(h0?)?fsdAs'(h0?as) (3.5-2)

?0Md??fcdbx(?as')?fsdAs(h0?as') (3.5-3)

应用上述公式时，必须满足下列条件：

(1) x≤ξbh0 (2) x≥2a ?s

上述第一个限制条件，与单筋截面梁相同，是为了保证梁的破坏从受拉钢筋屈服开始，防止梁发生脆性破坏；第二个限制条件是为了保证在极限状态下，受压钢筋的应力能达到其抗压强度设计值，若x＜2a?s，表明受压钢筋离中性轴太近，梁破坏时受压钢筋的应变不能充分发挥，其应力达不到抗压强度设计值。

(三) 实用计算方法

- 73 -

x2利用公式(3.5-1)～(3.5-3)进行双筋截面受弯构件正截面承载力计算，亦可分为截面设计和承载能力复核两种情况。

1、截面设计

双筋截面的截面尺寸一般是按构造要求和总体布置预先确定的。因此，双筋截面设计的任务是确定受拉钢筋截面面积As和受压钢筋截面面积A?s。前面给出的双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算公式(3.5-1)、(3.5-2)和(3.5-3)，只有两个独立方程，而截面设计问题实际上存在三个未知数(As、A?s、x)，问题的解答有无数个。为了求得一个比较合理的解答，应根据不同的设计要求，预先假定一个未知数。这样，剩下两个未知数，问题就可解了。

在进行双筋截面配筋设计时，可能会遇到下列两种情况： (1) 受压钢筋截面面积A?s已知。

在某些情况下，为了改善梁的工作性能，即使梁高不受限制，在受压区亦可设置一定的受压钢筋。这时，受压钢筋可按构造要求布置。对于这种情况，只剩下两个未知数(As和x)，问题是可解的。

首先，由公式(3.5-2)解二次方程，求得混凝土受压区高度x，若2a?s≤x≤ξbh0，则将其代入公式(3.5-3)，求得受拉钢筋截面面积As；若x＞ξbh0，说明所假定的A?s过小，应适当增加A?s，再重新计算。

(2) 受拉钢筋截面面积As和受压钢筋截面面积A?s均为未知。 对于这种情况，显然应假设混凝土受压区高度x。

设计双筋截面的基本出发点，是首先充分发挥混凝土的抗压强度和钢筋的抗拉作用，按x=?bh0求得该截面所能承受的弯矩值，对超出部分无法承担的内力，再考虑由受压钢筋和部分受拉钢筋来承担。换句话说，按充分利用混凝土抗压强度的原则设计双筋截面，应假设x=?bh0。

将x??bh0分别代入公式(3.5-2)和(3.5-3)，求得所需的受拉钢筋截面面积As和受压钢筋截面面积A?s。

由公式(3.5-2)得

As'?由公式(3.5-3)得

As?'?0Md?fcdbx(?as)?0Md?fcdbx(h0?)'fsd(h0?as)x2

x2'fsd(h0?as)

2、承载力复核

承载能力复核，是对已经设计好的截面进承载力计算，判断其安全程度。 这时，应首先由式(3.5-1)计算混凝土受压区高度

'fsdAs?fsdAs'x?

fcdb- 74 -

若满足2a?s≤x≤ξbh0的限制条件，则将其代入公式(3.5-2)，求得截面所能承受的弯矩设计值

x''Mdu?fcdbx(h0?)?fsdAs'(h0?as)

2若所求得的截面所能承受的弯矩设计值大于该截面实际承受的弯矩组合设计值，即Mdu

＞?0Md，说明该截面的承载力是足够的，结构是安全的。

若按公式(3.5-1)求得的x＜2a?s，因受压钢筋离中性轴太近，变形不能充分发挥，受压钢筋的应力达不到抗压强度设计值。这时，截面所能承受的弯矩设计值，可由下列近似公式计算

Mdu = fsd As (h0 - a?s) (3.5-4)

公式(3.5-4)是假定受压混凝土的合力点与受压钢筋合力点重合，以该点为矩心取矩建立的，可用于受压区边缘钢筋保护层厚度不大的一般情况下的承载力计算。当截面受压边缘钢筋的保护层厚度较大时，受压钢筋的应力可参照第五章给出的由平截面假设导出的截面任意位置上纵向钢筋应力计算公式(5.2-3)确定。

例题3.5-1

有一截面尺寸为250?600mm的矩形梁，所承受的最大弯矩组合设计值Md=400kN?m，

'结构重要性系数?0＝1。拟采用C30混凝土、HRB400钢筋，fcd=13.8MPa，fsd=330MPa，fsd

=330MPa，ξb＝0.53。试选择截面配筋，并复核正截面承载能力。

解：假设as＝70mm，a?s＝40mm，则h0＝600-70＝530mm。

首先，求xb=ξbh0=0.53?530＝280.9mm的截面所能承受的最大弯矩组合设计值Mdb，判断截面配筋类型：

Mdb?fcdbxb(h0?xb)2280.9)?377.51?106N?mm 2?377.51kN?m??0Md?500kN?m?13.8?250?280.9?(530?故应按双筋截面设计。

从充分利用混凝土抗压强度出发，取x=ξbh0＝0.53?530＝280.9mm，将其分别代入公式(3.5-2)和(3.5-3)得：

- 75 -

As'??0Md?fcdbx(h0?)fsd(h0?as')280.9)2?139.08mm2

x2400?106?13.8?250?280.9?(530??330?(530?40)x2fsd(h0?as')As??0Md?fcdbx(?as')

?280.9?400?106?13.8?250?280.9???40??2??3075.57mm2?330?(530?40)??226mm2，as?30?12受压钢筋选2φ12，（外径13.9mm）供给的As'2?36mm。

受拉钢筋选8φ22，(外径25.1mm)供给的As?3041mm2，布置成二排，所需截面最小宽

度

bmin?2?30?4?25.1?3?30?250mm?b?250mm，

as?30?22?30?67mm，h0?600?70.1?529.9m。

2按实际配筋情况复核截面承载能力。

此时，应由公式（3.5-1）计算混凝土受压区高度

?As?fsdAs?fsdx?fcdb?330?3041?330?226?269.26mm??bh0?0.53?533?282.49mm13.8?250?2as'?2?36?72mm

该截面所能承受的弯矩设计值由公式（3.5-2）求得

x?As?(h0?as?)Mdu?fcdbx(h0?)?fsd2269.26?13.8?250?269.26(533?)?330?226(533?36)

2?407.13?106N.mm?407.13kN.m??0Md?400KN.m计算结果表明，截面承载力是足够的。

- 76 -

§3-6 T形截面受弯构件正截面承载力计算

(一) 概述

钢筋混凝土受弯构件常采用肋形结构，例如桥梁结构中的桥面板和支承的梁通常是浇筑成整体，形成平板下有若干梁肋的结构，即肋形结构。在荷载作用下，板与梁共同弯曲。当承受正弯矩时，梁上部受压，位于受压区的板参与工作，而成为梁的有效截面的一部分，梁的截面成为T形截面（见图3.6-1（a））；当承受负弯矩时，梁上部受拉，位于梁上部的板受拉后，混凝土开裂，不起受力作用，梁有效截面仍为矩形截面（见图3.6-1（b））。换句话说，判断一个截面在计算时是否属于T形截面，不是看截面本身的形状，而是由混凝土受压区的形状而定。从这种意义上讲，I形、∏形、箱形和空心板梁，在承受正弯矩时，混凝土受压区的形状与T形截面相似。在计算正截面承载力时均可按T形截面处理。 翼板Ash f' x翼板b图3.6-1 T形截面的形成 xAs腹板腹板b 中间带有圆孔的空心板梁，在计算正截面承载力时，可将其换算为等效的工字形截面处理。 a)11b)1c)byh'fhfhy2yyhybfybkbfhkbk22hkbfh 图3.6-2 空心板截面抗弯等效换算 将空心板截面按抗弯等效的原则，换算为等效工字形截面的方法是在保持截面面积、惯性矩和形心位置不变的条件下，将空心板的圆孔(直径为D)换算为bk ? hk的矩形孔（见图3.6-2）。 - 77 -

按面积相等

bkhk?bkh3k12?D24

按惯性矩相等

??D46

33D，bk??D 26这样，在保持原截面高度、宽度及圆孔形心位置不变的情况下，等效工字形截面尺寸为：

联立解求得

hk?上翼缘厚度

h'f?y1?hk/2?y1?hf?y2?hk/2?y2?b?bf?2bk?bf?3D 4下翼缘厚度 腹板厚度

3D 43?D 3T形截面梁由腹板和翼缘组成，主要依靠翼缘承担压力，钢筋承担拉力，通过腹板将受压区混凝土和受拉钢筋联系在一起共同工作。

从弹性力学分析得知，T形截面梁承受荷载产生弯曲变形时，在翼缘宽度方向纵向压应力的分布是不均匀的，离腹板越远压应力越小，其分布规律主要取决于截面和梁跨径的相对尺寸以及荷载形式。试验表明，在构件接近破坏时，由于塑性变形的发展，翼缘的实际应力分布要比弹性分析结果均匀一些。在实际工程中，对现浇的T形梁，有时翼缘很宽，考虑到远离腹板处翼缘的压应力很小，故在设计中把翼缘的工作宽度限制在一定范围内，一般称为翼缘的有效宽度b?f，并假定在b?f范围内压应力是均匀分布的(见图3.6-3)。

还应指出，T形梁的翼缘参与主梁工作是靠翼缘与腹板连接处的水平抗剪强度来保证的。为此，与腹板连接处的翼缘厚度不能太小。《桥规JTG D62》规定，T形和工形截面梁翼缘与腹板连接处的翼缘厚度应不小于梁高的1/10。如设置承托(图3.6-3)，翼缘厚度可计入承托加厚部分厚度hh＝tg? ? bh，其中bh为承托长度，tg?为承托底坡；当tg?大于1/3时，取用hh=bh/3。 b'f hh hh hhbhbhbbh hhbhl1l1 hhh'f 图3.6-3 T形截面梁受压翼缘的计算宽度 - 78 -

《桥规JTG D62》规定，T形和工形截面梁，翼缘有效宽度b?f，可取用下列三者较小者： (1) 对于简支梁，取计算跨径的1/3。对于连续梁，各中跨正弯矩区段，取该计算跨径的0.2倍；边跨正弯矩区段，取该跨计算跨径的0.27倍；各中间支点负弯矩区段，取该支点相邻两计算跨径之和的0.07倍；

(2) 相邻两梁的平均间距；

(3)（b?2bh?12h'f），此处b为梁腹板宽度，bh为承托长度，h?f为受压区翼缘悬出板的厚度。当bh>3hh时，上式中bh应以3hh代替，此处hh为承托根部厚度。

外梁翼缘的有效宽度取内梁翼缘有效宽度的一半，加上腹板宽度的12，再加上外侧悬臂板平均厚度的6倍。外梁翼缘的有效宽度不应大于内梁翼缘有效宽度。

箱形截面梁翼缘的有效宽度目前比较通用的是按<德国规范DIN1075>推荐的方法确定。我国在对该法进行了大量的实桥验算和空间有限元分析的基础上，将这一方法纳入<桥规JTG D62>。

箱形截面梁在腹板两侧上、下翼缘的有效宽度bmi可按下列规定计算(图3.6-4、图3.6-5和表3.6-1)

1． 简支梁和连续梁各跨中部梁段，悬臂梁中间跨的中部梁段

bmi??fbi （3.6-1） 2． 简支梁支点，连续梁边支点及中间支点，悬臂梁悬臂段

bmi??sbi （3.6-2）

式中 bmi——腹板上、下两侧各翼缘的有效宽度，i?1，2，3?见图3.6-4；

bi ——腹板上、下两侧各翼缘的实际宽度，i?1，2，3?见图3.6-4；

?f——有关简支梁、连续梁各跨中部梁段、悬臂梁中间跨的中部梁段翼缘有效

宽度计算系数，见图3.6-5中?f曲线和表3.6-1；

?s——有关简支梁支点、连续梁边支点和中间支点、悬臂梁悬臂段翼缘有效宽

度计算系数，见图3.6-5中?f曲线和表3.6-1；

当梁高h?bi/0.3时，翼缘有效宽度采用翼缘全宽。

注：为了便于计算，笔者对图3.6-5给出的?f和?s曲线进行了回归分析，给出了?f和?s的计算表达式为：

?f??6.4435?bili??10.1?bili??3.5554?bili??1.4374?bili??1.0807

432?s?21.857?bili??38.013?bili??24.572?bili??7.6709?bili??1.2705

- 79 -

432

图3.6-4 箱形截面梁翼缘有效宽度 图3.6-5 ?s、?f曲线图

注：1 bmi,f为简支梁和连续梁各跨中部梁段、悬臂梁中间跨的中部梁段，当bi/li?0.7 时翼缘的有

效宽度；

2 bmi,s为简支梁支点、连续梁边支点和中间支点、悬臂梁悬臂段，当bi/li?0.7时的翼缘的有效宽度。 3 li见表3.6-1。

- 80 -

表3.6-1 ?s、?f的应用位置和理论跨径li

结 构 体 系 简 支 梁 边 跨 中 间 跨 理论跨径li li?l 边支点或跨中部分 梁段li?0.8l 跨中部分梁段li?0.8l, 中间支点li取0.2倍两相邻跨径之和。 悬 臂 梁 li?1.5l 连 续 梁 注：1

（如求bm1时，a取b1），但a不大于0.25L，a取图3.6-4所示的与所求计算宽度bmi相应的计算宽度bi，L为梁的计算跨径。

2 c＝0.1L；

- 81 -

3 在长度a或c的梁段内系数可用直线插值法在?s与?f之间求取。

应该指出，上面给出的T形梁和箱梁的翼缘有效宽度，都是针对受弯工作状态得出。对于承受轴力的构件是不适用的。为此，<桥规JTG D62>又进一步明确规定：

预应力混凝土梁在计算预加力引起的混凝土应力时，由预加力作为轴向力产生的应力可按翼缘全宽计算；由预加力偏心引起的弯矩产生的应力可按翼缘有效宽度计算。对超静定结构进行作用（或荷载）效应分析时，梁的翼缘宽度可取全宽。

(二) 计算图式与基本方程式

试验研究表明，T形截面受弯构件的破坏状态及其正截面抗弯承载力计算图式与矩形截面梁相同。

为了叙述问题的方便，图3.6-4给出了双筋T形截面受弯构件正截面承载力计算图式。 (a)b'fA's0a'scusfcdf'sdA'sxh'f'xxfcdb'xfAs0MdfsdAs应力图asbs应变图a's(b)b'fA'sfcdxcusf'sdA'sfcdbxh'f'0xx0Mdasbs应变图应力图asAsfsdAsh0-x/2h0-h'f/2ho-a'sh0hhoho-x/2ho-a'shohfcd(b'f-b)h'f 图3.6-6 T形截面受弯构件正截面承载能力计算图式 (a)x?h'f按矩形截面计算 (b) x?h'f按T形截面计算 T形截面的计算，按中性轴所在位置不同分为两种类型。

第一种类型，中性轴位于翼缘内，即x≤h?f，混凝土受压区为矩形，中性轴以下部分的受拉混凝土不起作用，故这种类型的T形截面与宽度为b?f的矩形截面的正截面承载力完全相同。其正截面承载力计算公式，可由内力平衡条件求得（图3.6-6(a)）：

由水平力平衡条件，即∑X=0得

- 82 -

'fcdb'fx?fsdAs'?fsdAs (3.6-3)

由所有的力对受拉钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MAs＝0得

x2由所有的力对受压区混凝土合力作用点取矩的平衡条件，即∑Mc＝0得

xx''?0Md?fsdAs(h0?)?fsdAs'(?as) (3.6-5)

22应用上述公式时，原则上应满足下列条件：

(1) x≤ξbh0 (2) x≥2a?s

(3) ρ＝As / bh0＞ρmin

对于x≤h?f的情况，一般均能满足x≤ξbh0的限制条件，故可不必作判别验算。 应特别指出的是验算第一种类型T形截面的最小配筋率限制时，配筋率ρ是相对于腹板宽度计算的，即ρs＝As / bh0，而不是相对于bf?h0的配筋率。前已指出，最小配筋率ρmin是根据按Ⅰa阶段应力图形计算的素混凝土梁的破坏弯矩，与按第Ⅲ阶段应力图计算的同截面钢筋混凝土梁的破坏弯矩相等的条件得出的。计算表明，腹板宽度为b、梁高度为h的T形截面素混凝土梁的破坏弯矩，比宽度为b、梁高为h的矩形截面素混凝土梁的破坏弯矩提高不多。为简化计算，并考虑以往设计经验，此处ρmin仍取用矩形截面的数值。

第二种类型，中性轴位于腹板内，即x＞h?f，混凝土受压区为T形，其正截面承载力计算公式，可由内力平衡条件求得(图3.6-6 (b))：

由水平力平衡条件，即∑X=0得

''?0Md?fcdb'fx(h0?)?fsdAs'(h0?as) (3.6-4) 'fcdbx?fcd(b'f?b)h'f?fsdAs'?fsdAs (3.6-6)

由所有的力对受拉钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MAs＝0得

hx''?0Md?fcdbx(h0?)?fcd(b'f?b)h'f(h0?f)?fsdAs'(h0?as) (3.6-7)

22由所有的力对受压钢筋合力作用点取矩的平衡条件，即∑MA? s＝0得

'hfx'''?0Md??fcdbx(?as)?fcd(b'f?b)h'f(?as)?fsdAs(h0?as) (3.6-8)

22应用上述公式时，应满足x≤ξbh0的限制条件。对于x＞h?f的情况，x≥2a?s和ρ＞ρmin

的限制条件一般均能满足要求，故可不必作判别验算。

(三) 实用设计方法 1． 单筋T形截面 (1)截面设计与配筋

T形梁的截面设计，通常先按构造要求，参照已有设计资料及经验数据（高跨比h/L）确定截面尺寸，计算恒载内力，求得弯矩组合设计值，然后再根据受力要求调整梁的高度。

- 83 -

' 从前面给出的公式（3.6-7）可以看出，对单筋T形截面而言（As'?0），若将式中的x值，以?h0代入，即求得一个以h0为未知数的二次方程式：

Ah02?Bh0?C?0 （3.6-9） 式中 A?fcdb?(1?0.5?) B?fcd(bi?b)hf C??0Md?21fcd(b'f?b)h'f 2''为了保证梁的塑性破坏性质，可在（0.3～0.8）?b的范围内，选取一个适当的?值，代入公式（3.6-9），解二次方程，求得梁的有效高度h0。

梁的实际高度h=h0+as，式中as为受拉钢筋合力作用点至截面受拉边缘的距离，采用单根配筋，布置一排钢筋时，假设as≈40～50mm，布置二排钢筋时，假设as≈60～70mm；采用焊接骨架时，假设as≈70～100mm。梁高应取整数，并按调整后的梁高和预估的as值，重新计算梁的有效高度h0。若求得的梁高与假设梁高相差较大，应重新计算恒载内力，并对梁高再做适当调整。

截面尺寸确定后，配筋设计可按下列步骤进行：

首先应确定中性轴位置，判断截面类型。但是，由于钢筋截面面积未知，混凝土受压区高度无法求出。这时可利用x=h?f的界限条件来判断截面类型。显然，若满足

?0Md?fcdb'fh'f(h0?h'f2) (3.6-10)

则x≤hf?，中性轴位于腹板内，即属于第一类T形，应按矩形截面计算。

反之，若 ?0Md?fcdb'fh'f(h0?h'f2) (3.6-11)

则x＞h?f，中性轴位于腹板内，即属于第二类T形，应按T形截面计算。

当x≤h?f时，首先由公式(3.6-4)(令A?s＝0)，解二次方程，求得混凝土受压区高度x，若x≤h?f，则将其代入公式(3.6-3)或(3.6-5)求得受拉钢筋截面面积As，选择和布置钢筋，并验算截面最小配筋率。

当x＞h?f时，首先由公式(3.6-7)(令A?s=0)，解二次方程，求得混凝土受压区高度x，若h?f＜x≤ξbh0，则将其代入公式(3.6-8)，求得受拉钢筋截面面积As，然后选择和布置钢筋。

(2) 承载能力复核

对已经设计好的T形截面梁进行正截面承载能力复核，可按下列步骤进行：

首先应确定中性轴位置，判断截面类型。对于已经设计好的截面，钢筋截面面积已知，可利用下列条件判断截面类型，若满足下列条件

- 84 -

fcdb'fh'f?fsdAs (3.6-12)

表明钢筋所承担的拉力小于或等于全部受压翼板内混凝土压应力的合力，则x≤h?f,即属于第一类T形；反之，则x＞h?f，即属于第二类T形。

承载能力复核时，亦可不必预先判断截面类型，先按第一类T形计算，由公式(3.6-3)确定混凝土受压区高度x，若满足

x?fsdAs?h'f 'fcdbf将所得min的要求，

x值，

说明假设按第一类T型计算是正确的，若同时满足ρ＝As / bh0＞ρ

代入公式(3.6-4)或(3.6-5)，求得该截面所能承受的弯矩设计值Mdu。若Mdu＞?0Md，说明该截面的承载力是足够的。

若按第一类T形计算，由公式(3.6-3)确定的混凝土受压区高度x＞h?f，说明假设为第一类T形是错误的。这时应改为按第二类T形计算，由公式(3.6-6)重新确定混凝土受压区高度x，若h?f＜x≤?bh0，则将其代入公式(3.6-7)或(3.6-8)。计算该截面所能承担的弯矩设计值Mdu，若Mdu＞?0Md说明该截面的承载力是足够的。

2、双筋T形截面

T形截面由于翼缘的作用，受压区面积较大，一般情况下，混凝土可以承担足够的压力，而不必设置受压钢筋。由于混凝土压力不足，需采用双筋T形截面的情况在实际工程中很少遇到。双筋T形(特别是工字形和箱形)截面主要用于承受正、负变号弯矩的梁段。这时，底层受拉钢筋As应按承受正弯矩的受力要求确定；上层受拉钢筋A?s，应按承受负弯矩的受力要求确定。承载能力复核时，则应按双筋T形截面计算，分别考虑正、负弯矩两种组合效应情况。

例题3.6-1

60070010φ20300633120 图3.6-7 T形梁截面尺寸及配筋 T形截面梁截面尺寸如图3.6-7所示，所承受的弯矩组合设计值Md＝580kN?m，结构重

- 85 -

要性系数?0＝1.0。拟采用C30混凝土，HRB400钢筋，fcd=13.8MPa，ftd=1.39MPa，fsd=330MPa，ξb＝0.53。试选择钢筋，并复核正截面承载能力。

解：按受拉钢筋布置成二排估算as＝70mm，梁的有效高度h0＝700-70＝630mm。梁的翼缘有效宽度b?f =b+12h?f=300+12?120=1740mm＞600mm，故取b?f＝600mm。

首先由公式(3.6-10)判断截面类型，当x=h?f时，截面所能承受的弯矩设计值为

fcdb'fh'f(h0?h'f120)?566.3?106N?mm 22?566.3kN?m??0Md?580kN?m)?13.8?600?120?(630?故应按x＞h?f的T形截面计算。

这时，应由公式(3.6-7)(令A?s=0)求得混凝土受压区高度x

h'fx''?0Md?fcdbx(h0?)?fcd(bf?b)hf(h0?)

22x120580?106?13.8?300x(630?)?13.8?(600?300)?120?(630?)

22展开整理后得

x2－1260x + 143393.23＝ 0

解得 x=126.5mm ＞ h?f=120mm

＜ξbh0＝0.53×630＝333.9mm

将所得x代入公式(3.6-6)得：

As??fcdbx?fcd(b'f?b)h'ffsd13.8?300?126.5?13.8?(600?300)?120

330?3092.45mm2选择10?20（外径22.7mm），供给的钢筋截面面积As＝3142mm2，10根钢筋布置成两排，每排5根，所需截面最小宽度bmin=2?30+5?22.7+4?30=293.5mm＜b=300mm，受拉钢筋合力作用点至梁下边缘的距离as＝30+22.7+30/2=67.7mm，梁的实际有效高度h0＝700-67.7=632.3mm。

对上述已设计好截面进行承能力复核时，应按梁的实际配筋情况，由公式(3.6-4)计算混凝土受压区高度x

- 86 -

x??fsdAs?fcd(b'f?b)h'ffcdb330?3142?13.8?(600?300)?120

13.8?300?h'f?120mm?130.45mm??bh0?0.53?632.5?335.1mm该截面所能承受的弯矩设计值为

Mduh'fx''?fcdbx(h0?)?fcd(bf?b)hf(h0?)22130.45120?13.8?300?130.45?(632.5?)?13.8?(600?300)?120?(632.3?)22?590.57?106N?mm?590.57KN.m??0Md?580kN?m

计算结果表明，该截面的抗弯承载能力是足够的，结构是安全的。 例题3.6-2 预制的钢筋混凝土简支空心板，截面尺寸如图3.6-8(a)所示，截面宽度b=1000mm，截面高度h=450mm，截面承受的弯矩组合设计值Md＝560kN?m，结构重要性系数?0＝0.9。拟采用C25混凝土，HRB335钢筋，fcd=11.5MPa，ftd=1.23Mpa， fsd=280MPa，ξb＝0.56。试选择钢筋，并复核承载能力。 (a) (b) b'=1000 272b=456272300200300100100bf=10001000 f75225225300450图3.6-8 钢筋混凝土空心板截面尺寸 解：为计算方便，先将空心板截面换算为抗弯等效的I形截面(参照图3.6-2，且y1= y2 = 450 / 2＝225mm)，按下式求得等效I形截面尺寸〔图3.6-6(b)〕 3D?225?43下翼缘厚度 hf?y2?D?225?4上翼缘厚度 h'f?y1?753?300?95mm 43?300?95mm 4- 87 -

952604509533?D?100??3.14?300?456mm 33空心板采用单根钢筋配筋，假设as＝40mm，板的有效高度h0＝450-40=410mm。 由公式(3.6-10)判别截面类型，当x=h?f时，截面所能承受的弯矩设计值为

腹板厚度

b?bf?fcdb'fh'f(h0?h'f95)?399.45?106N?mm 22?399.45kN?m??0Md?0.9?560?504kN?m)?11.5?1000?95?(410?故应按x＞h?f的T形截面计算。

这时，应由公式(3.6-6)(令A?s=0)求得混凝土受压区高度x

hx?0Md?fcdbx(h0?)?fcd(b'f?b)h'f(h0?f)

22'x950.9?560?106?11.5?456x(410?)?11.5?(1000?456)?95?(410?)

22整理后得 x2－820x + 110053＝0

解得 x=169.1mm ＞h?f=95mm

＜ξbh0＝0.56?410＝229.6mm

将所得x代入公式(3.6-4)得：

As??fcdbx?fcd(b'f?b)h'ffsd11.5?456?169.1?11.5?(1000?456)?95

280?5289.6mm2选择14?22(外径25.1mm)，供给的钢筋截面面积As＝5321.4mm2。板的混凝土保护层厚度取30mm， 则板的实际有效高度h0＝450－(30+25.1/2)=407.5mm。钢筋布置一排所需截面最小宽度bmin=2?30+14?25.1+13?30=801.4mm＜1000mm。

按图3.6-9所示的实际配筋情况，复核截面抗弯承载能力。这时，应由公式(3.6-4)，计算混凝土受压区高度x

x??fsdAs?fcd(b'f?b)h'ffcdb280?5321.4?11.5?(1000?456)?95

11.5?456?h'f?95mm?170.8mm??bh0?0.56?409?229.04mm将所得x值代入公式(3.6-7)，求得该截面所能承受的弯矩设计值为

- 88 -

Mduh'fx''?fcdbx(h0?)?fcd(bf?b)hf(h0?)22170.895?11.5?456?170.8?(407.5?)?11.5?(1000?456)?95?(407.5?)22?502.45?106N?mm?502.45N.m??0Md?0.9?560?504kN?m,但仅相差0.3%, 可以认为该表面的抗弯承载力满足要求。 753710030020010003001007514φ22300450 图3.6-9 钢筋混凝土宽心板的配筋 §3-7 在正截面承载力计算中引入纵向受拉钢筋极限拉应变限制的物理意义及控制方法

(一) 概述

新修订的《建混规50010－2002》在正截面承载力计算的基本假设中，增加了“纵向受拉钢筋的极限应变取为0.01”的限制。关于这一限值的物理意义，规范条文说明解释为“对纵向受拉钢筋的极限拉应变规定为0.01，作为构件达到承载能力极限状态的标志之一”。“此值对于有屈服点的热轧钢筋相当于已经进入了屈服台阶，意味着钢筋的拉应变超过屈服应变后可得到控制，此外，极限拉应变的规定，表示钢筋的均匀伸长率不得小于0.01，以保证构件具有较充分的延性”。

从理论上讲，引入纵向受拉钢筋极限拉应变限制后，正截面承载力计算应以受压区边缘处混凝土应变达到极限值?c??cu或纵向受拉钢筋应变达到极限值?s??su?0.01两种情况控制设计。换句话说，这两个极限应变中只要具备其中一个，即标志构件达到极限状态 (图3.7－1)。

（二）以混凝土极限压应变?cu控制设计时承载力实用简化计算公式的适用条件

众所周知，前面（§3－4～§3－6）介绍的<桥规JTG D62>给出的正截面承载力计算公式，

- 89 -

是以适筋梁的塑性破坏为基础，按受压区混凝土的应变达到极限值?c??cu控制设计的计算图式导出的。公式适用条件x??bh0（公式3.3－5）规定了混凝土受压区高度的最大值限值，其实质是规定纵向受拉钢筋的应变必须大于或等于钢筋的屈服应变（?s?fsd/Es），保证在极限状态下，钢筋进入塑性状态。但对进入屈服状态后钢筋的最大应变值没有加以限制，显然这与“纵向受拉钢筋极限拉应变取值为0.01”的基本假设是相矛盾的。

?c??cu (a) C ?xo A AAs AT ?s??su A?c??cu (b) A ?0Md AC As AA AsA T ?s??su A A断面图 应变图 应力图 A 图3.7-1 不同控制条件的正截面承载能力计算图式

(a)以混凝土压应变?c??cu控制设计；（b）以纵向钢筋拉应变?s??su控制设计

按照图3.7－1（a）给出的以混凝土压应变控制设计的计算图式，在极限状态下，混

ho-yc ho xo 凝土压应变达到极限值?c??cu，而纵向钢筋拉应变应小于极限值?s??su?0.01。纵向钢筋拉应变控制可以通过规定混凝土受压区高度最小值的限制条件来实现：

ho-yc h0 yc ?oMdx??suh0 （3.7－1）

式中，?su为混凝土压应变达到极限值?cu的纵向受拉钢筋应变达到极限值?su=0.01时的混凝土受压区相对高度，其数值可由平截面假设求得：

- 90 -

yc ?su?xsu?cu?? （3.7－2） h0?cu?0.01对C50及以下的混凝土，取?cu=0.0033，?=0.8代入上式，则得到?su=0.1985。 这样，前面（§3-4～§3-6）给出的正截面承载力计算公式的适用条件（公式3.3－5）应

改写为下列形式：

?suh0?x??bh0 （3.7－3）

对于x>?bh0的情况，说明梁高过小，属于超筋梁范围，一般应修改设计。

对于x

按照图3.7－1（b）所示的计算图式，在极限状态下，纵向受拉钢筋的应变取极限值

?su?0.01，受压区边缘处混凝土的应变小于极限值?cu，其数值可通过变形零点至受压区

边缘的距离x0来表示：

?c?0.01?x0

由

?X=0得：

- 91 -

由

?x00?cxdAc?fsdAs （3.7-6）

?M=0得：

?0Md?Mdu.s?fsdAs(h0?yc) （3.7-7）

式中 yc——混凝土受压区合力作用点至截面受压边缘的距离。

应该指出，在给定混凝土的应力--应变曲线数学模型的情况下，利用计算机完成上述积分运算并不困难。

我们以常用的矩形和T形截面受弯构件为例，按 <建混规50017－2002>推荐的混凝土应力--应变曲线[(1.1-18)~(1.1-19)式]，代入公式（3.7－6）和（3.7－7），通过积分运算，给出了不同配筋率时以纵向钢筋极限拉应变为控制条件的正截面承载力（结构抗力）Mdu.s。并将其与按前面（§3-4～§3-6）介绍的不考虑纵向钢筋拉应变控制的实用简化公式求得的正截面假想名义抗弯承载力（假想名义结构抗力）Mdu.c加以比较。计算结果表明，Mdu.s和

Mdu.c相差不大，两者的比值为Mdu.s/Mdu.c?0.96~0.97。从图3.7－1所示的计算图示可以

看出，当钢筋达到屈服后，纵向钢筋合力Zs?fsdAs 是个定值，与其相平衡的混凝土压应力合力也是一个定值，结构抗力只随内力臂的大小而变。以纵向钢筋极限拉应变控制设计时，受压区混凝土边缘的应变值较小，受压区混凝土合力作用点下移，使内力臂减小，结构抗力降低。但混凝土压应变对其合力作用点位置的影响不大，加之在简化计算中?值取值的近似性，最终导致系数Mdu.s和Mdu.c相差不大也是预料之中的。

这样，当截面高度较大（相对配筋率较小），按常规计算方法计算出现x

Mdu.s=?sMdu.c，笔者建议取?s=0.95。

此外，当以纵向钢筋极限拉应变控制设计时，受压区混凝土边缘压应变将小于极限值，但其数值也不宜过小。笔者建议，受压区混凝土边缘压应变宜不小于?0?0.002。 若以此为控制条件，即可求得按纵向钢筋极限拉应变控制设计时，混凝土受压区高度最小值

- 92 -

的限制条件为：

x???0h0 (3.7－8)

??=?0?0 （3.7－9）

?0??su式中 ??0——纵向受拉钢筋应变达到极限值?su?0.01，混凝土压应变达到?0?0.002 时的混凝土受压区相对高度，其数值可由平截面的假设求得。

?0?0.002，??0.8代入公式对C50及以下的混凝土取?u?0.0033，（3.7-9），

则得??0?0.1333。

这样，引入纵向钢筋极限拉应变限制后的正截面承载能力计算仍可按前面（§3-4～§3-6）

给出得实用简化公式计算，并按下列规定处理：

（1）当满足?suh0?x??bh0要求时，以混凝土压应变控制设计；

（2）当出现x??suh0(0.1985h0)的情况时，以纵向钢筋拉应变控制设计，其承载力应乘以0.95的修正系数。

（3）为了保证梁的塑性破坏，混凝土受压区相对高度不宜小于??0?0.1333。 应该指出，在正截面拉变承载力计算中，引入纵向受拉钢筋极限拉应变为0.01的规定，近年来，国内外很多设计规范采用普通作法。虽然《桥规JTGD62》没有明确规定比项限制。但是在桥梁结构设计适当地降低采高加大纵向钢筋的配筋率，控制纵向受拉钢筋的拉应度不要过大是十分必要的。

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