2013年高考数学模拟试题(文科)及答案
更新时间:2024-04-26 15:56:01 阅读量: 综合文库 文档下载
凹凸教育高考文科数学模拟题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U?R,且A?x|x?1?2,B?x|x?6x?8?0,则(CUA)?B等于
(A)[?1,4) (B)(2,3] (C)(2,3) (D)(?1,4)
???2?2.已知(3?3i)?z??23i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.下列有关命题的说法正确的是
(A)命题“若x2?1,则x?1”的否命题为:“若x2?1,则x?1”. (B)“x??1”是“x2?5x?6?0”的必要不充分条件.
(C)命题“?x?R,使得x2?x?1?0”的否定是:“?x?R, 均有x2?x?1?0”. (D)命题“若x?y,则sinx?siny”的逆否命题为真命题.
4.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又沿原路返回b千米(b?a),再前进c千米,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是
(A) (B) (C) (D)
?(3a?1)x?4a,x?15.已知f(x)?? 是(??,??)上的减函数,那么 a 的取值范围是
logx,x?1?a(A)?,? (B)(0,
?11??73?1?1?) (C)(0,1) (D)?,1? 3?7?
6.如图是一个算法程序框图,当输入的x值为3时,输出的结果恰好是 (A)y?3 (B)y?3 (C) y?x
7.底面边长为2,各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在
同一球面上,则此球的表面积为
(A)4?
(B)4?
3
(C)2?
(D) 3?
?xx1,则空白框处的关系式可以是 313?13 (D) y?x
8.若x?(0,2?],则使cosx?sinx?tanx?cotx成立的x取值范围是 (A)(
??4,2) (B)(
35(?,?) ?,?) (C)
44(D)(?,2?)
749. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
SS41?,则8等于 S83S16
(C)
(A)
3 10 (B)
1 31 9 (D)
1 810.已知函数f(x)?()x?log2x,正实数a、b、c满足f(c)?0?f(a)?f(b),若实数d是函数f(x)的一个零点,那么下列四个判断:
①d?a;②d?b;③d?c;④d?c. 其中可能成立的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 11.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA?OB?OC?0,那么
13????????????????????????????????(A) AO?OD (B) AO?2OD (C) AO?3OD (D) 2AO?OD
12.函数f(x)、g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程x?f?g(x)?=0有实根,则函数g?f(x)?的解析式可能是
(A)x?4x?3 (B)x?4x?5 (C) x?2x?3 (D)x?3x?5
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
2222
?x?3y?4?0?22x?013.若在区域?内任取一点P ,则点P 落在单位圆x?y?1内的概率为 . ?y?0?14. 过圆x?y?6x?4?0与x?y?6y?28?0的交点,并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程是 .
2222x2y215.设F1,F2是椭圆,I是?PF1F2的内心,??1的两个焦点,P是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端点)
2516直线PI交x轴于点D,则
PI? . ID16.老师给出一个函数y?f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:甲:对于x?R,都有
f(1?x)?f(1?x);乙:在???,0?上函数递减;丙:在?0,???上函数递增;丁:函数的最小值为0.如果其中恰有
三人说得正确,请写出一个这样的函数 .
三.解答题:本大题共6小题,共74分.
17.(本小题满分12分)
函数f(x)?Asin(?x??),A?0,??0,|?|??的图象的一部分如图 (Ⅰ)求函数f(x)的解析式 ;
(Ⅱ)求函数g(x)的解析式,使得函数f(x)与g(x)的图象关于(
18.(本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?BC?2,过A1, C1 , B三点的平面截
?4,1)对称.
去长方体的一个角后得到几何体ABCD?A1C1D1,且这个几何体的体积为
(Ⅰ)证明:直线A1B // CDD1C1; (Ⅱ)求 A1 A的长;
(Ⅲ)求经过A1、C1、B、D四点的球的表面积.
19.(本小题满分12分)
某学校举行“科普与环保知识竞赛”,并从中抽取了部分学生的成绩(均为整数),所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3,第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075,第2小组的频数为10.
(Ⅰ)求所抽取学生的总人数,并估计这次竞赛的优秀率(分数大于80分);
(Ⅱ)从成绩落在(50.5,60.5)和(90.5,100.5)的学生中任选两人,求他们的成绩在同一组的概率.
20.(本小题满分12分)
40. 3*a1?3,已知数列{an}中,对于n?N,以an,an?1为系数的一元二次方程anx?2an?1x?1?0都有实数根?,?,
2且满足(??1)(??1)?2.
(Ⅰ)求证:数列{an?}是等比数列;
13
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)求{an}的前n项和Sn.
21.(本小题满分12分)
已知点B(?1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足|PC|?|BC|?PB?CB. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)直线l过点(-4,43)且与动点P的轨迹交于不同两点M、N,直线OM、ON(O是坐标原点)的倾斜角分别为?、?.求???的值.
22.(本小题满分14分)
若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对于其定义域上的任意实数x分别满足f(x)?kx?b和
g(x)?kx?b,则称直线l:y?kx?b为曲线f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数h(x)?x2,?(x)?2elnx(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数F(x)?h(x)??(x)的极值;
(Ⅱ)函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线;若不存在,请说明理由.
参考答案
1. B 解析:|x?1|?2??1?x?3;x?6x?8?0?2?x?4, (CUA)?B=(2,3].选B. 2. C 解析:z??23i13i???,故选C.
223?3i3. D 解析:“若x?y,则sinx?siny”为真命题,∴其逆否命题为真命题.故选D.
4. C 解析:匀速沿直线前进,图象应为斜率为正的直线;休息的一段时间s应为常数,沿原路返回,图象应为斜率为负的直线;再前进,图象应为斜率为正的直线.故选C.
?0?a?111?5. A 解析:要使函数f(x)在(??,??)上是减函数,需满足?3a?1?0,解得?a?,故选A.
73?3a?1?4a?0?
6. B 解析:根据框图,空白框处函数一个满足f(?1)?1,故选B. 33?3?.故选D. 47. D 解析:底面边长为2,则侧棱长为1.三棱锥的外接球,即为棱长为1的正方体的外接球,设外接球的半径为R,则2R?1?1?1?2223,此球的表面积为S=4?R2?4??8. C 解析:4个选项逐一验证,可知应选C. 9. A解析:
S41?,得S4:(S8?S4)?1:2,?S4,(S8?S4),(S12?S8),(S16?S12)成等差数列,S83S81?23=?,故选A. S161?2?3?410x?S4:(S8?S4):(S12?S8):(S16?S12)?1:2:3:4,
13x10. A 解析:如图,由在同一个坐标系内y?()和y?log2图象可知,正实数a、b、c与d的大小关系应为,
b?a?d?c,②③成立.故选B.
11. A解析:D为BC边中点,?OB?OC?2OD,?2OA?OB?OC?0,
?????????OA?OD?0,即AO?OD,
故选A.
12. B 解析:设x1是x?f?g(x)?=0的实数根,即x1?f?g(x1)?,则有g(x1)?g?f?g(x1)??.令g(x1)?x2,
则x2?g?f(x2)?,?方程x?g?f(x)??0有实根,故选B. 13.
S13?3?? 解析: 如图 ,设阴影部分的面积为S1, 则所求的概率为 . S?AOB32322214. x?y?x?7y?192?0 解析:由题意,可把所求圆的方程设为
x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0,
即x2?y2?66?33?x?y?4?28??0,其圆心坐标为(?,?),代入x?y?4?0得1??1??1??1???33???4?0,解得???7,?所求圆的方程S是x2?y2?x?7y?192?0 1??1??PF1PIPF2PF1?PF22a55PIPI????. 解析:I是?PF1F2的内心,;.??F1DIDF2DID3IDF1D?F2D2c3215.
16. f(x)?|x?2x| 解析:若甲、乙、丁正确,丙不正确的一个函数可以是f(x)?|x?2x|;若乙、丙、丁正确,甲不正确可以是f(x)?x.答案不唯一,写出一个即可. 17.
解
:(
Ⅰ
)
根
据
图
象
,
22A?1.5,
-------------------------------------------------------------------------------------------1分
T?2?(5??2?2??)??,????2,---------------------------------------------------------------------------------------3分 63T??2?于是,f(x)?1.5sin(2x??),2????2k?,k?z, ??2k??,k?z,-----------------------------5分
332?2?.函数f(x)的解析式为f(x)?1.5sin(2x??|?|??,????).-------------------------------------------6分 33(Ⅱ)设点P(x,y)是函数g(x)图象上任意一点,点P关于直线x??4对称的点为P(x,y),------------------7分
'''x?x'?y?y'??,?1,x'??x,y'?2?y.-------------------------------------------------------------------------------9分 2422?2???P'(x',y')在函数f(x)的图象上,?2?y?1.5sin[2(?x)?],化简得y?1.5sin(2x?)?2.
233??函数g(x)的解析式为g(x)?1.5sin(2x?)?2.---------------------------------------------------------------------------12分
3
18.解:(Ⅰ)法一:ABCD?A1B1C1D1是长方体,?平面A1AB//平面CDD1C1,?A1B?平面A1AB,
A1B?平面CDD1C1,?直线A1B//平面CDD1C1.---------------------------------------------------------------------------3分
法二:连接CD1,ABCD?A1B1C1D1是长方体,?A1D1//AD//BC,且
A1D1?AD?BC,
?四边形
是平行四边形,A1BC1D?A1B//CD1.A1B?平面CDD1C1,CD1?平面CDD1C1,?直线A1B //平面CDD1C1.
----------------------------------------------------------------------------------------------------3分 (Ⅱ)设A1A?h,?几何体ABCD - A1C1D1的体积是
40. 3?VABCD?AC1D1?VABCD?A1B1C1D1?VB?A1B1C1?即2?2?h?40,------------------------------------------------------------------------------5分 31140,解得h?4.--------------------------------------------------------------------------7分 ??2?2?h?323(Ⅲ)法一:如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连OA1,OC1,OD,
? ABCD - A1B1C1D1是长方体,?A1D1?平面A1AB,
?A1B?平面A1AB,?A1D1?A1B.----------------------------------------------------8分
?OA1?11D1B.同理OD?OC1?D1B,?OA1?OD?OC1?OB. 22?经过A1、C1、B、D的球的球心为点O.---------------------------------------------------10分
?D1B2?A1D1?A1A2?AB2?22?42?22?24.
2?S球?4?(OD1)2?4??(D1B2)?24?.-------------------------------------------------------------------------------12分 2法二:A1、C1、B、D四点同时在长方体ABCD - A1B1C1D1的外接球上,而空间四边形A1C1BD的外接球是唯一的.所以经过A1、C1、B、D的球,就是长方体ABCD - A1B1C1D1的外接球.--------------------------------------------10分
设长方体外接球的半径为R,则2R?22?22?42?24.
?S球?4?R2?24?.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
19. 解:(Ⅰ)设第一小组的频率为x,则x?2x?3x?0.175?0.075?1,解得x?0.125. 第二小组的频数为10,得抽取顾客的总人数为
10?40人.------------------------------------------3分
2?0.125依题意,分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为
0.175?0.075?0.25,所以估计本次竞赛的优秀率为25%.----------------------------------------------------6分
(Ⅱ)落在(50.5,60.5)和(90.5,100.5)的学生数分别为0.125?40?5;0.075?40?3.-----------------7分 落在(50.5,60.5)的学生设为:Ai(i?1,2,3,4,5);落在(90.5,100.5)的学生设为:Bj(j?1,2,3), 则从这8人中任取两人的基本事件为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3), (B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共28个基本事件;
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 其中“成绩落在同一组”包括(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),
(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共包含13个基本事件,
故所求概率为
20. 解:(Ⅰ)由题意得:????13.----------------------------------------------12分 282an?11,????,代入(??1)(??1)?2整理得: anan111an?1???(an?),---------------------------------------------------------------------------------------------------4分
32311当an?1?an?时方程无实数根,∴an?,
331181由等比数列的定义知:{an?}是以a1??为首项,公比为?的等比数列.-----------------------6分
3332181(Ⅱ)由(1)知an???(?)n?1,
332 ∴an?811?(?)n?1?. -------------------------------------------------------------------------9分 3238111n(Ⅲ)Sn?[1?(?)?(?)2???(?)n?1]?
32223?
16161n??(?)n? . -------------------------------------------------------------------------12分 992321. 解:(Ⅰ)设P(x,y),则PC?(1?x,?y),BC?(2,0),PB?(?1?x,?y),CB?(?2,0),---------1分
?|PC|?|BC|?PB?CB,?(1?x)2?(?y)2?2?2?(1?x),----------------------------------------------------------------4分
化简得动点P的轨迹方程是:y?4x.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分
2
2(Ⅱ)由于直线l过点(-4,43),且与抛物线y?4x交于两个不同点,所以直线l的斜率一定存在,且不为0.
设l:y?43?k(x?4) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
?y?43?k(x?4)2,消去x得,ky?4y?(16k?163)?0, ?2y?4x???42?4k(16k?163)?0,
?2?32?3,且k?0. ?k?22y1?y2?4163.---------------------------------------------------------------------------------------------------------8分 ,y1y2?16?kky1y24416??tan??tan?3xx2yy24(y1?y2)ktan(???)??1?1???,
yy161?tan?tan?1?121?y1y2?16316316??16x1x2y1y2k-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分
?0??,???,?0?????2?,
所以????
?6或7?.--------------------------------------------------------------------------------------------------12分 62e2x2?2e?22. 解:(Ⅰ)F(x)?h(x)??(x)?x?2elnx,F(x)?2x?, xx2'------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1分
2x2?2eF(x)??0,解得x?e,x??e(舍)----------------------------------------------------2分
x'x F'(x) (0,e) _ 减 e 0 极小值 (e,??) + 增 F(x)
?当x?e时,F(x)取得极小值,F(x)极小值=F(e)?e?e?0--------------------------------------------5分
(Ⅱ)若函数h(x)和?(x)存在隔离直线l:y?kx?b,则h(x)?kx?b??(x),由(1)知?当x?e时,F(x)取得极小值0.?h(e)??(e)?e,点(e,e)在l:y?kx?b上.-------------------------------------------------6分
?y?e?k(x?e),?y?kx?e?ke,h(x)?kx?b,即x2?kx?e?ke?0在x?(??,??)上恒成立.
???k2?4(?e?ke)?(k?2e)2?0,?k?2e.---------------------------------------------------------8分
代入l:y?kx?e?ke得,l:y=2ex?2e.----------------------------------------------------------------------9分 即2ex?2e?2elnx在x?(0,??)上恒成立.即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立. kx?b??(x),
'令g(x)?2elnx?2ex?2e,g(x)?2e2e(e?x),易知当x?(0,e)时g(x)递增,当?2e?xxx?(e,??)时g(x)递减,当x?e时,g(x)在(0,??)取最大值,-----------------------------------------------11分
g(x)max?g(e)?e?2e?e?0,即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立.-----------------------13分
综上所述:函数h(x)和?(x)存在隔离直线y=2ex?2e.------------------------------------------------------14分
?y?e?k(x?e),?y?kx?e?ke,h(x)?kx?b,即x2?kx?e?ke?0在x?(??,??)上恒成立.
???k2?4(?e?ke)?(k?2e)2?0,?k?2e.---------------------------------------------------------8分
代入l:y?kx?e?ke得,l:y=2ex?2e.----------------------------------------------------------------------9分 即2ex?2e?2elnx在x?(0,??)上恒成立.即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立. kx?b??(x),
'令g(x)?2elnx?2ex?2e,g(x)?2e2e(e?x),易知当x?(0,e)时g(x)递增,当?2e?xxx?(e,??)时g(x)递减,当x?e时,g(x)在(0,??)取最大值,-----------------------------------------------11分
g(x)max?g(e)?e?2e?e?0,即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立.-----------------------13分
综上所述:函数h(x)和?(x)存在隔离直线y=2ex?2e.------------------------------------------------------14分
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