2013年高考数学模拟试题（文科）及答案

凹凸教育高考文科数学模拟题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U?R,且A?x|x?1?2,B?x|x?6x?8?0,则(CUA)?B等于

（A）[?1,4) （B）(2,3] （C）(2,3) （D）(?1,4)

???2?2．已知(3?3i)?z??23i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

3．下列有关命题的说法正确的是

（A）命题“若x2?1，则x?1”的否命题为：“若x2?1，则x?1”． （B）“x??1”是“x2?5x?6?0”的必要不充分条件．

（C）命题“?x?R，使得x2?x?1?0”的否定是：“?x?R， 均有x2?x?1?0”． （D）命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题．

4．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b?a)，再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是

（A） （B） （C） （D）

?(3a?1)x?4a,x?15．已知f(x)?? 是(??,??)上的减函数，那么 a 的取值范围是

logx,x?1?a（A）?,? （B）（0，

?11??73?1?1?） （C）（0，1） （D）?,1? 3?7?

6．如图是一个算法程序框图，当输入的x值为3时，输出的结果恰好是 （A）y?3 （B）y?3 （C） y?x

7．底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在

同一球面上，则此球的表面积为

（A）4?

（B）4?

3

（C）2?

（D） 3?

?xx1，则空白框处的关系式可以是 313?13 （D） y?x

8．若x?(0,2?]，则使cosx?sinx?tanx?cotx成立的x取值范围是 （A）（

??4,2） （B）（

35（?,?） ?,?） （C）

44（D）（?,2?）

749. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

SS41?，则8等于 S83S16

（C）

（A）

3 10 （B）

1 31 9 （D）

1 810．已知函数f(x)?()x?log2x，正实数a、b、c满足f(c)?0?f(a)?f(b)，若实数d是函数f(x)的一个零点，那么下列四个判断：

①d?a；②d?b；③d?c；④d?c． 其中可能成立的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA?OB?OC?0，那么

13????????????????????????????????（A） AO?OD （B） AO?2OD （C） AO?3OD （D） 2AO?OD

12．函数f(x)、g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x?f?g(x)?=0有实根，则函数g?f(x)?的解析式可能是

（A）x?4x?3 （B）x?4x?5 （C） x?2x?3 （D）x?3x?5

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

2222

?x?3y?4?0?22x?013.若在区域?内任取一点P ，则点P 落在单位圆x?y?1内的概率为 ． ?y?0?14. 过圆x?y?6x?4?0与x?y?6y?28?0的交点,并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程是 .

2222x2y215.设F1,F2是椭圆，I是?PF1F2的内心，??1的两个焦点，P是椭圆上的动点（不能重合于长轴的两端点）

2516直线PI交x轴于点D，则

PI? . ID16．老师给出一个函数y?f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x?R，都有

f(1?x)?f(1?x)；乙：在???,0?上函数递减；丙：在?0,???上函数递增；丁：函数的最小值为０.如果其中恰有

三人说得正确，请写出一个这样的函数 .

三．解答题：本大题共6小题，共74分.

17．（本小题满分12分）

函数f(x)?Asin(?x??),A?0,??0,|?|??的图象的一部分如图 （Ⅰ）求函数f(x)的解析式 ；

（Ⅱ）求函数g(x)的解析式，使得函数f(x)与g(x)的图象关于(

18．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，过A1, C1 , B三点的平面截

?4,1)对称.

去长方体的一个角后得到几何体ABCD?A1C1D1，且这个几何体的体积为

（Ⅰ）证明：直线A1B // CDD1C1； （Ⅱ）求 A1 A的长；

（Ⅲ）求经过A1、C1、B、D四点的球的表面积.

19．（本小题满分12分）

某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.

（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；

（Ⅱ）从成绩落在（50.5,60.5)和(90.5,100.5)的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.

20．（本小题满分12分）

40. 3*a1?3，已知数列{an}中，对于n?N，以an,an?1为系数的一元二次方程anx?2an?1x?1?0都有实数根?，?，

2且满足(??1)(??1)?2.

（Ⅰ）求证：数列{an?}是等比数列；

13

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）求{an}的前n项和Sn.

21．（本小题满分12分）

已知点B(?1,0),C(1,0)，P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB. （Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l过点（-4，43）且与动点P的轨迹交于不同两点M、N，直线OM、ON（O是坐标原点）的倾斜角分别为?、?.求???的值.

22．（本小题满分14分）

若存在实常数k和b，使函数f(x)和g(x)对于其定义域上的任意实数x分别满足f(x)?kx?b和

g(x)?kx?b，则称直线l:y?kx?b为曲线f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数h(x)?x2，?(x)?2elnx（e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数F(x)?h(x)??(x)的极值；

（Ⅱ）函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线；若不存在，请说明理由.

参考答案

1. B 解析：|x?1|?2??1?x?3；x?6x?8?0?2?x?4， (CUA)?B=(2,3].选B. 2. C 解析：z??23i13i???，故选C.

223?3i3. D 解析：“若x?y，则sinx?siny”为真命题，∴其逆否命题为真命题.故选D.

4. C 解析：匀速沿直线前进，图象应为斜率为正的直线；休息的一段时间s应为常数，沿原路返回，图象应为斜率为负的直线；再前进，图象应为斜率为正的直线.故选C.

?0?a?111?5. A 解析：要使函数f(x)在(??,??)上是减函数，需满足?3a?1?0，解得?a?，故选A.

73?3a?1?4a?0?

6. B 解析：根据框图，空白框处函数一个满足f(?1)?1，故选B. 33?3?.故选D. 47. D 解析：底面边长为2，则侧棱长为1.三棱锥的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R?1?1?1?2223，此球的表面积为S=4?R2?4??8. C 解析：4个选项逐一验证，可知应选C. 9. A解析：

S41?，得S4:(S8?S4)?1:2,?S4,(S8?S4),(S12?S8),(S16?S12)成等差数列，S83S81?23=?，故选A. S161?2?3?410x?S4:(S8?S4):(S12?S8):(S16?S12)?1:2:3:4，

13x10. A 解析：如图，由在同一个坐标系内y?()和y?log2图象可知，正实数a、b、c与d的大小关系应为，

b?a?d?c，②③成立.故选B.

11. A解析：D为BC边中点,?OB?OC?2OD，?2OA?OB?OC?0，

?????????OA?OD?0,即AO?OD，

故选A.

12. B 解析：设x1是x?f?g(x)?=0的实数根，即x1?f?g(x1)?，则有g(x1)?g?f?g(x1)??.令g(x1)?x2，

则x2?g?f(x2)?，?方程x?g?f(x)??0有实根，故选B. 13.

S13?3?? 解析： 如图 ，设阴影部分的面积为S1, 则所求的概率为 ． S?AOB32322214. x?y?x?7y?192?0 解析：由题意，可把所求圆的方程设为

x2?y2?6x?4??（x2?y2?6y?28）?0，

即x2?y2?66?33?x?y?4?28??0，其圆心坐标为(?，?)，代入x?y?4?0得1??1??1??1???33???4?0，解得???7，?所求圆的方程S是x2?y2?x?7y?192?0 1??1??PF1PIPF2PF1?PF22a55PIPI????. 解析：I是?PF1F2的内心，;.??F1DIDF2DID3IDF1D?F2D2c3215.

16. f(x)?|x?2x| 解析：若甲、乙、丁正确，丙不正确的一个函数可以是f(x)?|x?2x|；若乙、丙、丁正确，甲不正确可以是f(x)?x.答案不唯一，写出一个即可. 17.

解

：（

Ⅰ

）

根

据

图

象

，

22A?1.5,

-------------------------------------------------------------------------------------------1分

T?2?(5??2?2??)??,????2,---------------------------------------------------------------------------------------3分 63T??2?于是，f(x)?1.5sin(2x??)，2????2k?,k?z， ??2k??,k?z，-----------------------------5分

332?2?.函数f(x)的解析式为f(x)?1.5sin(2x??|?|??，????).-------------------------------------------6分 33（Ⅱ）设点P(x,y)是函数g(x)图象上任意一点，点P关于直线x??4对称的点为P(x,y)，------------------7分

'''x?x'?y?y'??,?1，x'??x,y'?2?y.-------------------------------------------------------------------------------9分 2422?2???P'(x',y')在函数f(x)的图象上，?2?y?1.5sin[2(?x)?]，化简得y?1.5sin(2x?)?2.

233??函数g(x)的解析式为g(x)?1.5sin(2x?)?2.---------------------------------------------------------------------------12分

3

18．解：（Ⅰ）法一：ABCD?A1B1C1D1是长方体，?平面A1AB//平面CDD1C1,?A1B?平面A1AB，

A1B?平面CDD1C1,?直线A1B//平面CDD1C1.---------------------------------------------------------------------------3分

法二：连接CD1,ABCD?A1B1C1D1是长方体，?A1D1//AD//BC,且

A1D1?AD?BC,

?四边形

是平行四边形，A1BC1D?A1B//CD1.A1B?平面CDD1C1,CD1?平面CDD1C1,?直线A1B //平面CDD1C1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）设A1A?h,?几何体ABCD - A1C1D1的体积是

40. 3?VABCD?AC1D1?VABCD?A1B1C1D1?VB?A1B1C1?即2?2?h?40,------------------------------------------------------------------------------5分 31140，解得h?4.--------------------------------------------------------------------------7分 ??2?2?h?323（Ⅲ）法一：如图，连接D1B,设D1B的中点为O,连OA1,OC1,OD,

? ABCD - A1B1C1D1是长方体,?A1D1?平面A1AB,

?A1B?平面A1AB,?A1D1?A1B.----------------------------------------------------8分

?OA1?11D1B.同理OD?OC1?D1B,?OA1?OD?OC1?OB. 22?经过A1、C1、B、D的球的球心为点O.---------------------------------------------------10分

?D1B2?A1D1?A1A2?AB2?22?42?22?24.

2?S球?4?(OD1)2?4??(D1B2)?24?.-------------------------------------------------------------------------------12分 2法二：A1、C1、B、D四点同时在长方体ABCD - A1B1C1D1的外接球上，而空间四边形A1C1BD的外接球是唯一的.所以经过A1、C1、B、D的球，就是长方体ABCD - A1B1C1D1的外接球.--------------------------------------------10分

设长方体外接球的半径为R，则2R?22?22?42?24.

?S球?4?R2?24?.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

19. 解：（Ⅰ）设第一小组的频率为x，则x?2x?3x?0.175?0.075?1，解得x?0.125. 第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为

10?40人.------------------------------------------3分

2?0.125依题意,分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为

0.175?0.075?0.25，所以估计本次竞赛的优秀率为25%.----------------------------------------------------6分

（Ⅱ）落在（50.5,60.5)和(90.5,100.5)的学生数分别为0.125?40?5；0.075?40?3.-----------------7分 落在（50.5,60.5)的学生设为：Ai(i?1,2,3,4,5)；落在(90.5,100.5)的学生设为：Bj(j?1,2,3)， 则从这8人中任取两人的基本事件为：(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3), (B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共28个基本事件；

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 其中“成绩落在同一组”包括(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),

(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共包含13个基本事件，

故所求概率为

20. 解：（Ⅰ）由题意得：????13.----------------------------------------------12分 282an?11，????，代入(??1)(??1)?2整理得： anan111an?1???(an?)，---------------------------------------------------------------------------------------------------4分

32311当an?1?an?时方程无实数根，∴an?，

331181由等比数列的定义知：{an?}是以a1??为首项，公比为?的等比数列.-----------------------6分

3332181（Ⅱ）由（1）知an???(?)n?1，

332 ∴an?811?(?)n?1?. -------------------------------------------------------------------------9分 3238111n（Ⅲ）Sn?[1?(?)?(?)2???(?)n?1]?

32223?

16161n??(?)n? . -------------------------------------------------------------------------12分 992321. 解：（Ⅰ）设P(x,y)，则PC?(1?x,?y)，BC?(2,0)，PB?(?1?x,?y)，CB?(?2,0)，---------1分

?|PC|?|BC|?PB?CB，?(1?x)2?(?y)2?2?2?(1?x)，----------------------------------------------------------------4分

化简得动点P的轨迹方程是：y?4x.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分

2

2（Ⅱ）由于直线l过点（-4，43），且与抛物线y?4x交于两个不同点，所以直线l的斜率一定存在，且不为0.

设l:y?43?k(x?4) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分

?y?43?k(x?4)2，消去x得，ky?4y?(16k?163)?0， ?2y?4x???42?4k(16k?163)?0，

?2?32?3，且k?0. ?k?22y1?y2?4163.---------------------------------------------------------------------------------------------------------8分 ,y1y2?16?kky1y24416??tan??tan?3xx2yy24(y1?y2)ktan(???)??1?1???，

yy161?tan?tan?1?121?y1y2?16316316??16x1x2y1y2k-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分

?0??，???,?0?????2?,

所以????

?6或7?.--------------------------------------------------------------------------------------------------12分 62e2x2?2e?22. 解：（Ⅰ）F(x)?h(x)??(x)?x?2elnx，F(x)?2x?， xx2'------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1分

2x2?2eF(x)??0，解得x?e，x??e（舍）----------------------------------------------------2分

x'x F'(x) (0,e) _ 减 e 0 极小值 (e,??) + 增 F(x)

?当x?e时，F(x)取得极小值，F(x)极小值=F(e)?e?e?0--------------------------------------------5分

（Ⅱ）若函数h(x)和?(x)存在隔离直线l:y?kx?b，则h(x)?kx?b??(x)，由（1）知?当x?e时，F(x)取得极小值0.?h(e)??(e)?e，点(e,e)在l:y?kx?b上.-------------------------------------------------6分

?y?e?k(x?e),?y?kx?e?ke，h(x)?kx?b，即x2?kx?e?ke?0在x?(??,??)上恒成立.

???k2?4(?e?ke)?(k?2e)2?0，?k?2e.---------------------------------------------------------8分

代入l:y?kx?e?ke得，l:y=2ex?2e.----------------------------------------------------------------------9分 即2ex?2e?2elnx在x?(0,??)上恒成立.即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立. kx?b??(x)，

'令g(x)?2elnx?2ex?2e，g(x)?2e2e(e?x)，易知当x?(0,e)时g(x)递增，当?2e?xxx?(e,??)时g(x)递减，当x?e时，g(x)在(0,??)取最大值,-----------------------------------------------11分

g(x)max?g(e)?e?2e?e?0，即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立.-----------------------13分

综上所述：函数h(x)和?(x)存在隔离直线y=2ex?2e.------------------------------------------------------14分

?y?e?k(x?e),?y?kx?e?ke，h(x)?kx?b，即x2?kx?e?ke?0在x?(??,??)上恒成立.

???k2?4(?e?ke)?(k?2e)2?0，?k?2e.---------------------------------------------------------8分

代入l:y?kx?e?ke得，l:y=2ex?2e.----------------------------------------------------------------------9分 即2ex?2e?2elnx在x?(0,??)上恒成立.即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立. kx?b??(x)，

'令g(x)?2elnx?2ex?2e，g(x)?2e2e(e?x)，易知当x?(0,e)时g(x)递增，当?2e?xxx?(e,??)时g(x)递减，当x?e时，g(x)在(0,??)取最大值,-----------------------------------------------11分

g(x)max?g(e)?e?2e?e?0，即2elnx?2ex?2e?0在x?(0,??)上恒成立.-----------------------13分

综上所述：函数h(x)和?(x)存在隔离直线y=2ex?2e.------------------------------------------------------14分

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