江苏省盐城市2015年中考数学试题（word版，含解析） - 图文

2015年江苏省盐城市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．

的倒数为（ ）

B． ﹣

C．

D．2

A．﹣2

考点： 倒数． 分析： 根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答． 解答： 解：∵∴的倒数为2，

故选：D． 点评： 本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．

2．如图四个图形中，是中心对称图形的为（ ）

，

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形． 分析： 根据中心对称图形的概念求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C、是中心对称图形．故正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选：C． 点评： 本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．下列运算正确的是（ ）

A． a?b=（ab） B． a?a=a C． a÷a=a D．（a）=a 考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题．

分析： A、原式利用积的乘方运算法则变形得到结果，即可做出判断； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断． 解答： 解：A、原式=（ab），正确；

5

B、原式=a，错误；

3

3

3

3

2

3

6

6

3

2

2

3

5

C、原式=a，错误；

6

D、原式=a，错误， 故选A． 点评： 此题考查了同底数幂的乘法，除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．在如图四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为（ ）

3

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图． 分析： 分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是圆的几何体． 解答： 解：圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆； 圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是圆环；

圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆． 故选D 点评： 本题考查了三视图，关键是根据学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力的培养．

5．下列事件中，是必然事件的为（ ） A． 3天内会下雨

B． 打开电视机，正在播放广告

C． 367人中至少有2人公历生日相同

D． 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩 考点： 随机事件． 分析： 根据随机事件和必然事件的定义分别进行判断．

解答： 解：A、3天内会下雨为随机事件，所以A选项错误； B、打开电视机，正在播放广告，所以B选项错误；

C、367人中至少有2人公历生日相同是必然事件，所以C选项正确；

D、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机事件，所以D选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，

6．一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A． 85°

B． 75°

C． 60°

D．45°

考点： 平行线的性质． 分析： 首先根据∠1=60°，判断出∠3=∠1=60°，进而求出∠4的度数；然后对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2=∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可．

解答： 解：如图1，，

∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠4=90°﹣60°=30°， ∵∠5=∠4， ∴∠5=30°，

∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°． 故选：B． 点评： 此题主要考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

7．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ） A． 12 B． 9 C． 12或9 D．9或7 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可． 解答： 解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5， ∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立， 当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12． 故选：A． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象． 分析： 根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象． 解答： 解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；

当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 故选：B． 点评： 本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9．若二次根式

有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．

考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 解答： 解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1．

故答案为：x≥1． 点评： 此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．

10．因式分解：a﹣2a= a（a﹣2） ．

考点： 因式分解-提公因式法． 专题： 因式分解． 分析： 先确定公因式是a，然后提取公因式即可．

2

解答： 解：a﹣2a=a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． 点评： 本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．

11．（2015?盐城）火星与地球的距离约为56 000 000千米，这个数据用科学记数法表示为 5.6×10 千米． 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 7

2

7解答： 解：将56 000 000用科学记数法表示为5.6×10． 7故答案为：5.6×10． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（2015?盐城）一组数据8，7，8，6，6，8的众数是 8 ． 考点： 众数． 分析： 根据众数的定义求解即可． 解答： 解：数据8出现了3次，出现次数最多，所以此数据的众数为8． 故答案为8． 点评： 本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数． 13．（2015?盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 DC=BC或∠DAC=∠BAC ．

考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．

解答： 解：添加条件为DC=BC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）； 若添加条件为∠DAC=∠BAC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC 点评： 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 14．（2015?盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 5 ．

考点： 三角形中位线定理． 分析： 由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长． 解答： 解：如上图所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AC， 同理有EF=AB，DF=BC， ∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5． 故答案为5． 点评： 本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 15．（2015?盐城）若2m﹣n=4，则代数式10+4m﹣2n的值为 18 ． 考点： 代数式求值． 2222分析： 观察发现4m﹣2n是2m﹣n的2倍，进而可得4m﹣2n=8，然后再求代数式10+4m﹣2n的值． 2解答： 解：∵2m﹣n=4， 2∴4m﹣2n=8， 2∴10+4m﹣2n=18， 故答案为：18． 点评： 此题主要考查了求代数式的值，关键是找出代数式之间的关系． 16．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．

2

2

考点： 点与圆的位置关系． 分析： 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 解答： 解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 则BD==5． 由图可知3＜r＜5． 故答案为：3＜r＜5． 点评： 此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 17．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则

的长度为

．

考点： 弧长的计算；含30度角的直角三角形． 分析： 连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，根据弧长公式求出的长度． 解答： 解：连接AE， 在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2， ∴∠DEA=30°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEA=30°， ∴的长度为：． =， 故答案为： 点评： 本题考查的是弧长的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和弧长公式是解题的关键． 18．（2015?盐城）设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为

．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 规律型．

分析： 连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1=S△ABE1=n+1：2n+1，最后根据S△ABM：

，再根据

=

=

得出S△ABM：

=n+1：2n+1，即可求出S△ABM．

解答： 解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M， ∵AE1：AC=1：n+1，

∴S△ABE1：S△ABC=1：n+1， ∴S△ABE1=∵∴

==

， =，

，

∴S△ABM：S△ABE1=n+1：2n+1， ∴S△ABM：∴S△ABM=故答案为：

=n+1：2n+1， ． ．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）

19．（8分）（2015?盐城）（1）计算：|﹣1|﹣（（2）解不等式：3（x﹣）＜x+4．

）+2cos60°

0

考点： 实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值．

分析： （1）利用绝对值的求法、0指数幂及锐角三角函数的知识代入求解即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1后即可求得不等式的解集． 解答： 解：（1）原式=1﹣1+2×=1；

（2）原不等式可化为3x﹣2＜x+4， ∴3x﹣x＜4+2， ∴2x＜6， ∴x＜3． 点评： 本题考查了实数的运算、零指数幂、解一元一次不等式的知识，解题的关键是了解不等式的性质等，难度不大．

20．（8分）（2015?盐城）先化简，再求值：（1+

）÷

，其中a=4．

考点： 分式的化简求值． 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 解答： 解：原式=

?

==

，

?

当a=4时，原式==4．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 21．（8分）（2015?盐城）2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动．为了解初中学生对二战历史的知晓情况，某初中课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成尚未完成的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）：

（1）在这次抽样调查中，一共抽查了 200 名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整；

（3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为 36 °；

（4）如果这所学校共有初中学生1500名，请你估算该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）由图①知A类人数30，由图②知A类人数占15%，即可求出样本容量；

（2）由（1）可知抽查的人数，根据图②知C类人数占30%，求出C类人数，即可将条形统计图补充完整；

（3）求出D类的百分数，即可求出圆心角的度数；

（4）求出B类所占的百分数，可知A、B类共占的百分数，用样本估计总体的思想计算即可． 解答： 解：（1）30÷15%=200，故答案为：200； （2）200×30%=60，

如图所示，

（3）20÷200=0.1=10%，360°×10%=36°， 故答案为：36；

（4）B类所占的百分数为：90÷200=45%，

该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共占15%+45%=60%； 故这所学校共有初中学生1500名，该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有：1500×60%=900（名）． 点评： 此题考查了扇形统计图和频数（率）分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息． 22．（8分）（2015?盐城）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．

（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

（2）求点P在一次函数y=x+1图象上的概率．

考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）画出树状图，根据图形求出点P所有可能的坐标即可；

（2）只有（1，2），（﹣2，﹣1）这两点在一次函数y=x+1图象上，于是得到P（点P在一次函数y=x+1的图象

上）

==．

解答： 解：（1）画树状图如图所示： ∴点P所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，0），（1，2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，2）；

（2）∵只有（1，2），（﹣2，﹣1）这两点在一次函数y=x+1图象上， ∴P（点P在一次函数y=x+1的图象上）==．

点评： 本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键． 23．（10分）（2015?盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA． （1）求∠DOA的度数；

（2）求证：直线ED与⊙O相切．

考点： 切线的判定．

分析： （1）根据圆周角定理即可得到结论；

（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论． 解答： （1）解；∵∠DBA=50°， ∴∠DOA=2∠DBA=100°，

（2）证明：连接OE． 在△EAO与△EDO中，∴△EAO≌△EDO， ∴∠EDO=∠EAO， ∵∠BAC=90°， ∴∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切．

，

点评： 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，连接OE构造全等三角形是解题的关键．

24．（10分）（2015?盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A． （1）求点A的坐标；

（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC=OA，求△OBC的面积．

考点： 两条直线相交或平行问题；勾股定理．

分析： （1）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标；

（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：（1）∵由题意得，

，解得

，

∴A（4，3）；

（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得， OA=

=

=5．

∴BC=OA=×5=7． ∵P（a，0），

∴B（a，a），C（a，﹣a+7）， ∴BC=a﹣（﹣a+7）=a﹣7， ∴a﹣7=7，解得a=8， ∴S△OBC=BC?OP=×7×8=28．

点评： 本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键． 25．（10分）（2015?盐城）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73） （1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．

考点： 解直角三角形的应用．

分析： （1）在Rt△ABE中，由tan60°=

=

，即可求出AB=10?tan60°=17.3米；

（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳． 解答： 解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中， ∵tan60°=

=

，

∴AB=10?tan60°=10≈10×1.73=17.3米． 即楼房的高度约为17.3米；

（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：

假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H． ∵∠BFA=45°， ∴tan45°=

=1，

此时的影长AF=AB=17.3米，

∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17.2=0.1米， ∴CH=CF=0.1米，

∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上， ∴小猫仍可以晒到太阳．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 26．（10分）（2015?盐城）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4． （1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=6，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证；

（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题． 解答： 解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G， ∵PE=PF， ∴FG=EG=EF=

，∠FPG=

=

=

，

，

在△FPG中，sin∠FPG=

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，DC=BC， 在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC， ∴∠DAC=∠BAC， ∴PM=PN，

在Rt△PME于Rt△PNF中，

，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AP?cos30°=3AN=3，

∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；

（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值， 当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值， 设AC与EF交于点O， ∵PE=PF， ∴OF=EF=2

，

，同理

∵∠FPA=60°， ∴OP=2，

∵∠BAD=60°， ∴∠FAO=30°， ∴AO=6，

∴AP=AO+PO=8，

同理AP′=AO﹣OP=4，

∴AP的最大值是8，最小值是4．

点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 27．（12分）（2015?盐城）知识迁移

22

我们知道，函数y=a（x﹣m）+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=

+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反

比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）． 理解应用 函数y=

+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，

其对称中心坐标为 （1，1） ． 灵活应用

如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=

的图象画出函数y=

﹣2的图象，并根

据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ 实际应用

某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=

；若在x=t（t≥4）时进行

第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=

，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次

复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？

考点： 反比例函数综合题．

分析： 理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案： 灵活应用：根据平移规律作出图象；

实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．

解答： 解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=

+1的图象可由函数y=的图象向右平

移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）． 故答案是：1，1，（1，1） 灵活应用：将y=

的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=

﹣

2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示： 由y=﹣1，得

﹣2=﹣1，

解得x=﹣2．

由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1 实际应用： 解：当x=t时，y1=则由y1=

，

=，解得：t=4，

即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点（4，1）在函数y2=则1=∴y2=当y2=

，解得：a=﹣4， ，

=，解得：x=12，

的图象上，

即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．

点评： 本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值； （3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答； （3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT． 解答： 解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M． ∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得

，

解得

．

故直线AB的解析式为y=x+2；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m），则C（m，m+2）． ∴QC=m+2﹣m=﹣（m﹣）+， QD=

QC=

[﹣（m﹣）+]．

；

2

2

2

2

QC．

故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为

（3）∵∠APT=45°，

∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．

①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°． ∵Q′（﹣2，4），F（0，4），

∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形． （i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1； （ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．

②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；

先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．

则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．

2

设Q″（n，n）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 22242

n+（4﹣n0=2，即n﹣7n+12=0．

22

解得n=3或n=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）． 可证△PFQ″为等边三角形，

所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″， 所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．

则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E． 则ET=AE=，OE=1， 所以OT=﹣1， 解得t=1﹣；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G． 设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=， ∴a+a=，

解得PT=a=﹣1， ∴OT=OP﹣PT=3﹣， ∴t=3﹣．

综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣

或t=3﹣．

点评： 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大．另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．

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