2009年初中数学课程简报 - 第八期 - 图文

2009年山东省初中教师新课程远程研修

数 学 课 程 简 报

第八期

2009年8月4日（星期二）

编：马 复 编 委：马 复 颜 峰 褚爱华 云 鹏 陈 杰 姜仲平 孟伯谨 毕文卿 吕学江 张全红 邱 军 汤华财 刘家华 张宝军 主 编：颜 峰 褚爱华 执行责编：陈 杰 张全红 毕文卿 专家引领

关于课题学习

马 复

1．义务教育数学课程标准为什么增设“实践与综合运用”学习领域

我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此《基础教育课程改革纲要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为

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必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。

同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域。具体地，《义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。当然随着学段的变化，侧重点有所不同，初中阶段则侧重于在实践基础上的“课题学习”，让学生通过一些具有挑战性的研究课题，获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。

2．教材中设计“课题学习”的必要性

课程标准中明确提出了加强数学的应用教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动，培养学生的研究能力。现行实验教材的编写和日常教学的开展中已较好的体现了这一点，在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中，也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、注重了学生研究性学习方式的养成。因此，有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”，可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动，增强其实践性即可。为此，有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加以说明。

固然，在日常教学中，已经注重了学生研究性学习方式的养成，但“课题学习”更具深刻性。具体地，“课题学习”具有如下特点：

（1）课题学习的目标并非新知识的习得，而是旧知识的综合应用，教学中更为关注学生在问题解决中的亲身体验，因而目标更具过程性。

（2）课题学习解决的是未经加工的原始问题，因而背景更具现实性、问题更具挑战性。

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（3）课题学习问题的解决，需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识，因而内容更具综合性。

（4）有时课题学习只是给出了一个原始的问题，并未规定解决问题的手段，甚至只是规定了一个大的方向，问题本身的提出和解决都由学生自己选择。例如“吸烟和被动吸烟都有害健康，你所在地区大约有多少人吸烟，有多少人被动吸烟，吸烟对人有哪些危害，吸烟浪费多少物质资源……选择某个感兴趣的主题开展调查，并撰写实验报告，在全班交流”。在这一问题中，调查主题及方式都由学生自己选择。因而学生的学习更具自主性、选择性，学习结论更具开放性。

因此，在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题，展开专题研究，有利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相对缺乏、意识比较薄弱的情况下，在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题，显得尤为必要。

3．课题学习的形式

课题学习的开展形式是多样化的，如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等。因此教学中教师不必局限于教科书上的课题学习，可以根据学生状况选择更多的主题开展课题研究工作。

4．课题学习素材选取的原则

开展“实践与综合应用”活动，必然以某个素材为载体。那么，“实践与综合应用”的素材如何选择呢？笔者认为，实践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则。

“实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观[2]。因此，选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学生生活实际和认知实际的现实问题，加强数学学习与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生学习的主动性和数学应用的意识，同时，也有助于学生对数学知识本体的掌握。此外，具有现实背景的“实践与综合应用”题材，更容易体现课程的人文精神和德育价值。如“调查学生一天丢弃的纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”，可增强学生的环保意识；“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育。

加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是这一部分学习

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活动的另一个重要目标[2]。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合。例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”，它本身是一个几何背景问题，在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中，学生势必应用到许多“空间与图形”的知识；而在长方体体积的表示过程中，又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识；初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法，因此，学生还难以数学地回答“什么情况下，长方体的体积较大”这一问题，只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决，在这一过程中，又会运用到一定的统计知识，因此，可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然，这里的综合应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系；而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例。

当然，在体现题材的实践性和综合性的基础上，素材选择时还应关注问题的数学性，力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维。特别是，在初中阶段，学生已经具备了初步的抽象思维的能力，进行一定的数学拓展已经成为可能。

案例：猜想、证明与拓广 本案例依次提出下列问题：

任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？

在这些问题的解决过程中，学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，从而增强学生问题意识和自主性，使学生获得一定的探索和发现的体验。

此外，在素材选取时，还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。

5．课题学习素材选取的主体

这些素材又由谁来选取呢？应该说，在现阶段，一线教师和学生对于“实践与

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综合应用”尚处于实验探索阶段，对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力，因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用，是十分必要的。但应该明确，我国幅员辽阔，地区、学校、学生之间的差异性较大，因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际。为此，一方面，教材编制时也可就同类题材编制多个“实践与综合应用”，以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用；另一方面，随着教材实验的进一步推广，教师和学生“实践与综合应用”活动经验的不断丰富，应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。在这样的素材选取过程，实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识，发展了学生发现问题和探究问题的能力。

6．课题学习的学习形式

可以通过课堂学习方式完成，也可以通过作业形式，要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和研究活动，可以让学生组成合作小组，在课后完成，然后到课堂上进行班组汇报、总结。

不管采用哪种方式展开课题学习的教学，在教学过程中都应力图激发学生的主体精神，发挥学生的主体作用。实际上，课题学习的教学过程，应是一个师生一起学习的过程，它为学生主体作用的发挥提供了较大的空间。具体的，课题学习的主题、学习的方法、问题的发现、问题解决的深度、广度等都可以由学生自主控制和完成。学习中不同的学生可能发现并解决不同的问题，对问题的解决方式也是各式各样，问题的结果也是多样的，提出的新的研究问题也千变万化，因而在这样的过程，学生的主体作用得到尽情的发挥，学生将得到各自应有的发展，真正实现不同的学生得到不同的发展 。

7．采用课内学习的方式的一些参考建议

选择课内学习的方式展开课题学习活动时，应注意以探索为活动主线，并在探索过程中发挥学生的主体性，在活动的选择与确定、探索与实践活动的展开等过程中加强学生的自主性，从而真正地让学生经历自主的问题解决和研究过程，获得一定的“微科研”的研究经验。为此，在具体教学时，应给予学生较为充分的时间与空间，同时增大问题设置的梯度，保证学生较大的探索余地和思考空间。

案例：《平面的镶嵌》

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教学课堂教学的流程可以大致如下：课前师生收集镶嵌图案——课堂展示交流有关镶嵌图案——明晰概念（镶嵌）——对所展示图片观察的基础上提出一些有待研究的问题——对学生所提出问题进行适当的归类并进一步引导以展开后续的课堂教学。

学生所提出的问题必将是十分丰富的，同时也可能是十分繁杂的。因此，教师课前应认真分析有关问题，根据学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系对后续问题的研究进行一个整体的规划，这样才能及时对学生所提出的问题有一个比较好的评判（如对这个问题的研究价值、研究方法、研究难度等作出比较恰当的评判，从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究，按照什么顺序进行研究等），从而保证课堂教学的有序而高效地进行。固然，教学中可以有多样的选择，下面仅提出一些建议供参考。

总体而言，教学中应认真分析问题的繁简和难易程度，一般遵循先易后难、先简后繁的顺序展开教学活动。因此，建议首先研究较为简单的单个多边形的镶嵌问题，再研究复杂的多个多边形的组合镶嵌问题。

对于单个多边形的镶嵌问题，基于学生的水平和课程标准的要求，这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。

对于三角形、正六边形以及一些特殊的四边形（如正方形、长方形、平行四边形）的镶嵌问题，学生应该都比较熟悉，因此，教学中，教师可以根据课堂教学状况灵活选择不同的教学顺序。如可以在收集、观察的基础上发现正方形、正六边形等平面图形都可以镶嵌整个平面，然后思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面，再从特殊到一般进一步研究一般的多边形（三角形、四边形）的镶嵌问题；也可以在明晰了镶嵌概念之后，直接要求学生想象哪些多边形能够镶嵌平面，并进行具体的纸上描画或者进行实际的拼接（当然，这里就未必有一个确定的教学顺序了，根据课堂学生的状况可能有不同的教学顺序）。显然，对于前一种处理方式，课堂教学的逻辑顺序更为明显，教学易于操控；而对于后一种处理方式，给学生和教师都留下了比较大的空间，教学将更为开放，课堂更具生成性，但同时也不可避免具有一定的不可操控性，对教师自身素质提出了更高的要求。

一般四边形的镶嵌问题，是这堂课的教学难点。如何突破，这是摆在老师们面前的一个课题。这里可以有多种方式：如，考虑到该镶嵌图案的探究对学生而言确实有难度，可以在学生一定的拼接活动的基础上“告诉”，或者借助现实生活中

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一些具体图形（如一些道路护坡的图片）直接“告诉”；也可以引导学生关注三角形、平行四边形等不同的镶嵌图案之间的关系以及同一个镶嵌图案中各个多边形之间的变换关系，然后通过适当的变式揭示四边形的镶嵌问题（见参考案例）。在获得一般四边形的镶嵌图案（如甲图）之后，可能学生还有一些疑问，如四边形所构成的图案是“凹凸不平”的，如何铺满整个平面？为此，可以通过具体的拼接活动让学生获得进一步的直观感受；或者分析共顶点的四个四边形组成的“基本图案”（如乙图），发现将“基本图案”中的两个三角形剪切后平移即可得到一个平行四边形（如丙图），而平行四边形是可以镶嵌整个平面的，因此，这里“基本图案”的镶嵌相当于将平行四边形中剪切了部分移入另一个临近的平行四边形中。这样，不仅关注了什么图形能够镶嵌，而且关注了镶嵌图形的形成过程，可以为镶嵌图形的设计提供一些参考。

（甲） （乙） （丙）

对于多个多边形的组合镶嵌，教学中更多的是一种展示和设计活动，希望通过活动使学生获得一定的数学活动经验和解决问题的体验，而并不希冀获得一般的结论，因此这里不要提出更高的要求。

当然，根据学生以往课题学习的经验水平和认知水平的实际状况，教学中可以设置不同的问题梯度。

案例：猜想、证明与拓广

课堂教学中可以采用几种下面方案：

方案1：教学中仅仅提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？你们又是如何解决的？然后让学生组成合作小组，自主的提出问题，并选择问题进行研究；最后进行班级汇报、小结。

在这样的教学设计中，教师只是提出了一个原始的问题，后续问题的提出与研究都交给了各个合作小组，从而切实培养了学生的自主学习能力。当然，这样的教学设计对学生的提出问题和解决问题的能力提出了较高的要求。

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方案2：和方案1一样，教师首先提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？然后让学生提出新的问题并进行交流；基于学生所提出的问题，教师进行适当的整理与归类，然后选择某些或某类问题展开下一个研究活动；再根据学生新问题的解决情况继续进行后续的课堂活动。

这样的教学设计应该说力图做到以学生的课堂行为为教师教学的生长点，当然，对于这样的课堂行为教师做了一定的选择性，这也应该是教师主导性的一个方面。

方案3：依次安排下面的研究活动：

活动1：（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？

（2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

活动2：如果已知矩形的长和宽分别是2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。

活动3：当已知矩形的长和宽分别是3和1时，是否有和活动2相同的结论？已知矩形的长和宽分别是4和1，5和1，…，n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否仍然有相同的结论?你是怎么做的？

活动4：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？你是怎么做的？

活动5：当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

当然，教学中教师应通过适当的语言引导以顺利实现各个活动之间的转换。 相对于方案1、方案2，方案3所设置问题的梯度稍小，但考虑到这个问题相对于初中学生而言具有较大的挑战性，同时刚开始实验的学生的实践与综合应用能力相对较低，在一定的情况下使用这样的教学设计可能更为符合广大学生的认知水平。当然，采用这样的教学设计时，教师不仅应关注问题的解决，同样应力图让学生体会各个问题之间的关系，感受将一般问题特殊化处理的问题解决策略

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以及将具体问题一般化的数学研究意识，从而发展学生一定的提出问题和解决问题的能力。

8．采用“课外活动、课内交流”形式进行教学的一些建议

如果以课外活动、课内交流的方式进行课题的学习，教师在课外同样要关注学生的活动情况、进度以及所遇到的困难，以对他们进行适时的指导和帮助，解决学生所遇到的一些困惑，确保学生能够顺利完成有关活动，从而进行课内交流；在课内交流时，教师应注意小组汇报的组织与调控，力图每个学习小组都能获得汇报的机会，同时可以要求学生在汇报交流的过程中反思各个小组的优缺点，并在课后通过对其他小组结果的借鉴和自己小组的反思，对自己小组的课题报告进行进一步的修缮整理，从中培养学生自我反思的意识和合作交流的能力。

案例：制成一个尽可能大的无盖长方体

青岛四中的陈怡老师认为，学生通过一个学期的学习已经具备了解决该问题的知识基础和活动经验基础，因此，没有将课题分解成一个一个小问题，去限制学生的思维，而是采用短周期作业与课上的汇报、展示、交流相结合的形式，利用一周的学习时间，事先发放课题研究内容，要求学生以小组为单位进行研究，然后在其中两天安排两节课让学生进行汇报、展示与交流，力图给学生提供更为充分的探索和合作的空间，让学生自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题，在学习过程中不断获得成功体验。

具体的，陈老师把整个课题学习设计为两个层次：

第一层次，主要是关于折叠方法的汇报、展示及初浅的研究成果的反馈，在师生互动中将学生的初步体会进行整理筛选，帮助学生建立初步的认识和经验，进一步明晰方向。

首先老师提前一周以短周期作业的形式下发第一组课题：

（1）用一张正方形的纸怎样制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是什么？

（2）如果设这张正方形的纸边长为a，所折无盖长方体的高为h，应怎样计算无盖长方体的体积？

（3）随着剪去的小正方形的边长h的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？怎样才能直观而形象的表达这种变化?

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要求学生以小组为单位利用2-3天的时间对上面的问题进行合作学习，然后进行班级的汇报与交流。

当然，在第一组课题2-3天的合作学习、自主探索中，陈老师注意深入合作小组摸清学情，鼓励学生针对课题大疑，鼓励同学间批判性地倾听与思考，勇于尝试多样化的解决方案等。

而在进行第一课时的汇报交流时，学生发言过程中，陈老师起到主持人的作用，给学生很多机会与选择，如学生可回答老师的第一组课题中的问题，更可以针对课题发表困惑，还可以学生间互相提问、互相解答；对于学生的想法也注意给予了一些及时的激励性的评价，如有的同学想到了借助给代数式赋值或借助统计图、统计表来反映探究结果，有的同学提出：剪去的小正方形的边长非得是整数吗？如果是小数，相应的无盖长方体容积是不也有可能最大?等等，通过陈老师的肯定和鼓励，同学们获得对正确的探究方法、探究方向更明确的感受。

第二层次，在阅读和讨论的基础上，学生撰写并交流课题报告，通过学生对不同的实验结果的比较和概括，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足，帮助同学们把在充分的自主探究、合作交流中方法认识上的提高落到实处。在此基础上再带着问题走出课堂，把得到的结论应用到生活中：在实际生活中用一张正方形的纸板制一个无盖的长方体粉笔盒，，要装的粉笔多一些，如何制？

在第一课时汇报与交流结束时，发放第二组探究问题：

（1）用边长为20cm的正方形纸片，你能制作出尽可能大的无盖长方体吗？

（2）阅读课本P212—213；

（3）对以上问题的探究，你有什么猜想？有办法验证自己的猜想吗？

同样要求学生通过2—3天的探究撰写课题报告，并在班级进行交流。 在第二课时汇报交流前，陈老师收齐学生的课题报告，通篇阅读后，给部分同学恰当而有分寸的引导，适当安排发言次序，使同学们的结论由易到难地出现在课堂展示。

通过学生的合作学习和老师恰当的指导，这样的教学设计同样受到了较好的教学效果。在第一课时的展示交流中，学生给出了两种不同于书上的折法：第一种是先将正方形折成筒状，然后再撕出一个底；第二种是学生用了拼补法，学生

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的想法是：“如果减去的纸越小，折出的体积可能越大，所以我将剪去的纸再贴上，然后折叠……”陈老师在课上及时抓住学生的问题，鼓励他们沿着自己的方法验证自己的结论，事实上这样折出的长方体体积最大，为750立方厘米。

9．让学生课外自主研究一个原始的现实问题，学生具备解决这些问题的能力吗？

在“制成一个尽可能大的无盖长方体”的教学中，南京树人国际实验学校的王丹娅老师采用了与陈怡老师类似的做法，从下面学生的课题报告中我们可以感受到学生的研究能力。

做尽可能大的无盖长方体（1）

南京树人国际实验学校02级初一（9）班 陈 齐

要利用一张正方形纸片，做一个无盖长方体，只要在纸的四角上剪去四个相同的小正方形，经折叠成一个无盖长方体（图1）。

①

图1中，b为正方形纸的边长，a为被剪去的小正方形的边长（0＜a＜得无盖长方体的底面边长c=b-2a，则容积为V=

a?(b?2a)2b2）。所

， ①

式①中V为无盖长方体的容积。如何使V最大呢？ 由式①知小正方形的边长a在0和

b2之间。设b为20，则a在0至10之间。

下面每隔一个单位列出由小正方形边长a求容积V的统计表：

表1

a V 1 324 2 512 3 588 4 576 5 500 6 384 7 252 8 128 9 36 ①

初中生数学学习（初一年级），2003年7-8期第52-55页

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由表1知，容积（V）在a=3时取最大值（588）。a=3是容积上升与下降的交汇点。所以最大值将在2至3或3至4之间。若以更小的单位进行统计，如0.1。当a=2.9时，V=584.756；a=3.1时，V=590.364，所以最大值将在a=3至4之间，列表如下：

表2

a V 2.9 584.756 3.0 588 3.1 590.364 3.2 591.872 3.3 592.548 3.4 592.416 3.5 591.500 3.6 589.824 3.7 587.412 3.8 584.288 3.9 580.476 4.0 576 由表2知，容积（V）在a=3.3时取最大值（592.548）。a=3.3又是一个升与降的交汇点。当a=3.29时，V=592. 517；a=3.31时，V=592.571，所以最大值将在a=3.3至3.4之间。

据表1、表2 的统计推测，若b=20，则a=

103时，容积V最大，最大值是529

1627。

那么b=30时，a为多少才能使V最大呢？以下列出b=30时的统计表。

表3

a V 1 784 2 1352 3 4 5 6 7 8 9 10 11 704 12 432 13 208 14 56 1728 1936 2000 1944 1782 1568 1296 1000 再次发现，在a=5时取得最大值2000。

当a=4.9时，容积V为1999.396；a=5. 1时，容积V为1999.404。 据表3，若b=30，当a=5时，容积最大，最大值为2000。 现在，对照两个结果来观察一下，不难发现： 当b=20时，a=当b=30时，a=

103153??b6b6，V为最大。 ，V为最大。

所以，我猜测：利用一张正方形的纸，在纸的四角上剪去4个相同的小正方形，经折叠而成的无盖长方体，要使它的容积最大，要剪去的小正方形的边长应为

a=

正方形纸的边长6(b)。

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专题七《课题学习》研修要点

省课程专家 颜峰 邱军 张全红

课题学习是初中数学课程新设置的数学学习领域，是《数学课程标准》的一个特色内容。它把数学课堂教学与课下调查研究有机地结合起来，突出了数学与学生生活之间的联系，改变了传统教学模式中以知识记忆为主的陈旧方法，具有鲜明的实践性、过程性、挑战性、综合性、探索性等特征。是不同于传统数学课程的新的教学形式和学习形式，它有效地弥补了其他三个学习领域在知识的综合应用方面的不足，在发展学生的实践能力、培养学生的合作意识和创新精神等方面，具有其他三个领域不可替代的作用。因此加强这部分内容的教学，对于全面提高学生的数学素质具有重要的意义。

课题学习的具体目标要求是：经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程；体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

然而，对于这样一个好的学习资源和方式，部分老师好像经历了由课改初始的新奇、努力尝试到逐渐热情降温的过程。直到现在，仍有不少老师在实际教学中没有对其引起足够的重视，甚至有的老师干脆跳过去不讲，究其原因主要有三类：

1．教材方面：感到课题学习的内容看似篇幅短小，但却内涵丰富，在深度和广度上，教师吃不准深浅，不易把握；

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2．教学方面：由于课题学习是日常教学的顺承和综合，在学生知识储备量较大的情况下，他们对问题的理解是有深度的，同时由于问题具有开放性，也使学生的思维发散度很大，教师无法在规定课时内承接学生太多的奇思妙想，经常有言犹未尽的感觉；

3．评价方面：受中考升学的压力，有的老师认为相关内容考试中不会出现，并且学习起来费时费力，不如将时间和精力放在中考题型的训练上。

怎样打消教师的各种顾虑，重新审视课题学习，发挥它应有的价值呢？马复教授和他的课程团队给了大家如下的建议：

1．理解课题的形成。课题学习的核心是“问题”，数学课题必须以实际问题和学习过的数学知识为背景进行设计，并不是在学生已有的数学知识领域之外增加新的知识。所以教师对数学要有整体性的认识，才能将教学设计得更加充分，帮助学生体会数学知识之间的内在联系。

2．突出过程的体验。课题学习的重点是“过程”，实施课题学习中就知识与体验而言，教师应更关注学生在问题解决中的亲身体验，因而课题学习的目标更具过程性。教学中教师要给予学生更多的实践空间和思维参与度，对于课时问题，应根据课题的不同采取灵活多样的教学策略，可以课堂学习，可以布置长周期作业，也可以将学生的作品展示交流等等。

3．重视对“过程” 中学生表现的评价。教师要对学生根据课题提出的问题、在探究中的表现应给予及时的积极评价，让每个学生都有成就感，允许不同的学生有不同的理解和发展。另外，对小组合作学

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习的质量与效果的评价也是教学评价中的关键环节。

那么，如何将专家的建议内化到我们具体的课堂教学之中；怎样在课题学习中评价学生的过程性表现；课题学习课堂教学组织中的经验教训；怎样合理布置课题学习的作业，既满足既定的课时安排，又达成课内外巧妙地结合。针对这些在实际教学中碰到的问题，视频中专家给大家进行了详细分析和解答，并且通过教学案例的呈现，让老师们对课题学习有一个更完整深刻的认识。

听听专家讲座，看看精彩课堂，让我们重新拾起对课题学习的热情吧！它既不是烫手的山芋，也不是弃之可惜的鸡肋，它会让教师在揭示知识内涵的同时体现自己的价值，在学生能力发展的同时不断发展自我，让我们和课题学习一起再成长。

专家解惑

截至到2009年8月3日星期一，初中数学《在线研讨》的三个研讨小组中，一组26163条帖子，共1309页；二 组14368条帖子，共719页；三组17467条帖子，共 874页，总计57998条评论，2902页。

鉴于这多的信息，我们将选择一些话题在《专家解惑》中集中解答，另一些话题将在中《大家来说》有研修学员互相解答。

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说一说十字相乘法

省课程专家 云 鹏

关于要不要在初中补充“十字相乘法”内容的讨论，有点出乎我的意料。

“本着对学生的将来负责”； “补一补也就一两个课时的事”；

“高中虽然知识点中也没要求，但会这一招有时就用得上”…… 这是主张增加“十字相乘法”内容的几条主要理由。

随着规范办学的深入，课堂教学中注意对知识的发生和发展过程的教学得到老师的认可，课堂上让学生动手实践、自主探索和合作交流已经成为学生学习数学的重要方式，在注重演绎思想的同时，加强对归纳思想的培养已经成为越来越多数学老师的追求，做好上述工作，远比多讲几个课标不作要求的小技巧有意义得多。新理念的添加,新的内容的增加势必要对原有的内容有所舍弃……

坚持按课标要求办，不再补充“十字相乘法”的观点也很有说服力。 曾几何时，教学大纲中取消角平分线的性质定理和判定定理后，关于在初中要不要补充角平分线的性质定理和判定定理的讨论始终不断，究其原因，一是有些竞赛对它有要求，再者总有些人不小心在某些资料或考题中出现漏洞，被角平分线的性质定理或判定定理得逞，再就是当时的高中题目中并没有及时、刻意地去回避。时至今日，再来补充这一内容的讨论已经听不到了，而我们的有些优秀老师还在根据自己学生的实际，继续补充它，并且成绩仍是优秀。

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再来看“十字相乘法”，它属于一个适用于一定范围，比较灵巧而又快捷的解题技巧。因在之前有大量的应用，即使中考中不再出现（这一点老师们可以作个统计），要想把它剥离干净，恐怕与角平分线的性质定理或判定定理比，持续的时间还要长一些。

随着时间的推移，再看看老师们随后的跟帖，发现：老师们实际上对这个问题的认识比我要到位，只是在应该怎么做上因为学生的差异比较大，教学理念不尽相同，各自站在自己的角度说得比较多了些，因此产生了分歧。

我并不想下个什么结论。我还是主张先把这件事情方方面面想明白，再结合自己学生的实际：准备把重心放在哪？必须干的事情干好了没……为没能给老师们找到一杆“新时期下的顺溜同志喜欢的枪”，自己感到遗憾，但顺溜说“这枪是我得到的”！

热点聚焦

古典概型与几何概型教学策略

临沭县第二中学 殷艳路

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5109651.aspx

省课程专家褚爱华推荐，推荐理由：本专题对于概率教学的讨论，要求老师对于概率领域的知识有较高层次的认识，古典概型与几何概型的认识还涉及到初、高衔接的话题。统计与概率领域的核心目标是

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帮助学生逐渐建立起统计观念和概率直觉，形成尊重事实、用数据说话的态度．最有效的方法是让学生真正投入到统计和试验的全过程：经历提出问题、收集和处理数据、刻画事件发生的可能、作出决策和预测的过程，领悟用样本估计总体的思想方法，丰富对概率的理解，体会有关概念、公式、图表所蕴涵的统计与概率背景。

殷老师比较细致地分析了学生在概率学习中常出现的困难、原因及其教学对策，是自己实际教学实践的总结，有一定的借鉴意义。推荐给大家学习和研讨。

指导教师吕俊推荐，推荐理由：殷老师针对学生概率学习中容易出现的几个误区提出了自己的看法，实用、可行性强。

我认为，初中生学习概率，存在以下几点误区：

1．概率概念误区。概率在初中阶段局限于学生的认识，只是给出了粗浅的感知性的概念，学生因为不能深刻理解概率，所以会产生误解，他们会把事件发生的概率当成是已经发生的事实，换句话说，就是注重事件发生的结果，忽略了概率是作为事件发生的可能性的理论值。

2．基本事件的概念误区。学生对于一个实验中可能出现的结果大致可以了解，但是对于实验中的基本事件却很难理解，或者说是很难把握，即分不清哪是基本事件，哪是复合事件。

3．概型运用误区。对于一个事件，我们判断某一事件发生的概率，首先要确定它属于哪种概型，只有确定了概型，才可以按照既定的公式或法则计算出概率。

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鉴于以上三点误区，我就自己的教学经验与感悟呈与大家，敬请各位指正。

1．概率的概念教学，对于初中生而言，只可了解，不可强化。初中生本身年龄小，认识简单，很难接受思维逻辑如此严密的概率定义，因此只需用一些简单的例子结合概念呈现给学生即可。例如：体育课上，两个同学为了争一项训练器具（乒乓球拍），闹得不可开交，为了公平公正的解决问题，还要有一个同学可以先得到球拍，如何设计一种做法，让他们心平气和地接受呢？下面给出两种方法，请同学们选择一下：

A ：拿一枚质地均匀的硬币，请两位同学选择想要的一面（或字面或图面），然后向上抛，落地后谁要的面向上谁取得优先权；

B ：取一个普通的啤酒瓶盖，请两位同学选择想要的一面（或外面或里面），然后向上抛，落地后谁要的面向上谁取得优先权。

结论：如果选择A，两位同学的机会是均等的，也就是说他们得到球拍的可能性是相等的；如果选择B，那么选里面向上的同学得到球拍的可能性大一些，因为瓶盖的外面部分所占的质量大，容易先落到地面。我们这里所提到的结果的可能性就是概率，它是用来说明一个事件（上面提到的结果）发生的可能性大小的一个数据，但不是结果。

2．基本事件概念的理解，是古典概型的一个难点。 简举一例：

同时抛两枚硬币可以出现几种结果，有几个基本事件？ 答案是：三个结果（两个正面向上、两个反面向上、一个正面一

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个反面），四个基本事件（两个正面、两个反面、甲正乙反、甲反乙正）。也就是说，一正一反实际上是两个基本事件组成的。

解决这个问题的方法是一要选例新颖，有吸引力；二要把题目中的基本事件一一罗列，采用列表或树图来表示所有可能的情况，这样就可避免复合事件的发生。

3．学生只有对概型有一个明确的理解，才能选对应该选取的概型。

这还是要从概念做起，弄清楚各种概型的特点：

古典概型的特点：等可能性（所有基本事件的发生的可能性相同），有限性（基本事件的个数是有限的，一定数量的）。比方说掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上还是反面朝上，一副没有大小王的扑克牌，从A到K每个数字被抽出的可能性相等，等等。

几何概型的特点：等可能性（所有基本事件的发生概率相同），无限性（基本事件个数无限多）。比方说著名的比丰投针问题；向一组等距的平行线里投硬币，硬币在两线之间的格内，还是在线上；等等。

非古典非几何概型的实验：基本事件发生的可能性不同，需要通过大量的实验来确定，且会出现不同情况下所出现的概率也不同。比方说，种子发芽问题，掷瓶盖问题，等等。

总之，概率教学是初中数学的一大难点，难就难在知识的深浅轻重不好把握，因为高中阶段还要强化，所以建议大家多举例，鼓励学生勤实践，注意概念要清楚，强化分析增能力。

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教改管锥

——谈谈我在处理初中新增内容教学时的体会，以概率为例

济宁市第十四中学 苏晓虎

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5112377.aspx

省课程专家刘家华推荐，推荐理由：研修感悟我将如锥子一样立

在教学这片土地上，所立虽小，却想把这平遥的土地刺痛！富有诗意的一句话赋予了老师多么远大的理想，您的观点与分析，说明你是一位善反思，有思想的研究型教师，向您学习。

指导教师宋崇推荐，推荐理由：看你的标题，足见你深厚的教学功底。的确，要想成为专家型的教师，必须适时进行反思，总结，你做到了。

以管窥天，以锥立地，是一种境界，对我来说还只是一种方式。妄谈教改，所历尚浅，也只能根据自己的经历去一管窥天，于小处见世界。

对于初中新增内容的处理，经历了若干尝试后我的感受有三： 一、知其因何为。新增的内容之所以能够出现，就有它存在的理由。拿过教材来不想想它的来因就去教，不敢说一定不好，但绝对不是负责的态度。为何它会出现，出现的目的是什么，为达到这个目的设计者是怎样表现的，都是我们能够出色完成这个教学任务的前提。这就需要我们下功夫研究课程改革的这个大环境，再结合这一部分自身的特点去体会其设计目的。

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例如：概率这一部分贯穿始终的设计理念——把教学的重点放在使学生掌握概率的思想和方法，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。注意——要重概率的本质，要轻概率计算，要注意设置问题难度适宜。抓不住这些，再多的劳动也是徒劳，再花样的教学的设计也是水中捞月。

二、知其如何为。用传统的教学方法传授这一部分新增内容，不是说不成，但我感觉违背课程设计的初衷。新课程之所以“新”，朴素一点说，是新在学生的角色上，也可以说你给孩子们提供了扮演什么角色的空间。是由老师一步一步细致导演的课给学生们的印象深刻，还是由孩子们自己自编自演的命题研究给他们的体验真切？我们关注的是学生们在课堂上收获的，毕业3年、5年甚至10年以后依然能够重现的体验和能够驾御的能力。能够理解这个理念，自然的我们不会因为传授知识而传授知识，而是主动改变教学方法去为孩子们提供一个研究、经历和体验的场。怎么为？我认为是改变教学的方法。

例如：我们学校使用的“学-展-思”三步教学法一贯侧重学生的整体经历和独立体验。在进行概率试验过程及对试验数据的分析中，我们通过学生的提前体验、独立分析、合作比较、展示提高和反思获得等连续活动，让孩子们体会随机现象的不确定性，以及大量重复试验所呈现的规律性，收到较好的教学效果。

三、知其所以为。面对新增的教学内容，对设计理念有了自己的理解，采用了更加开放、适应的学习方式，那么效果如何，暴露了什么问题，有没有需要改进的地方，我都要再坐下来，好好反思。对于

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一个实践者来说，失败并不可怕，致命伤是不会反思甚至不去反思。实验几乎没有会一次成功的，可笑的是我们的研究总是想一下就会成功的奇迹。反思了问题所在，找出了解决问题的关键，才能继续去做，这种实践才对得起信任我们的孩子。

例如：我在使用“学-展-思”三步教学法进行概率教学的伊始阶段，非常在意孩子们的经历过程而忽略课堂的整体时间把握，想当然的认为这部分内容较为简单造成点拨、引导的力度的欠缺。引导的缺乏，致使我在实验中忽视了学生活动表现出来的直观经验的合理性与局限性，对学生的思想变化的不能及时把握；课堂时间把握的欠缺，经常造成在实验结束并进行理论分析后，学生没有足够的时间谈自己的想法，而影响到对概率本质的理解。经过不断的反思和改进，我对这两点的处理才得心应手、效果明显。

我的经历只是课程改革的一个小小侧面，我从这个小小的管里看着自己理解的天空；我将如锥子一样立在教学这片土地上，所立虽小，却想把这平遥的土地刺痛！

除了游戏以外，生活中有哪些典型的概率现象（模型），它们

分别适宜用作哪些概率内容的教学情境？

兖州市第十五中学 边玉华

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5106140.aspx

省专家团队刘家华推荐，推荐理由：生活中的概率现象的描述，反映了老师对概率的深刻理解与准确把握，真心向您学习。

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指导教师颜梅推荐，推荐理由：边老师用幽默的语言描述了做作业的过程及生活中的概率，通俗、易懂，值得我去学习。

……

生活中的概率现象比比皆是，列举如下： 一、俗语成语

有些生活中的俗语、成语是描述事件发生可能性的很好的素材。如“十雾九晴”（随机事件），“久雨必有久晴，久晴必有久雨”（必然事件），“太阳打西边出来”（不可能事件）；九死一生，守株待兔等。

二、天气预报

在收听天气预报时，经常听到“**地区降水概率80%”，该数据就描述出了降水可能性的大小。

三、有奖销售

这是商场促销时经常采用的做法。作为消费者，我们可要看清，以多少张奖券为一个开奖单位？高等奖的中奖概率有多大？比如，某商场宣称有奖销售的中奖率为100%，其中一等将10000元，二等奖1000元，三等奖是纪念奖。乍一看，很诱人！而实际的设奖方案是：购物100元得一张奖券，以10万张奖券为一个设奖单位，其中一等奖、二等奖各一名，三等奖是价值0.5元的商品。从理论上来说商场的宣传并没有错误，但绝大多数消费者又能从中得到多少实惠呢？

四、广告宣传

当广告上说某种家电商品的市场占有率达到90%以上时，你要思考，他调查了多少座城市？调查的这些城市及消费者具有代表性吗？

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再比如，某洗发水厂家宣称有75%的人使用他们的产品。实际情况是只调查了4人，其中有3人使用。试问这样的数据还有说服力吗？通过这些例子，可以加深学生对概率定义的理解。

五、彩票

当我们了解到“福利彩票双色球”一等奖的中奖概率仅有

1/17721088，买一张彩票就想中一等奖的概率几乎为0时，指望彩票想“一夜暴富”的人是否会有所清醒呢！面对这样的小概率事件，端正心态才是最重要的。

六、街头骗术

骗子骗人的手段千奇百怪，但有一类利用概率行骗的方法我们要当心了。如某人设立的“免费摸奖”， 袋内装有写着5分与10分的球各10个，一次摸出10个球，将10个球的分数加起来，分数之和为100或50分时，奖1000元；95或55分时，奖100元……依此类推，只有分数之和是75分时，必须掏40元买他的治疗仪（事后看价值不超过10元），每人摸10次。在所有的分数之和中，竟然有10次中奖机会！人们纷纷尝试，结果可想而之。期望“天上掉馅饼”的人真该好好了解有关概率的计算了！

七、生产生活

考察某种树苗的成活率，种子的发芽率，水果的完好率，哪个路段是事故高发路段，鞭炮的爆炸率等，都可作为让学生体会用频率估计概率的模型。

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有？还是没有？

——说说概率中的辩证思想

朱仓乡东盘初级中学 袁春俊

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5106251.aspx

省课程专家褚爱华推荐，推荐理由：袁老师的文章很吸引眼球，深入浅出，把概率中的辨证思想阐述得透彻、清晰，谈的观点很有价值。对概率的学习又细分三个层次：一是体验并明晰生活中存在着不确定现象；二是知道事件发生的可能性是有大小的；三是定量刻画事件发生的可能性——概率。从知道事件发生的可能性有大小之分，到具体刻画其可能性的特征量——概率，是从定性描述到定量刻画的重要过渡。教学时，要通过大量丰富的生活实例，让学生经历猜测、试验操作、收集与分析结果、合理表达的过程、体验、认可事件发生的可能性，在此基础上，会求一些简单事件发生的概率。

正如袁老师所认为的，随机现象给人的感觉是不好把握，具有偶然性，然而它也是有规律可循的，具有必然性的一面，必然性与偶然性是辩证统一的。“有，还是没有？”，请看袁老师的见解。

指导教师徐景新推荐，推荐理由：袁老师借助幽默诙谐的语言，把概率中的辨证思想阐述的透彻、清晰，澄清了模糊认识。

指导教师葛洪兰推荐，推荐理由：好文章，与大家共享。 “有？还是没有？”这是陷于两难中的小沈阳对于答案的探究。“到底有没有？”同样的困惑也存在于概率的教和学之中。在教学过程中，我感觉许多学生对概率的意义认识模糊。教师在组织教学时，虽然进行了“案例分析”式的“实验”，也动手、归纳，但在教学内容的处理与学

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生的理解之间，对接仍然不太成功。我们不妨从辩证的角度看看概率，找找问题的根源。

数学存在许多的“正负”“加减”之类的对立和矛盾，更是蕴涵着大量的辩证思想。作为数学中研究随机现象的概率，也隐藏着辩证统一的哲学思想。

一、 必然与偶然

概率对学生来说，是个新知识，原来学的都是确定性的东西，他们的学习活动限定在一个相对封闭的环境内，学习的无非是概念、法则和定理等具体的，而概率的学习却不一样， 概率概念高度抽象，随机现象很难把握，从小学到中学学习常量数学所形成的片面的、孤立静止的看问题的思维方式和习惯，不适应于随机的变量数学的学习。有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维较上劲。随机现象给人的感觉是不好把握,具有偶然性,然而它也是有规律可循的,具有必然性的一面,必然性与偶然性是辩证统一的。随机事件的概率是区间[0，1]中的一个数，随机事件发生的可能性大时，其概率就大；反之，概率就小.我们称在一定条件下必然发生的事件为必然事件，必不发生的事件为不可能事件.必然事件和不可能事件都不是随机事件，但它们可视为随机事件的两个极端情形，所以规定不可能事件的概率为0，而必然事件的概率为1.

概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现

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出来。“在表面是偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐蔽的规律支配的.而我们的问题只是在于发现这些规律.”

因此，教师要引导学生用全面的、联系的、运动变化的观点看问题，学会辩证思维。片面的、孤立静止地分析和解决问题的思维方式与习惯不适合概率的学习。学生必须要学会全面的、联系的、运动变化的观点分析和解决问题，在学会概率思维的同时学会辩证思维。我们不仅要成绩，还要引导帮助学生逐步树立辩证唯物主义的世界观和方法论。

二、量变到质变

举个例子，看看频率与概率这两个概念。 理论上：

事件的概率是一个常数，事件的相对频率是一个与试验次数试验者都有关的一组来回游走的变数，而概率的意义是把频率的稳定值看作概率，这是因为，无论试验次数多么大，我们都无法保证事件的频率值充分地接近事件的概率值。

在做实验时，试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的。在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生。在试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的。一个随机事件如果在大量试验中频繁地发生，则有理由认为它在一次试验中发生的可能性大，反之则可能性较小.这种在大量试验中表现出来的规律性，就是随机现象的统计规律。

事实上：

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在一次试验中，一个随机事件要么发生，要么不发生，无规律可言。但通过大量试验，随机事件的性质就能呈现出来。在大多数情况下，随机事件的频率稳定在其概率的附近，上下摆动.频率稳定性使我们可以用大量试验中随机事件的频率作为这个事件的概率的估计值.在大多数情况下，这样做是合理的。

因此，概率的探究过程就是寻找极限的过程。频率由量变到达质变成为概率。反映了常量与变量的辩证统一，体现了量变质变规律。

由此看来，对概率的学习，不能用“有”或“没有”、“是”或“不是”来对待。学了概率，当你看了临沂地区的降水概率之类的天气形势，就不会发现自家院里无雨而院外下雨要找气象台算帐；看了彩票走势，就不会倾囊所购，没中大奖而要摸电门。如果去找静止的、绝对的答案，“这个真没有”！辩证地用相对的、运动的“第三只眼”去看问题，实现教和学的对接，澄清模糊的认识，探究恰当的而非完美的答案，“这个还真有”！

别无选择

泰安第十五中学 孙波

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5111878.aspx

省课程专家毕文卿推荐，推荐理由：孙老师在文章中首先阐述了自己对概率教学的价值的理解，又强调了概率教学必须动手实验，以及“实验很重要，实验后的数据分析更为重要”的观点。值得学习。

指导老师张树宏推荐，推荐理由：你说的非常实在，观点分析透彻，问题和办法都一目了然。

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……

关于概率这部分教学，很多老师都提到了“需不需要做实验？做实验到底需不需要做那么多次？有些根据经验就可以判断了，还有必要做试验吗？”这样的问题，我的观点，那就是这里要做实验，而且要做大量的实验。

第一、 概率这部分知识是让学生体会随机性，也就是不确定性。实验是最好的一种方法。

第二、就是这种随机事件发生的概率我们很多时候是不能依靠计算的出来的，实验恰恰是获得这样的一种概率的非常好的方法。刚才专业支持老师也提到了频率、频数、概率之间的关系，在这我就不多说了，我就想说的就是频率的上下浮动需要的就是实验。针对学生而言，没有接触过概率的学生，有一些情况是会出现随机现象的。孩子对“可能”和“一定”还是比较容易区别的，而恰恰是对可能性的大小有一些模糊的认识，甚至我觉得有一些学生是存在着一些错误的认识。实验中出现的问题我觉得恰恰是这种潜意识在作怪。我记得有心理学家曾提出这样一种观点“人们经常会把周围的世界认为一切都是确定的，人们在解决问题的时候，经常用这种平均数来解决。”我觉得这都是一种惯性的思维，人们不自觉的就把它放在一种理想的状态，认为这件事情发生了第二天就不会发生了，接着又会发生，人们会不自觉的有这种理想的状态，所以学生在学习之前会受这种长期确定性思维的影响。所以要想让他去体会这种不确定性是非常困难的，所以我觉得我们在进行这一部分教学的时候应该充分的估计到这一点。

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那么有老师可能会说这里我们不做实验，在老师的讲解下可能理解起来更容易。一做实验出现了一大堆数据，又是掷硬币，又是掷骰子，又是摸球，反而很难说服学生。这时候是不是不需要做实验？恰恰这又更体现了实验的必要性。刚才我说了实验非常必要，重要的就是让学生去体现这种随机事件，有的老师说摸球（袋中有白球和红球若干）出现六连白就不太好处理，或者是出现一些情况就不太好把握。这正是我想说另外一点，那就是实验很重要，实验后的数据分析更为重要。我们不能光是进行实验操作就结束了，让学生体验实验的过程这的确很重要，感受这种随机性。前面的云沙老师提到了自己的教学中用到了大量的数据分析，我觉得这非常有价值。

当通过对数据的分析后，学生就会越来越感受到这种随机事件，体会到概率的这种含义。这是我们数学课堂当中经常要思考的一种数学现象，无限的这种分析，个体实验要是达到不了这种目的的话就需要大家实验一起来理解，最后通过一种想象，用一种无限趋近于，由这种思想具体形象的活动抽象到这种数学思考。体会到这种无限的趋近，这里面他会体会到这种感受。在实验的基础上要进行数据分析，在数据分析的基础上要帮助学生进行科学的思考，对以后的学习提供一种解决问题的策略。

……

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智慧分享

《简单事件的概率》教学反思

诸城市贾悦镇贾悦初级中学 张新平

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5108726.aspx

省课程专家姜仲平推荐，推荐理由：及时、经常的进行反思是提高我们业务素质的有效手段，张老师的这篇文章给我们提供了一个很好的进行教学反思的案例。实际上像张老师这样对一节课反思，很可能很多老师都经历过，只不过没有将这种反思写下来以及作出更进一步的思考，如果老师们能够养成将自己的反思随时记下来的习惯，将会缩短自己从一个教书匠蜕变为大师的进程。

指导教师郑红缨推荐，推荐理由：张老师用自己亲身经历的一堂概率课的反思，来深刻分析概率教学应注意的问题，老师这种勤于思考、及时总结的精神值得学习。

初中数学有关概率的内容，在初一、初二章节中都有所体现，学生并不陌生。而本节内容跟实际生活经验较为接近，因此，在教学设计中，我从科学家计算神州七号成功发射的概率、转盘游戏、摇号摸奖、买彩票获奖的可能性、以及密码设置的安全性等话题引入新课，让学生真切体验到学习数学的必要性和趣味性，最后在学生畅谈将如何运用本节课所学的概率知识到生活中去，如何使自己变得更有智慧，如何运用概率知识识破游戏骗局，减少做事情的盲目性中结束。学生

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的学习积极性较高，真正体验到数学来源于实践、又服务于实践的新课程理念。

根据本人对前几年中考试题的一些分析，等可能事件中的两步实验是中考的热点。所以我把教学重点放在了应用与拓展环节，如何利用树状图或列表分析事件的各种可能性结果，从课堂练习的反馈情况可知，有90%的学生已掌握了这两种方法。从总体上看，本节课的重点落实，难点突破。

本节课感悟最深刻的是课堂中预设与生成的把握。动态生成的课堂教学是新课改积极倡导的教学形式。教学过程是一个动态、开放的系统，课堂中师生的心态也会随着具体的教学情景而发生变化，教师不应为了完成预设的教学任务而强行抑制学生的各种思路和想法，而应该允许学生“插嘴”、“打断”、“不举手就发言”，教学设计应该根据学生的课堂表现而不断地变化、调整、丰富，如在应用与拓展2中，我预设是老师先采用列表的方法分析问题，然后再启发学生用刚学过的画树状图的方法进行练习。可当我一提出问题时，许多学生马上回答：“我可以采用画树状图的方法解决”，学生的思路把我的预设完全颠倒过来，我灵机一想，总不能打断学生那兴奋的发现，强制执行我的教学设计。于是，我因势利导，就让这位学生上台板演了他那完整的解法，保护了他的积极性。然后在全班学生对这道题的解法感到成功的体验下，我再介绍了另外列表的方法，应该说这样的处理我还是感到满意的。我想教师在课堂上需要把学生的各种想法加以引导、加以提

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炼，尽可能使问题处于学生思维水平的最近发展区,使课堂具有良好的生成性。

本节课也有一个疏忽比较大的地方，对解题过程的书写不够规范完整，本节所学的概率计算公式应用的前提是等可能性事件，但是，在两个例题解题过程的板演中，都对这一条件进行了略写，只是重在分析方法，导致学生也养成不规范的解题习惯，“课堂细节”应引起足够的重视。还有，在试一试1中，老师对数学知识考虑不够深入，出现对这一问题分析有误，直到课后同行老师提出来才发现。

观察概率实验与亲身做概率实验的主要区别

莱州市实验中学 张延芳

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5113286.aspx

省课程专家汤华财推荐，推荐理由：新《课程标准》中指出教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。张老师三个是否有利于立足于学生的发展，鲜明地阐述了对概率教学的观点，主张增强学生的亲身体验，激发学生学习热情，让学生成为学习的主人，加强了对知识的理解与掌握。

指导教师战立国推荐：对学生观察概率实验与亲身做概率实验的主要区别认识的比较到位，理论性很强，能结合实例具体分析，值得学习。

我认为学生观察概率实验与亲身做概率实验的主要区别：

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（1）是否有利于学生的主体地位的发挥，有利于增加学生的学习体验。学生是充满个性的个体，不是被动接受的容器，学生需要的不是灌知识，如果学生能做的试验我们也替代了，那么很多重要的知识就会被我们一带而过，实际上无形中把学生的主体地位抹杀了。

《标准》指出，“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”基于对新课标理念的理解，我认为数学学习不应是一个简单的个体受动的过程，更是一个主体对自己感兴趣的且是现实性主题的探索与发现过程。因此，我们教师在课堂教学中，应着力关注学生的学习体验。在概率这块知识上，让学生亲自做概率实验，通过自主、合作、探究能够更好地增加学生的学习体验，激发学生的学习兴趣。

（2）是否有利于学生知识的建构。建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生主动建构自己知识的过程。在数学教学中，学生建构数学知识的过程是师生双方交互作用的历程。学生是学习的主人，是课堂上主动求知、主动探索的主体，让学生亲自做概率实验，有利于学生知识的建构。

（3）是否有利于学生随机观念的形成。《数学课程标准解读》强调：要使学生全面理解概率的意义，逐步形成随机观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展随机观念的活动中去。因此在教学中，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自动手从事实验，收集实验数据，分析实验数据，从而了解随机现象的特点，

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体会概率的含义，探索计算概率的方法。只有通过学生亲自参与概率试验，这个问题才有可能更好地解决。

掷硬币、掷瓶盖、摸球、掷骰子只要是学生能够做的，我们就可以让学生自己动手，有的时候我们怕耽误时间，舍不得让学生亲自做，而是让他们观察试验甚至只是给他们简单的讲讲结果，那么，我们得到的只可能是越来越多厌学的学生。所以，发挥学生主体地位，让学生成为学习的主人，是我们每时每刻努力的方向。

一场和数学有关的饕餮盛宴

济南市西藏中学 柴宏伟

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Homework/shuxue/5096385.aspx

省课程专家张全红推荐，推荐理由：关于统计教学，看了很多教师的真知灼见。初见柴老师的这篇“一场和数学有关的饕餮盛宴”，被题目深深吸引，一口气读到底，轻松的笔触，巧妙的比喻，精辟的见解，似一股清泉缓缓流入我内心深处，扫去我的疲惫。掩卷而思，百味皆在。推荐给老师们，让我们“享受数学，享受生活”。

指导教师蒋兴刚推荐为资源，推荐理由：将教学与生活有机地结合在一起，运用生活讲解数学很好。

指导教师郑廷伟推荐，推荐理由：柴老师用生动形象地比喻把统计知识的学习与烹饪进行对比，揭示了统计教学的内涵，令人回味无穷。

根据新课标的要求“统计”这部分内容主要是让学生意识到数学与生活是紧密相关的，数学源于生活，同时又能应用所学的数学知识

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解决生活中的实际问题，既然统计与生活如此息息相关，那么我就以生活中常见的一种形式来说明学习统计知识的过程，我认为学习统计的过程和烹饪的过程是一样的，可能很多人对此疑惑，下面且听我慢慢道来。

一、准备阶段

我们要想炒好一盘菜，必须准备丰富的材料，所谓巧妇难为无米之炊，统计教学也要先准备好丰富的资料。我建议尽量采用学生关注的感兴趣的问题作为统计资料背景，如学生喜欢的事情：学生喜欢的书目，学生喜欢的电影，??或者学生提出的许多热点问题，比如近几年汽油价格的变化，济南房价的变化等。我真的很羡慕现在的学生，他们有丰富的网络资源，可以很轻松的收集到许多资料，过去听说美国小学五、六年级的学生就可以通过互联网查找资料撰写论文，很羡慕他们的科技发达，现在我们的孩子也可以轻松的完成任务了，放手给他们去做，他们会很好的完成任务，在此要特别建议最好把学生的问题集中，一般最多选三至四个问题供学生去研究，再就是要把学生分成几个小组，让他们去合作完成，这也能体现合作学习的重要性。

二、加工过程

炒菜最重要的是整个炒菜过程，尤其是火候的掌握，就是一个度的问题，统计教学也是如此，当资料准备好了，如何应用这些材料就至关重要了。炒菜时需要选择是该切片、切块还是切丝，该选择放哪些作料，我们在设计这堂课时也要选择哪些数据资料可用，需要添加怎样的说明才能把这些背景资料变成数学问题，尤其要注意要符合课

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程标准的要求，问题难度不易过深，因此我建议教师最好早布置早安排，能争取尽早拿到资料，以便充分挖掘这些资料，把它们变成典型的实用的数学问题。

三、品尝盛宴

激动人心的时刻终于到来，就像食客们翘首期盼美味上桌一样，学生们也期待着自己精心准备的资料何时才能出现，学生学习的积极性空前的高涨，每当出现自己小组的资料时，幸福就会像花儿一样在他们脸上绽放。这个道理就像如果您的孩子在您炒菜的过程中，即使他只参与了放盐，他也一定会迫不及待的等菜上桌，好品尝一下他加盐的水平如何，仿佛这道菜就是他做的，这可能是他印象最深刻的一道菜，而且一定不会浪费，只有亲自参与了他才会珍惜自己的劳动成果，同时每做完一道题我都要请准备资料的这一小组派一名代表，谈一谈他们准备资料的过程以及他们的收获，其他小组如对他们的意见不同意，可以课下就这一专题重新搜集资料，在下一节课展开讨论，这样学生在这种既有合作又有竞争的学习环境下，学习主动性再次被激发出来。

四、总结点评

一道大餐做好了，大家也品尝完了，总会发表一些评论，得出一些结论。我们的统计问题研究完后学生也会得出一些自己的结论，因此我会安排他们去写出一些感悟和观点，或者尝试着写出简单的统计报告，以更加深刻的体会到统计的重要性，发挥出统计的作用。如有同学调查统计的是现今中小学生读书情况，得到这样的结论“小学生

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课外书籍阅读最多的是漫画类，初中生课外书籍阅读最多的是科普类”，因此他提议应加强小学生课外阅读的指导，尽量不阅读与小学生年龄阶段不符合的漫画书籍。还有学生统计的问题是“每年哪个月份买车价格最低”，当学生拿着这样一个非常实用的统计结果给父母看时，家长会是多么的高兴，原来现在的数学实用性这么强，真的与生活密不可分。

一场饕餮盛宴品尝完了，人们会打着饱嗝想，如果生活天天能像这样该多好，我们的数学课上完了，学生还意犹未尽；如果数学课天天能这样该多好，我们的数学课只要教师用心了都会让学生体会到其中的快乐。引用一句比较流行的广告语“享受音乐，享受生活”，我们是“享受数学，享受生活”。

简报链接

潍坊数学1班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754156.aspx 德州数学8班简报

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754273.aspx 济南数学2班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/753401.aspx

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济宁数学25班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754940.aspx 淄博张店数学班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754456.aspx 日照数学6班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754801.aspx 烟台数学14班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754792.aspx 泰安数学18班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754709.aspx 滨州数学4班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/750430.aspx 潍坊数学19班

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/754293.aspx

研修之星

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指导教师关注度（截止8月3日1：30）

指导教师 柳洪伟 吕 俊 徐景新 钟 丽 葛洪兰 王树运 戴 林 陈亚伟 赵 华 评论数 1406 1208 1084 981 975 903 858 828 781

推荐数 60 54 58 129 67 48 55 41 55

班级关注度（截止8月3日1：30）

班 级 临沂市初中数学28班 临沂市初中数学27班 临沂市初中数学30班 学员数 作业数 资源数 关注度 87 92 92 440 427 456 1 0 0 79 72 56 - 41 -

德州数学计划内2班 德州数学计划外4班 烟台市初中数学1班 德州数学计划内1班 德州数学计划外12班 临沂数学3班 103 97 47 97 97 100

534 524 231 522 509 508 0 0 3 1 0 0 41 36 33 30 30 30

研修花絮

我的研修故事

远程培训小插曲

----我与“鼠”同坐 淄博第三中学 刘玉珍

参加远程培训已经天数过半了，如果我让对这几天概括一下的话，

我想再没有比“累并快乐着”更能描述这几天的感受了。当然了，在这几天里有很多有趣的事情，现取一件与大家分享： 那天是七月三十号，暑天的热气被昨晚一场及时的夏雨追赶到了遥远的地方，留给人们的是清新的空气和惬意的凉爽。我照常骑着电动车急驰在去培训学校的路上，心里思忖着今天的远程培训该讲第四个专题了，今天又该

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结识哪些专家呢？这样不知不觉来到学校门口。往里一瞧，哟，今天又是我来的最早。车子落锁后，我便找了一个离草坪很近的楼梯门口坐下，拿起包里装的一本《教育漫话》看了起来，看了没几页，便感觉到身边有窸窸窣窣声响，扭头一看，是一只毛还没长全的小老鼠在我身边嗅着什么，不知道它什么时候也“坐”在我旁边了？当时吓的我差点大叫起来，心里“怦怦怦”一阵乱跳，赶忙起身跑开了。现在想来，是它也嗅到了这本《教育漫话》中的书香味吗？还是它一大早觉得饿了出来找点吃的，不巧却碰到赶早来学习的我？ 待我紧张的心稍做调整后，教室开门了。打开视频看着今天的培训课题，渐渐的也忘记了早晨的那一个小东西。

蓬莱市郝斌中学 王富春

写完作业头晕眼花，难免有些抱怨，被儿子听到了，他冲我坏笑到“这下你体会到学习有多累吗”！平时儿子常抱怨当个老师的儿子多不容易，不敢有丝毫的懈怠，怕老师告状，怕爸爸妈妈识破他的小伎俩。我经常教育他要珍惜学习的机会，不要浪费学习的大好时光。现在轮到我身上，想想儿子，真应该好好学习专家的意见，利用这次机会，给自己补充知识，增强见识，运用到以后的教学过程中。

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研修感言

因爱，因梦，我们携手同行

摘自 枣庄5班第五期简报

教育，需要形成共识，当我们携手同心“走在一起”的时候，精彩就会蕴藏其中。坚信：生命里美好的相遇就此开始，幸福的相互成全永恒的美丽??

也许你累了

双眼还是在不停的寻觅 也许你烦了 双手仍旧在继续的点击 也许你腻了

你的心却割舍不下这里 因为是职责让你无法放弃 因为是感动让你充满希冀 今夜是谁还在四方荧屏前凝神屏气 今夜是谁还在静静编织明日的欣喜 朋友 让我们继续努力 朋友 让我们不言放弃 今夜我心如此安静而美丽 今夜是否你也在将甜蜜回忆 明日灿烂的阳光期待着崭新的印记

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相信我们能够创造这个夏日里的奇迹 因为神圣的使命选择了你 因为求知的眼神期待着你 今夜酷暑挡不住研修情 今夜风雨阻隔不了研修路 夜深了，情近了 一片片花瓣悄悄绽放 一篇篇美文跃然荧屏 真切地分享成长的幸福 真切地感受心灵的丰盈 因爱，因梦，我们携手同行

时代的呼唤

威海火炬高技术产业开发区第一中学 李 崇

虽然我们天各一方，但是彼此心中都充满希望。短短几日，虽说没有领悟到高山的淳朴、流水的真挚，但我们分明感受到生活的美好、世界的渺小。一路上采撷着精美的花瓣，聆听着专家和同行们的涓涓细语，轻轻地依偎在电脑旁，用键盘雕琢着心灵深处，用睿智碰撞着灵感火花。我们的心靠得更近了，我们的思想得到了升华。听，军号已经吹响，钢枪正需擦亮，这是时代的呼唤，这是所有教育者的心声。

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珍惜！相伴培训的这一程

菏泽市牡丹区沙土镇中学 张洪新

每一份感情都很美，每一程相伴也都令人迷醉，每一份感情都是一段刻骨铭心的眷恋，生命短暂，我们彼此都是人生旅途中的过客，不可能陪伴谁走一生，更不可能让别人陪伴自己走过一生。珍惜！相伴培训的这一程，让这一程成为生命中最美好最愉悦的旅途.....谢谢指导老师的指导！

大家来说

办好数学《课程简报》、最大程度地为研修学员服务是我们课程团队的心愿。为此我们想了好多的办法，了解一线老师最关注的问题，了解老师们教学时遇到的困难，为老师们解惑答疑。限于精力所限，我们只能解答一些普遍性的热点问题。而老师关注的问题很多，我们想增设一个《大家来说》的栏目，利用研修学员的智慧，让参修学员通过“合作交流”的方式解决：每一期我们提出几个话题，学员们可以将自己对相关问题的看法填写在《课程简报》后面的“相关评论”里。

欢迎老师们的参与！我们坚信，21434名研修学员就是21434个智慧宝库！留下您的脚印，留下您的智慧。

（说明：所有话题都是本次研修学员提出来的，欢迎老师们继续提供研讨话题，谢谢！）

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本期话题一：

如今的数学课堂是用合作学习好呢，还是仍用精讲多练的方法好呢？

本期话题二：

如何处理传统教学手段和运用多媒体等先进教学手段之间的关系？

本期话题三：

你们学校现有的教学模式是什么，其中有哪些利弊，谈谈你对它的看法和认识？

温馨提示

你觉得《课程简报》的字号太小，怎么办？

其实《课程简报》的word版是四号字号，应该说字号不小！放在网上，由于显示的问题，可能你会觉得小。但你可以调整，方法见《课程简报》创刊号 中的温馨提示“如何看简报”。

http://cz0901.sdteacher.gov.cn/Briefing/747854.aspx

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新闻公告

省公告摘录：研修活动逐步深入，研修质量进一步提高。截

止到7月31日24时，全省初中参训教师共提交作业306745篇，人均4.71 篇；发表评论3356666条，人均51.53 条；发表文章35727篇，人均0.55 篇。各学科课程团队编辑课程简报16期，平均每学科5.4期，课程简报浏览量达到214609次；716个班级编辑班级简报 5182期，平均每个学科班7.24期。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/31ar.html