湖北省黄冈中学2011届高三五月模拟考试数学理

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黄冈中学

2011届高三五月模拟考试

数学（理）试题

考试时间：2011年5月13 日下午15∶00 ～ 17∶00

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 已知全集??R，集合A?{x|

A．{x|x??1或x?2} C．{x|x??1或x?2}

x?1x?2?0}，则集合CUA等于（ ）

B．{x|x??1或x?2} D．{x|x??1或x?2}

2． 已知集合M?{m|m?in，n?N}，其中i2??1，则下面属于M的元素是（ ）

A．(1?i)?(1?i)

D．

1?i1?i B．(1?i)?(1?i) C．(1?i)(1?i)

3． 如果对于任意实数x，?x?表示不超过x的最大整数，例如?3.27??3，?0.6??0，

2那么“?x???y?”是“x?y?1”的（ ） ??1.6???,

A．充分而不必要条件 条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分

D．既不充分也不必要条件

4． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15?25?，则tana8的值是（ ）

A．3 B．?3 C．?3

D．?33

5． 已知?//?,a??,B??，则在?内过点B的所有直线中（ ） A．不一定存在与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线

6． 抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且

每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ） A．

116 B．

14 C．

83 D．

12

7． 某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50

辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ） A．10辆A型出租车，40辆B型出租车

B．9辆A型出租车，41辆B型出

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租车

C．11辆A型出租车，39辆B型出租车 租车

8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意x?[a,b]，都有

|f(x)?g(x)?|成立，则称1f(x)和g(x)在[a,b]上是“亲密函数”，区间[a,b]称为“亲密

D．8辆A型出租车，42辆B型出

区间”．若f(x)?x2?x?2与g(x)?2x?1在[a,b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）

A．[0,2] B．[0,1]

C．[1,2]

D．[?1,0]

9． 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,?,9的9个小正方形 （如右图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法

共有（ ） A．108种

B．60种

C．48种

D．36种

3?4?8|x?|,1?x?2??2f(x)???1f(x),2?x?8??221 4 7 2 5 8 图1

3 6 9 10．已知定义在[1,8]上的函数

则下列结论中,错误的是( ) ．．

A．f(6)?1

B．函数f(x)的值域为[0,4]

C．将函数f(x)的极值由大到小排列得到数列{an},n?N*，则{an}为等比数列 D．对任意的x?[1,8]，不等式xf(x)?6恒成立

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上．) 11．已知二项式(2x2?1x)n展开式中第9项为常数项,则n? ．

12．设a是实数．若函数f(x)?|x?a|?|x?1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则

函数f(x)的递增区间为 ． 13．随机变量ξ的分布列如下： ξ P 其中a，b，c成等差数列．若E??－1 a 130 b 1 c ，则Dξ的值是________．

14．如图2，长方体ABCD?A1B1C1D1中，其中AB?a,，

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如图2

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AD?b,AA1?cA,C外接球球心为点O，外接球体积为

32?3，若

1a2?4b2的最小值为

94,则

两点的球面距离为 ．

ax1?by1?cax2?by2?c15．设M(x1,y1)，N(x2,y2)为不同的两点，直线l:ax?by?c?0，??命题中正确的序号为 ． (1)不论?为何值，点N都不在直线l上；

(2)若??1，则过M，N的直线与直线l平行； (3)若???1，则直线l经过MN的中点；

，以下

(4)若??1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）

已知向量a?(sinx,1?cos2x),b?(sinx?cosx,cos2x?)，定义函数f(x)?a?(a?b)

21（Ⅰ）求函数f(x)最小正周期； （Ⅱ）在△ABC中,角A为锐角，且A?B? 17．（本小题满分12分）

如图3，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面正三角形的边长是2，D是CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角是45?． （Ⅰ）求二面角A?BD?C的大小； （Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

18.（本小题满分12分）

C1BA7?12,f(A)?1,BC?2，求边

AC的长．

A1B1CD图3

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相

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?(512x2?20)x?邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为?假设座位等距?8?k元，

100??离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元.

（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）当k?100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

19．（本题满分12分）

已知二次函数f(x)?ax2?bx的图像过点(?4n,0)，且f'(0)?2n，n?N?．

（Ⅰ）求f(x)的解析式； （Ⅱ）若数列{an}满足

''11??fff(()?)，且'(0na1?4，求数列{an}的通项公式； aaaann??11nn11（Ⅲ）记bn?anan?1，Tn为数列?bn?的前n项和．求证:

20．（本小题满分13分）

给定椭圆C:xa222243?Tn?2

． ?yb?1(a?b?0)，称圆心在坐标原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2(2,0)，其短轴上的一个端点到F2距离为3．

（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点P(0,m)(m?0)的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.

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21．（本题满分14分）

已知函数f(x)?x(x?a)(x?b)，点A(s,f(s)),B(t,f(t))． 取值范围； （Ⅱ） 当a?0时，

f(x)x?lnx?1?0 （Ⅰ）若a?0,b?3，函数f(x)在(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的

?1对任意的x??,???恒成立，求b的取值范围；

?2??（Ⅲ）若0?a?b，函数f(x)在x?s和x?t处取得极值，且a?b?23，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直.

参考答案

一、1．C 2．D 二、11． 10

3．A

4．B

5．D

596．C

7．A 14．

2?38．B 9．A 10．C

15．(1)(2)(3)(4)

12．[?1,1] 13．

三、16．解：（Ⅰ） f(x)?a?(a?b)?cosx?sinx??12(sin2x?cos2x?1)?cos2x?1222sin(2x??4)?12

∴T?2?22?? …………6分 2sin(2A?22（Ⅱ）由f(A)?1得∴sin(2A?∴2A??4??4)?12?1，

,)

?4)? 且2A??4?4?(?5?443?4，A? 又∵A?B??ACsinB7?12，∴B??3 …………10分

6在△ABC中，由正弦定理得：

BCsinA，∴AC?BCsinBsinA? …………12分

17．解：解法一（Ⅰ）设侧棱长为x，取BC中点E，

则AE?面BB1C1C，∴?ADE?45? ∴tan45?AEED31?x2?解得x?22 …………3分

AA14过E作EF?BD于F，连AF，

BGB1F七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

ECDC1

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则AF?BD，?AFE为二面角A?BD?C的平面角

∵EF?BE?sin?EBF?∴tan?AFE?AEEF?3

33，AE?3，

故二面角A?BD?C的大小为arctan3 ………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD?面AEF，∴面AEF?面ABD

过E作EG?AF于G，则EG?面ABD ∴EG?AE?EFAF?3010305 ∴C到面ABD的距离为2EG? ………… 12分

解法二：(Ⅰ)求侧棱长x?22 ……………3分 取BC中点E , 如图建立空间直角坐标系E?xyz，

AzA1则A(0,0,3)，B(?1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2,0)

?设n?(x,y,z)??????n?AB?0?ABD的一个法向量，则由????????n?AD?0BE 是平面

B1yCxDC1得n?(3,?6,?1) 而EA?(0,0,3)是面BCD的一个法向量

??????????EA?n10∴cos?EA?n?????．而所求二面角为锐角， ????10EA?n?????即二面角A?BD?C的大小为arccos1010 ………… 6分

305?????CA?n????（Ⅱ）∵CA?(?1,0,3) ∴点C到面ABD的距离为d???n………… 12分

18．解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则x?22?k?(51x y?12k??xx?100kn即n?kx，

51x2?1002k2x0)?220?8k?k(??x?20，)

定义域?x|0?x???k4,k??Z?； …………5x?分

（Ⅱ）当k?100时，0?x?25 令y?100(f(x)?2000x10005125?512x22000x2?512x?20)

2，则f?(x)??542000x?1024x??2000?1024xx23?0

∴x3?，∴x? …………10分

5当x?(0,)时，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,)上单调减，

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当x?(,25)时，f?(x)?0，即f(x)在x?(,25)上单调增，

4455ymin在x?54时取到，此时座位个数为

10054?80个． …………12分

19．解：（Ⅰ）f?(x)?2ax?b，有题意知b?2n，16n2a?4nb?0

∴a?12,b?2n，则f(x)??f?(1an?11an12x?2nx,n?N*

2 ……………3分

（Ⅱ）数列{an}满足

∵

1an?141an?1?1an1an?1)又f?(x)?x?2n1an，

?2n，∴

??2n，

12)?an?22?2?4?6???2(n?1)?n?n?1an?(n?1(n?12)2?4(2n?1)2(n?N*)

当n?1时,a1?4也符合 ……………7分 （Ⅲ）bn?anan?1?4(2n?1)(2n?1)?2(12n?1?12n?1)

anan?1 1)Tn?b1?b2???bn??2?(1??2(1?1312n?1)?() 13?15a1a2?a2a3???12n?1?)?????(2n?1?

……………10分

1)?43∵2n?1?3，2(1?又2(1?12n?1，

……………12分

4)?2∴?Tn?2 2n?1320． 解：（Ⅰ）由题意得：a?3，半焦距c?2

则b?1椭圆C方程为

x23?y?12

“伴随圆”方程为x2?y2?4 ……………3分 （Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y?kx?m，

?y?kx?m?2221?3kx?6kmx?(3m?3)?0 则?x2整理得2?y?1??3??所以???6km??4?1?3k2??3m2?3??0，解3k2?1?m2① ……………5分

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又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，

?222?则有???|m|k2????1?2?22化简得m?2k2?2 ……………7分 ?1? ②

联立①②解得，k2?1,m2?4，

所以k??1，m??2(?m?0)，则P(0,?2) ……………8分

（Ⅲ）当l1,l2都有斜率时，设点Q(x0,y0),其中x02?y02?4，

设经过点Q(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为y?k(x?x0)?y0，

?y?kx?(y0?kx0)2?2x?3?kx?(y0?kx0)??3?0 ……………9分 由?x2，消去得到y2?y?1??3即(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3(y0?kx0)2?3?0，

22????6k(y0?kx0)??4?(1?3k)??3(y0?kx0)?3??0，

2经过化简得到：(3?x02)k2?2x0y0k?1?y02?0， ……………11分 因为x02?y02?4，所以有(3?x02)k2?2x0y0k?(x02?3)?0， 设l1,l2的斜率分别为k1,k2，因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点， 所以k1,k2满足方程(3?x02)k2?2x0y0k?(x02?3)?0，

因而k1?k2??1，即直线l1,l2的斜率之积是为定值?1 ……………13分

21． 解：（Ⅰ）当a?0,b?3时，f(x)?x3?3x2,f'(x)?3x2?6x，

令f'(x)?0得x?0,2，根据导数的符号可以得出函数f(x)在x?0处取得极大值，

在x?2处取得极小值．函数f(x)在(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要t?0且t?3?2即可，即只要?1?t?0即可．

所以t的取值范围是(?1,0)． ………… 4分 （Ⅱ）当a?0时，

f(x)x?lnx?1?0对任意的x??,???恒成立，

?2??1???2?1?即x2?bx?lnx?1?0对任意的x??,???恒成立， 也即b?x?令g(x)?x?lnxxlnxx??1x在对任意的x??,???恒成立．

?2??1?1x，则g'(x)?1?1?lnxx2?1x2?x?lnxx22． ………… 6分

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记m(x)?x?lnx，则m'(x)?2x?21x?2x?1x2，

22则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x?故也是最小值点，所以m(x)?m(22)?12?ln22，

?0，

从而g'(x)?0，所以函数g(x)在[,??)单调递增．

21函数g(x)min?g????2??1?52?2ln2．故只要b?52?2ln2即可．

?2ln2] 2????????????????（Ⅲ）假设OA?OB，即OA?OB?0， 即(s,f(s))?(t,f(t))?st?f(s)f(t)?0，

所以b的取值范围是(??,5 ………… 9分

故(s?a)(s?b)(t?a)(t?b)??1，

22???即??st?(s?t)a?a??st?(s?t)b?b???1．

由于s,t是方程f'(x)?0的两个根，

故s?t?223(a?b),st?2ab3,0?a?b9ab．代入上式得ab(a?b)2?9． ………… 12分

，

(a?b)?(a?b)?4ab??4ab?236?12即a?b?23，与a?b?23矛盾，

所以直线OA与直线OB不可能垂直． ………… 14分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/37wa.html