第二章 控制系统的数学模型

自动控制原理

第二章 控制系统的数学模型

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本章主要内容: 本章主要内容一、控制系统数学模型的数学基础； 控制系统数学模型的数学基础； 控制系统的时域数学模型; 二、控制系统的时域数学模型 控制系统的频域数学模型----传递函数的定义 性质； 传递函数的定义、 三、控制系统的频域数学模型 传递函数的定义、性质； 控制系统结构图的绘制和等效变换. 四、控制系统结构图的绘制和等效变换

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2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换一 傅里叶级数 周期为T的任一周期函数 ( ) 若满足下列狄利赫莱 周期为 的任一周期函数 f(t),若满足下列狄利赫莱 条件： 条件： 上或者连续， ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一类间断点； 上或者连续 或者只有有限个第一类间断点； 上只有有限个极值点。 ⑵ f(t)在[a,b]上只有有限个极值点。 () 上只有有限个极值点 则f(t)可展开为如下的傅里叶级数: ( )可展开为如下的傅里叶级数a0 ∞ f T (t ) = + ∑ (an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n =1

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2π 称为角频率， 对应的周期T与 其中 ω = 称为角频率，角频率ω 对应的周期 与f(t) T的周期相同，因而称为基波频率， 称为 称为fT(t)的n次谐波 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为 的 次谐波 角频率。 角频率。T 2 T 2

2 a0 = ∫ T

fT (e)dt

2 T an = ∫ 2T fT (e)dt (n = 1,2 ,3,L) T 2

2 T bn = ∫ 2T fT (t ) sin nωtdt (n = 1,2 ,3,L) T 2

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二 傅里叶积分和傅里叶变换 任何一个非周期函数f 都可以看成由某个周期函数 都可以看成由某个周期函数fT(t) 任何一个非周期函数 (t)都可以看成由某个周期函数 时转化而来的。 当T→+∞时转化而来的。即 时转化而来的T → +∞

lim fT (t ) = f (t )

1 f (t ) = 2π

+∞ f (t )e jwt dt e jwt dw ∫ ∞ ∫ ∞

+∞

这个公式称为函数f 的傅里叶积分公式 的傅里叶积分公式. 这个公式称为函数 (t)的傅里叶积分公式 分别是定义在R上的实值和复值函数 设f (t)和F(ω)分别是定义在 上的实值和复值函数， 和 分别是定义在 上的实值和复值函数， 称它们是一组付里叶变换对， 称它们是一组付里叶变换对，如果成立

F ( w) = ∫ f (t )e ∞

+∞

jwt

1 dt f (t ) = 2π

∫

+∞

∞

F ( w)e jwt dw淮阴工学院 电子信息工程系

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的象函数或傅里叶变换， 称F(ω)为f (t)的象函数或傅里叶变换，记为 为 的象函数或傅里叶变换 记为F[f(t)],称 称 f (t)为F(ω)的象原函数或傅里叶逆变换，记为 的

象原函数或傅里叶逆变换， 为 的象原函数或傅里叶逆变换 记为F-1[F(ω)]. 三、拉普拉斯变换 1.拉氏变换的定义 拉氏变换的定义 +∞ 设函数f(t)当 时有定义， 设函数 当t ≥ 0时有定义，而且积分 ∫ f (t )e st dt 时有定义0

在s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为 的某一域内收敛， 的某一域内收敛

F ( s) = ∫

+∞

0

f (t )e st dt

的拉普拉斯变换(简称拉氏变换) 称 F (s ) 为 f (t ) 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象函 数，记为 L [ f (t )],即 F(s)= L[ f (t )]淮阴工学院 电子信息工程系

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2.拉氏变换的性质 拉氏变换的性质 设 L [ f (t )] = F (s )(Re(s ) > c ) L [ f 2 (t )] = F2 (s ) 则有 :L [ f1 (t )] = F1 (s )

(1) 线性性质(设α、β为常数) 线性性质( 为常数) 、 为常数 2)位移性质( a为常数 为常数) (2)位移性质(设a为常数)

L [αf1 (t ) + βf 2 (t )] = αF1 (s ) + βF2 (s ).

L e at f (t ) = F (s a ), (Re(s a ) > c ).

[

]

(3)延迟性质 ) 若t<0时 f (t ) = 0 ,则对任一非负实数 t 0 有 时 则对任一非负实数L [ f (t t 0 )] = e st0 F (s ),

亦可写为自动控制理论

L [ f (t t0 )u (t t0 )] = e st0 F (s ).淮阴工学院 电子信息工程系

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[注]L [ f (t t 0 )] 中的 f (t t 0 )意味着 f (t t 0 ) = 0, 注 (当 t < t 0 时) 只有此式成立时才能使用延迟性质， 只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点容易 被忽略，因而造成错误，为了避免出现这种错误。 被忽略，因而造成错误，为了避免出现这种错误。 (4)微分性质 微分性质L f ' (t ) = sF (s ) f (0 )

[

]

特别地， 特别地，当初值 时，有

f (0) = f ' (0) = L = f (n 1) (0) = 0

L f (n ) (t ) = s n F (s )自动控制理论 淮阴工学院 电子信息工程系

[

]

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(5)积分性质 积分性质

t f (t )dt = 1 F (s ) L ∫ 0 s (6)象函数微分性质 象函数微分性质 一般地，有L 一般地，

[( t )

n

dn f (t ) = n F (s ), (Re(s ) > c ) ds 1 ∞ L f (t) = ∫ F(s)ds t s

]

(7)象函数积分性质 象函数积分性质 若积分 收敛， ∫ F(s)ds 收敛，则s ∞

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[注]由象函数的积分性质得 注 由象函数的积分性质得 即

∫

∞

s

∫ F (s )ds = ∫s

∞

+∞

0

f (t ) st e dt. t∞

f (t ) F (s )ds = L , t

在上式中令s=0, 在上式中令 ，如果 在，则有

∫ F (s )ds = ∫0

∞

+∞

0

f (t ) dt. t

收敛， ∫ F (s )ds 收敛，∫s

+∞

0

f (t ) dt t

利用此式，可计算右端的广义积分。 利用此式，可计算右端的广义积分。这是拉氏 变换的应用之一。 变换的应用之一。 (8)卷积定理 卷积定理

L[ f1 (t ) f 2 (t )] = F1 (s )

F2 (s )淮阴工学院 电子信息工程系

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(9)初值定理 初值定理 存在， 若 lim sF (s ) 存在，则 s →∞t →0

f (0 ) = lim f (t ) = lim sF (s )s →0

(10)终值定理 终值定理 的所有奇点全在s平面的左半部 平面的左半部， 若 sF (s ) 的所有奇点全在 平面的左半部，则

f (+ ∞ ) = lim f (t ) = lim sF (s )t →+∞ s →0

(11)相似性质(设a为正实数) 相似性质( 为正实数) 相似性质 为正实数

1 s L[ f (at )] = F a a

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2.2控制系统的时域数学模型一 线性元件的微分方程 列写如图所示RC网络的微分方程 网络的微分方程。 例 列写如图所示 网络的微分方程。

ur

iC

uc

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解：由基尔霍夫定律得: 由基尔霍夫定律得1 u r = R i + C ∫ idt

uc =

1 C

∫ idt

式中: 为流经电阻 和电容C的电流 消去中间变量i,可得 为流经电阻R和电容 的电流,消去中间变量 可得: 式中 i为流经电阻 和电容 的电流 消去中间变量 可得

duc RC + uc = u r dt令 时间常数) 则微分方程为： RC = T (时间常数),则微分方程为： duc T + uc = u r dt淮阴工学院 电子信息工程系

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二 微分方程的类型 线性系统：用线性微分方程描述。 线性系统：用线性微分方程描述。 非线性系统：用非线性微分方程描述。 非线性系统：用非线性微分方程描述。 线性定常系统：用线性微分方程描述， 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的 系数是常数。 系数是常数。 线性时变系统：用线性微分方程描述， 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的 系数是随时间而变化的。 系数是随时间而变化的。 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性( 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性(齐次 )。即 性)。即： 如果输入r1(t)—>输出 输出y1(t),输入 输出y2(t) 如果输入 输出 ，输入r2(t)—>输出 输出 则输入a 输出a 则输入 r1(t)+b r2(t) —>输出 y1(t)+by2(t) 输出自动控制理论 淮阴工学院 电子信息工程系

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三 线性定常微分方程的求解方法和步骤 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零 输入响应。 输入响应。 拉氏变换法求解步骤： 拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉 考虑初始条件， 氏变换，得到变量s的代数方程 的代数方程； 氏变换，得到变量 的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时 对输出量拉氏

变换函数求反变换， 域表达式，即为所求微分方程的解。 域表达式，即为所求微分方程的解。

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四 非线性元件微分方程的线性化 严格地说， 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性 特性，而非线性微分方程的求解非常困难。 特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性 特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似， 特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为 非线性模型的线性化。 非线性模型的线性化。 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 1.假设：x,y在平衡点(x0,y0)附近变化，即 假设： 在平衡点( 附近变化， 假设 在平衡点 附近变化 x=x0+△x, y=y0+△y △ △ 2.近似处理 近似处理 df ( x ) 3.数学方法 y = x 数学方法 dx x = x0

df ( x ) y = y0 + y = f ( x0 ) + dx

x = x0

1 d 2 f ( x) x + 2! dx 2

( x) 2 + Lx = x0

略去高阶无穷小项自动控制理论

y = y 0 + y = f ( x 0 ) +

df ( x ) x dx x = x0淮阴工学院 电子信息工程系

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2.3控制系统的复数域数学模型一 传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下， 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比， 输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。d n c( t ) d n 1 c ( t ) dc( t ) a0 + a1 + L + a n 1 + a n c( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r ( t ) dr ( t ) = b0 + b1 + L + bm 1 + bm r ( t ) m m 1 dt dt dt

(a 0 s n + a1 s n 1 + L + a n 1 s + a n )C ( s )

= (b0 s m + b1 s m 1 + L + bm 1 s + bm ) R( s )C ( s ) b0 s m + b1 s m 1 + L + bm 1 s + bm G( S ) = = R( s ) a 0 s n + a 1 s n 1 + L + a n 1 s + a n自动控制理论 淮阴工学院 电子信息工程系

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二 传递函数的性质 1) 传递函数是复变量 的有理真分式函数，分子多项式 传递函数是复变量S的有理真分式函数 的有理真分式函数， 的次数m 低于或等于分母多项的次数n,所有系数均为实数； 的次数 低于或等于分母多项的次数 ，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无 传递函数只取决于系统和元件的结构， 关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的 传递函数是在零初始条件下定义的， 零状态特性；零初始条件含义要明确。 零状态特性；零初始条件

含义要明确。

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三 传递函数的零点和极点 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式： 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：b ( s z 1 )( s z 2 ) ( s z m ) G( s) = 0 = K* a 0 ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )

∏ (s z ) ∏ (s pj =1 i =1 n i j

m

)

传递函数分子多项式的根z 称为传递函数的零点； 传递函数分子多项式的根 i称为传递函数的零点；分母多项 式的根p 称为传递函数的极点。 称为传递系数或根轨迹增益。 式的根 j称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 零、极点分布图。 极点分布图。 传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式： 项式也可分解为如下形式： mG (s ) = KS平面 平面 jω ω

σ0

∏ (1 + τi=1 n ν j= 1

i

s)

s ν ∏ (1 + T j s )淮阴工学院 电子信息工程系

K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。 称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。 称为传递系数或增益自动控制理论

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四 传递函数的零点和极点对输出的影响 极点决定系统响应形式(模态),零点影响各模态在响应中 极点决定系统响应形式(模态),零点影响各模态在响应中 ), 所占比重。 所占比重。 例:具有相同极点不同零点的两个系统 具有相同极点不同零点的两个系统G1 ( s ) = 4s + 2 ( s + 1)( s + 2)

1.5 s + 2 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 G2 ( s) = ( s + 1)( s + 2)

4s + 2 c1 ( t ) = L [ ] = 1 + 2e t 3e 2 t s( s + 1)( s + 2) 1 .5 s + 2 1 c 2 (t ) = L [ ] = 1 0 .5 e t 0 .5 e 2 t s( s + 1)( s + 2) 1

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五 典型环节的传递函数 比例环节 :G (s) = K

积分环节 : G ( s ) = 微分环节

1 s G (s) = S

1 惯性环节: 惯性环节 G ( s ) = Ts + 1

一阶微分环节: 一阶微分环节 G ( s) = τs + 1 振荡环节 :2 ωn 1 G(s) = 2 2 = 2 T s + 2ζTs +1 s + 2 ωn s + ωn 2

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