珠海市2014届高三上学期期末数学文

珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.

1、设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4}，则A、{2， 4} B、{1，3} C、{1，2，3，4} D、? 2、若复数(a?3a?2)?(a?1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） A、1 B、2 C、1或2 D、－1 3、执行如右图所示的程序框图，则输出的i＝（ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

4、学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，

30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（ ） A、100 B、120 C、30 D、300 5、已知

均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

6、在△ABC中，A：B：C＝1：2：3，则a：b：c等于（ ） A、1：2：3 B、3：2：1 C、1：3：2 D、2：3：1

7、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ） A、108 B、180 C、72 D、144

2＝（ ）

8、等比数列项

共有奇数项，所有奇数项和

，所有偶数项和

，末项是19，则首

A、1 B、2 C、3 D、4 9、已知

，则

10、对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l1：y=kx+m1和l2：y=kx+m2，使得当x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）在（x?D）有一个宽度为d的通道。有下列函数： ①f（x）=

1；②f（x）=sinx；③f（x）=x；④f（x）=x3+1。其中在[1，+∞）上通道宽度为

1的函数是（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

?2x?y?2?x?2y?2?11.变量x、y满足线性约束条件?，则目标函数z?x?y的最大值为 ．

x?0???y?012.曲线y?xex?2x?1在点(0，1)处的切线方程为 ．

x?0?log3(1?x)13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)??，则f(2014)? ．

f(x?1)?f(x?2)x?0?14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中圆C的参数方程为：

??x?3?3cos?，（?为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：???y?1?3sin?C??cos(??)?0,6

则圆C截直线所得弦长为

D15．（几何证明选讲选做题）如右图，AB是圆O的直径，BC是圆O的

AOB（第15题图）

切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB?3，OC?5，则CD? .

三、解答题:本题共有6个小题，共80分． 16.（本小题满分12分）已知f(x)?2cos(（1）求f()的值；

?2?x)cosx?3cos2x，x?R

?6（2）当x?[0,?2]时，求f(x)的最值．

17.（本小题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）： 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] （1）求这15名乘客的平均候车时间；

（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，

C?A1AB?45?，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB?4，BC?3. (1)求证：BC//平面A1B1C1；

C1BB1AA1

(2)求证：AB1?面A1BC； (3)求三棱锥C?A1B1C1的体积.

19.（本小题满分14分）

已知数列?an?的各项都是正数，且对任意n?N都有a1?a2?a3???an?Sn+2Sn，其中Sn

*33332为数列?an?的前n项和.

a2； （1）求a1，（2）求数列?an?的通项公式； （3）设bn?3?(?1)

20.（本小题满分14分）已知函数f(x)?x(1?x),x?(??,0]． （1）求f(x)的极值点；

（2）对任意的a?0，记f(x)在[a,0]上的最小值为F(a)，求k?

2nn?1??2a，对任意的n?N*，都有bn?1?bn恒成立，求实数?的取值范围.

nF(a)的最小值． ax2?y2?1的左、右焦点分别为F1、F2，O为原点. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C:2（1）如图1，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2?MF1，求点M到y轴的距离；

NF1OF2xMy图1（第21题图）

（2）如图2，直线l:y?kx?m与椭圆C相交于P、Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形

OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 1-5：BBBCC 6-10：CBCDA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11.

4 312.．3x?y?1?0 13. log32 14．42 15． 4

三、解答题:本题共有6个小题，共80分．

16.解: (1)f(x)?2sinx?cosx?3cos2x …………………………………1分

?sin2x?3cos2x………………………………………………2分

?2sin(2x?)……………………………………………………4分

3f()?2sin(2??)?2sin0?0…………………………………………6分 663???2?(2) ?x?[0,]，?2x??[?,]………………………………………8分

2333????

?3?sin(2x?)?[?,1]………………………………………………10分

32?2sin(2x?)?[?3,2]………………………………………………11分 3?fmax(x)?2，fmin(x)??3……………………………………………12分

17.解：

?11(2.5?2?7.5?6?12.5?4?17.5?2?22.5?1)??157.5=10.5min．--------3分

15153?68（2）候车时间少于10分钟的概率为?， --------4分

15158所以候车时间少于10分钟的人数为60??32人． --------6分

15（1）

（3）将第三组乘客编号为a1,a2,a3,a4，第四组乘客编号为b1,b2．从6人中任选两人有包含以下基本事件：(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2)，

(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2)， (a3,a4),(a3,b1),(a3,b2)， (a4,b1),(a4,b2)，

(b1,b2)， ------------10分

其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为

18.(1)．证明：?四边形BCC1B1为矩形，?BC?B1C1……………………………1分

8． --------12分 15?BC?平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1

?BC//平面A1B1C1 ………………………………3分

（2）证明：在?ABC中AC=5，AB?4，BC?3，

C满足AC=AB?22BC，所以?ABC?90，即

20C1…………………5分 CB?AB又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB?BB1

BB1AA1（第18题图）

?CB?BB1?CB?AB??又?BB1?面AA1B1B，所以CB?面AA1B1B ?AB?面AABB11???BB1?AB?B又因为AB1?面AA1B1B，所以CB?AB1……………………………7分 又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1?A1B

?AB1?CB?AB?AB11??又?CB?面A1BC，所以AB1?面A1BC ?AB?面ABC1?1??CB?A1B?B………………………………………………………9分

（3）解：过B作BD?A1B1于D，

由第（1）问已证CB?面AA1B1B?C1B1?面AA1B1B

?C1B1?BD…………………………10分

? BD?平面AA1B1B …………11分

由题设知BD=22 …………………12分

1111V锥C-A1B1C1??A1B1?B1C1?BD???4?3?22………………………13分 ?3232?42?三棱锥C?A1B1C1的体积是42…………………………………14分

19、解：（1）令n?1，则a1?S1+2S1，即a1?a1+2a1，所以a1?2或a1??1或a1?0

又因为数列?an?的各项都是正数，所以a1?2…………………………………2分

3232S+2a2?a(a2)?2(a1?a2)令n?2，则a1?a即a1?2?22S，1?332332，解得a1?3或a1??2或a1?0

又因为数列?an?的各项都是正数，所以a2?3……………………………4分 （2）?a1?a2?a3???an?Sn+2Sn33332(1)

3332?a13?a2?a3???an(2) ?1?Sn?1+2Sn?1(n?2)由(1)?(2)得an?(Sn+2Sn)?(Sn?1+2Sn?1)

化简得到an?Sn?Sn?1?22322(3)………………………………………7分

2?an(4) ?1?Sn?1?Sn?2?2(n?3)由(3)?(4)得an?an?1?(Sn?Sn?1?2)?(Sn?1?Sn?2?2)

化简得到an?an?1?an?an?1，即an?an?1?1(n?3)

当n?2时，a2?a1?1，所以an?an?1?1(n?2)………………………………9分 所以数列?an?是一个以2为首项，1为公差的等差数列

2222?an?a1?(n?1)d?2?(n?1)?n?1…………………………………10分

（3）bn?3?(?1)nn?1??2n?1

n?1因为对任意的n?N，都有bn?1?bn恒成立，即有3化简得(?1)

n?1*?(?1)n??2n?2?3n?(?1)n?1??2n?1

???()n………………………………………12分

133213n131?()恒成立，???()1，即??

2323213n1323当n为偶数时，????()恒成立，????()，即???

4323231?????………………………………………………………14分

42当n为奇数时，??20. 解：（1）f?(x)?(1?x)?2x(1?x)?(1?x)(1?3x) ………（1分） 由f?(x)?0解得：x1??1,x2?? ……（2分） 当x??1或x?? 当?1?x??2131时，f?(x)?0 ……（3分） 31时，f?(x)?0 ……（4分） 3 所以，有两个极值点：

x1??1是极大值点，f(?1)?0； ……（5分）

114是极小值点，f(?)??。 ……（6分） 33271444 (2) 过点(?,?，与y?f(x)的图象的另一个交点为A(x,?)做直线y??)，则

32727274??x(x?1)2,即27x3?54x2?27x?4?0 …（8分） 2712 已知有解x??，则(3x?1)(9x?15x?4)?0

344 解得A(?,?) ……（10分）

3274f(a)1 当a??时，F(a)?f(a)；k??(1?a)2? ……（11分）

3a944??1414 当??a??时，F(a)??，k?27?27?，

4a93327?314 其中当a??时，k?； ………（12分）

931f(a)1 当??a?0时，F(a)?f(a),k??(1?a)2? …（13分）

3a9114 所以，对任意的a?0，k的最小值为（其中当a??时，k?）．…（14分）

993 x2??

0)，F2(1，0) 21．解：(1)由已知得F1(?1，设M(x0，y0),则MF1的中点为N(???????????MF1?NF2?F1M?F2N?0，……………………………………………3分

即(x0?1，y0)?(2x0?1y0，) 22x0?3y0，)?0 222整理得x0?2x0?3?y0?0 ……………………① …………………………4分

2x02?y0?1 …………………………………② 又有2由①②联立解得x0?2?22或x0?2?22(舍) …………………………………5分

?点M到y轴的距离为22?2………………………………………6分

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(xR，yR)

?四边形OPRQ是平行四边形

?线段PQ的中点即为线段OR的中点，即x1?x2?xR，y1?y2?yR………………7分

(x1?x2)2?(y1?y2)2?1 ?点R在椭圆上，?2(x1?x2)2即?[k(x1?x2)?2m]2?1

2化简得(1?2k)(x1?x2)?8km(x1?x2)?8m?2?0………………③

……………………9分

222?x22??y?1222由?2得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0 ?y?kx?m?由??0得2k?1?m ……………………④ 且x1?x2??224km ………………………11分 21?2k16(1?2k2)k2m232k2m2??8m2?2?0 代入③式得222(1?2k)1?2k整理得4m?1?2k代入④式得m?0，又4m?1?2k?1

2222?m??11或m?

221212?]?[，??) …………………14分 ?m的取值范围是(??，

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