1.基与维数

1．基与维数

结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示；

(ii)V中每个向量都可由 唯一地线性表示； (iii).

结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是 {1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.

R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1) 1, 线性无关：

设，. 则 (否则，,矛盾)，因此. 2) 1, , 线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) ,

两端平方得 ,

由于1, 线性无关，故

假如，则，且，即 . 矛盾.

因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关. 3) 1, , ,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如 不全为零，则

得到\线性相关\的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得

又由1, 线性无关得. 这样，我们证得了1, , ,线性无关. 故{1, , ,}是F的一个基..

例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使 ( 3 ) 取n+1个实数，使 ab. 由(3)知 即 其中

而

. 用左乘(4)两端，得

这说明线性无关.

故C[a,b]是R上无限维向量空间.

引理 设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s. 试证明 证 对s作数学归纳.

当 s=1 时，结论显然成立.

设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知 故存在 1) 当时，，故；

2) 当时，由于，因此 显然 ,,...,.且存在，使（否则，如果,,...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故

例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基. 证 取V的一个基，令. 对任意 从 中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在

令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .

这样的子空间共有个. 由引理知 存在

令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.

这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到. 另证：设是V的一个基，令 令

让,,...,F互不相同，则 由于

其行列式是Vandermonde行列式，即

故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量. 例４ 设 是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在 中. 证：对s作数学归纳. 当时，取 的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出 线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r, 设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使

1） 如果，那么即满足要求; 2） 如果. 不妨设∈, , 由 最多 有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使 同理有F 中非零数，使 显然 易证线性无关，是V的基，且满足要求.

例5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明 证 令

(j)

是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵. 对, i≠t, 对, (j) ∈ W.

(j) 容易验证 }是线性无关的（共个向量） 故 而W中每个矩阵其迹为0. 因此 ，故 引理 设是向量空间V的子空间，则 (i) (ii)

例 6 设是F上向量空间V的子空间. (i) 证明：

(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证 (i) = = =

(ii) 在中，令

++=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而==={0}, =={0},此时=2<3=-+dim() 例7 设A,B.令={∣AB=},= {B∣} 求证是的子空间,且dim=秩B-秩(AB)

证 显然,故B=,即 , ,B,B是的任意向量, ,F, AB()= =0 B()

因而是的子空间 .

当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB=与B=同解.因此={0},故dim=0=秩B－秩(AB) 以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. {0},{0}. 秩B=n

此时{0},设{，，...}为的一个基, 其中 t=n- 秩(AB) .则有=(B，B，...B) 设B+B+...+B=0, F,i=1,2,...t 则B(++...+)=0,而BY=0只有零解, 故++...+=0, 又，，...线性无关.所以=0，i=1,2,...n

这说明{B，B，...B}是的一个基

dim=t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB) 秩B

令={B=}，是B=的解空间，dim=n- 秩B>0 显然

由于我们事先假设了秩B秩(AB),所以.设{，，...}是的一个基. P=n-秩B>0 扩充成的一个基，，，...,，..., t=n-秩(AB) 而=(B，B，...B,B，...,B)= (B，...,B) 设=0， F, j=p+1,...,t. 则B()=0

即故存在,F，使= +=0 而，，...,，...,线性无关，所以=0，k=1,2,,...,t 这说明B,B，...,B线性无关,是的一个基.

因此 dim=t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB) 例8 设,是向量空间v的子空间,且dim(+)=dim()+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) +=,=; (ⅱ) +=,=; 2.直和的刻画： 结论：设是F上的向量空间V的有限维非零子空间，则下述诸条件彼此等价：（ⅰ） ∩（）={0}，i=1,2，...s;

（ⅱ）∩（）={0}，i=1,2,...,s-1;

(ⅲ) 对任意§∈，§表为§=§+§+...+§,§∈，i=1,2,...,s,的表示法唯一； （ⅳ）一旦§+§+...+§=0，§∈，i=1,2,...,s,就有§=0，i=1,2,...,s； （ⅴ）令{，， ,...， }为的基，i=1,2,...,s,则{，,...，,,,...,,...,,,...,}是的基；

（ⅵ）dim()=dim 证明：（ⅰ）（ⅱ）： {0}∩（） ∩（）={0} （ⅱ）(ⅲ)

§∈，令§=§+§+...+§，§=§+§+...+§， §，§，i=1,2,...,s (§-§)+(§-§)+(§-§)=0 (1)

假如§-§，§-§，§-§不全为零向量， 设第一§个非零向量是§-§ ；如 j=s,这与(1)式矛盾.如 j

设（ⅴ）成立.令i{1,2,...,s}.(),=,又=，故+=0 由于{，，...,}线性无关,故=0,l=1,2,...,j=1,2,...,s,因此，=0，这说明（ⅰ）成立. （ⅴ）（ⅵ ）：显然 （ⅵ ）（ⅴ）：令dim=,i=1,2,...,s 令{，， ...}是的基，由（ⅵ ）知dim=dim=,向量组{，， ...}是的生成元组，且该向量组所含向量个数为= dim，故该向量组是的一个基.

注：①如果只要求上述结论中前四条彼此等价，那么我们可以去掉诸是\有限维\且\非零\的限制.

②当诸是有限维时,前四条与（ⅵ ）彼此等价

定义:设是F上向量空间v的子空间，如果上述结论中的（ⅰ），（ⅱ），(ⅲ) ，（ⅳ）之一成立，那么称和为直和，记为... 若v=,则称是的余子空间.

例1:设c(F),f(x),g(x)F[x] ,且（f(x),g(x)）=1.令, ,分别为奇次线性方程组f(c)g(c)x=0,f(c)x=0,g(c)x=0的解空间.求证= 证明 (f(x),g(x))=1

u(x),v(x)F[x],使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 因而 u(c)f(c)+v(c)g(c)= 任取，，=u(c)f(c)+v(c)g(c) f(c)g(c)=0.

这说明+.至于是显然的，所以

任取.f(c)=0; g(c)=0，故=u(c)f(c)+v(c)g(c)=u(c).0+ v(c).0=0 ，这说明={0} 因此=

例2 设 是实数域R上全体n阶方阵关于矩阵的加倍，数与矩阵的乘法所构成的向量空.令={A∣A的主对角线上方的元素全为0}；={A∣A的主对角线元以及主对角线下方的元素全为0}

试证明:=

例3 设V是定义在R上的全体实函数所组成的向量空间。令={f(x)∣f(x)= f(-x)}; ={f(x)∣f(x)=-f(-x)}

证明, 及都是的子空间,且=

例 若 w是v的子空间，且wv,则w在v中的余子空间不是唯一的

演讲稿

尊敬的老师们，同学们下午好：

我是来自10级经济学（2）班的学习委，我叫张盼盼，很荣幸有这次机会和大家一起交流担任学习委员这一职务的经验。

转眼间大学生活已经过了一年多，在这一年多的时间里，我

一直担任着学习委员这一职务。回望这一年多，自己走过的路，留下的或深或浅的足迹，不仅充满了欢愉，也充满了淡淡的苦涩。一年多的工作，让我学到了很多很多，下面将自己的工作经验和大家一起分享。

学习委员是班上的一个重要职位，在我当初当上它的时

候，我就在想一定不要辜负老师及同学们我的信任和支持，一定要把工作做好。要认真负责，态度踏实，要有一定的组织，领导，执行能力，并且做事情要公平，公正，公开，积极落实学校学院的具体工作。作为一名合格的学习委员，要收集学生对老师的意见和老师的教学动态。在很多情况下，老师无法和那么多学生直接打交道，很多老师也无暇顾及那么多的学生，特别是大家刚进入大学，很多人一时还不适应老师的教学模式。学习委员是老师与学生之间沟通的一个桥梁，学习委员要及时地向老师提出同学们的建议和疑问，熟悉老师对学生的基本要求。再次，学习委员在学习上要做好模范带头作用，要有优异

的成绩，当同学们向我提出问题时，基本上给同学一个正确的回复。

总之，在一学年的工作之中，我懂得如何落实各项工作，如何和班委有效地分工合作，如何和同学沟通交流并且提高大家的学习积极性。当然，我的工作还存在着很多不足之处。比日：有的时候得不到同学们的响应，同学们不积极主动支持我的工作；在收集同学们对自己工作意见方面做得不够，有些事情做错了，没有周围同学的提醒，自己也没有发觉等等。最严重的一次是，我没有把英语四六级报名的时间，地点通知到位，导致我们班有4名同学错过报名的时间。这次

事使我懂得了做事要脚踏实地，不能马虎。

在这次的交流会中，我希望大家可以从中吸取一些好的经验，带动本班级的学习风气，同时也相信大家在大学毕业后找到好的工作。谢谢大家！

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